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(完整版)数学归纳法知识点大全(综合)

数学归纳法

数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位.

(1)第一数学归纳法

设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果

① 0n n =(N n ∈01.数学归纳法的基本形式)时,)(n P 成立; ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立,由此推得1+=k n 时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数0n n ≥时,)(n P 成立.

(2)第二数学归纳法

设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果

①当0n n =(N n ∈0)时,)(n P 成立;

②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立,由此推得1+=k n 时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数0n n ≥时,)(n P 成立.

2.数学归纳法的其他形式

(1)跳跃数学归纳法

①当l n ,,3,2,1Λ=时,)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立,

②假设k n =时)(k P 成立,由此推得l k n +=时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数1≥n 时,)(n P 成立.

(2)反向数学归纳法

设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果

① )(n P 对无限多个正整数n 成立;

②假设k n =时,命题)(k P 成立,则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立,那么根据①②对一切正整数1≥n 时,)(n P 成立. 例如,用数学归纳法证明: 为非负实数,有

(完整版)数学归纳法知识点大全(综合)

在证明中,由

真,不易证出 真;然而却很容易证出 真,又容易证明不等式对无穷多个 (只要

型的自然数)为真;从而证明

,不等式成立. (3)螺旋式归纳法 P (n ),Q (n )为两个与自然数 有关的命题,假如

①P(n0)成立;

②假设 P(k) (k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立; 综合(1)(2),对于一切自然数n (>n0),P(n),Q(n)都成立;

(4)双重归纳法

是一个含有两上独立自然数 的命题. ①

与 对任意自然数 成立; ②若由 和 成立,能推出 成立;

根据(1)、(2)可断定,

对一切自然数 均成立. 3.应用数学归纳法的技巧

(1)起点前移:有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立,但命题本身对0=n 也成立,而且验证起来比验证1=n 时容易,

因此用验证0=n 成立代替验证1=n ,同理,其他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步,有意前移起点.

(2)起点增多:有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时,需要经其他特殊情形作为基础,此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点.

(3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也应相应增多.

(4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可,需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用.

(5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明.

5.归纳、猜想和证明

在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的,这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其正确与否,必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法. 从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有大于等于某个数字b 的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改:

第一步,证明当n=b时命题成立。第二步,证明如果n=m(m ≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n2>2n”这一类命题。

只针对偶数或只针对奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改:

奇数方面:

第一步,证明当n=1时命题成立。第二步,证明如果n=m 成立,那么可以推导出n=m+2也成立。

偶数方面:

第一步,证明当n=0或2时命题成立。第二步,证明如果

n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题,如果对一般的n 比较复杂,而n=m比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,...,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的

n=0,1,2,...,m,原命题均成立。

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(二)第二数学归纳法:

对于某个与自然数有关的命题P(n),

(1)验证n=n0时P(n)成立;

(2)假设n0≤n<=k时P(n)成立,并在此基础上,推出P(k+1)成立。

综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

(三)倒推归纳法(反向归纳法):

(1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以是2^k,k≥1);

(2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立,综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立;

(四)螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n),

(1)验证n=n0时P(n)成立;

(2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设Q(k)成立,能推出P(k+1)成立;

综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。