圆锥曲线

§2.1.1 曲线与方程

目标：理解曲线与方程的概念。

教学过程：

情景一：在直角坐标系中，平分第一、第三象限的直线的方程是0=-y x 。 问题1：该的直线上的点的坐标都是方程0=-y x 的解吗？

问题2、以方程0=-y x 的解为坐标的点都在该直线上吗？

情景二：以()b a ,为圆心，r 为半径的圆的方程是()()22

2

r b y a x =-+-。

问题1：该圆上的点的坐标都是方程()()22

2

r b y a x =-+-的解吗？

问题2、以方程()()22

2

r b y a x =-+-的解为坐标的点都在该圆上吗？

问题3：情景一和情景二中的曲线和方程有什么共同特征？

新知：曲线与方程的概念：

：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：

1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；

2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，

那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．

例1：证明：与两条坐标轴的距离的积是常数()0>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。

§2.1.2 求曲线的方程

目标：

1、了解求曲线方程的步骤；

2、会求简单的曲线方程。

引言：我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标

()y x ,所满足的方程()0,=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。

这就是我们反复提到的坐标法。在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何。从前面的学习中可以看到，解析几何研究的主要问题是： （1） 根据已知条件，求出表示曲线的方程； （2） 通过曲线的方程，研究曲线的性质。 下面我们讨论求曲线方程的方法：

例1：设B A ,两点的坐标分别为()()7,3,1,1--，求线段AB 的垂直平分线的方程。

例2：已知一条直线l 和它上方一点F ，点F 到l 的距离是2。一条曲线也在l 的上方，它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的差都是2，建立合适的坐标系，求这条曲线的方程。

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)

二、新课导学

※ 学习探究

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．

新知１： 椭圆的概念：

反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？

当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．

新知２：椭圆的标准方程

（1）焦点在x 轴上的椭圆； （2）焦点在y 轴上的椭圆

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴ 4,1a b =

=，焦点在x 轴上；

⑵ 4,a c

=y 轴上；

⑶ 10,a b c +==．

变式：方程214x y

m

+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．

小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ． 观察右图，你能从中找出表示c b a ,,的线段吗？

例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22??

- ???

，

求它的标准方程 ．

变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．

练1. 已知ABC ?的顶点B 、C 在椭圆2

213

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的

另外一个焦点在BC 边上，则ABC ?的周长是（ ）．

A ．

B ．6

C ．

D ．12

练2 ．方程219x y

m

-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．

三、总结提升 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：

2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)

3．如果椭圆22

110036

x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距

离是（ ）．

A ．4

B ．14

C ．12

D ．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．

5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．

§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

一、引入

（预习教材理P 41~ P 42，文P 34~ P 36找出疑惑之处）

复习1：椭圆上22

1259

x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，

则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．

复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =,则椭圆的标准方程是 ．

二、自学

问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．

例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？

变式： 若点M 在DP 的延长线上，且3

2

DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？

小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．

例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4

9-，求点M 的轨迹方程 ．

变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线

BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？

展示反馈

练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．

练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

三、总结

1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．若ABC ?的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．

A ．221259x y +=

B ．221259y x += (0)y ≠

C ．221169x y +=(0)y ≠

D ．22

1259

x y +=(0)y ≠

3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124

(0)PF PF m m m

+=+>，则点P 的轨

迹是（ ）．

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段

4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．

5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）

一、引入

（复习1： 椭圆22

11612

x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离

是 ．

复习2：方程22

15x y m

+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．

二、自学预习教材理P 43~ P 46，文P 37~ P 40找出疑惑之处）

三：交流

例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是22981x y +=呢？

小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．

例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =

的距离的比是常数4

5

，求点M 的轨迹．

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．

展示反馈

练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x 轴上，6a =，1

3e =；

⑵焦点在y 轴上，3c =，3

5

e =；

⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；

⑷长轴长等到于20，离心率等于3

5

．

总结：1 ．椭圆的几何性质：

图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； 2 ．理解椭圆的离心率．

当堂检测

1．若椭圆22

15x y m

+=的离心率e =

，则m 的值是（ ）．

A ．3

B ．3或25

3

C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．

A ．34

B ．23

C ．12

D ．14

3，离心率2

3e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则

2ABF ?的周长为（ ）

． A ．3 B ．6 C ．12 D ．24

4．已知点P 是椭圆22

154

x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等

于1，则点P 的坐标是 ．

5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)

引入：

复习1： 椭圆22

11612

x y +=的焦点坐标是（ ）

（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？

二、新课导学（预习教材理P 46~ P 48，文P 40~ P 41找出疑惑之处） 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？ 问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？ 反思：点与椭圆的位置如何判定？

交流展示：

例1 已知椭圆22

1259

x y +=，直线l ：45400x y -+=。椭圆上是否存在一点，它到直线l 的

距离最小？最小距离是多少？

变式：最大距离是多少？

练1已知地球运行的轨道是长半轴长

81.5010a km =?，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

练2．经过椭圆2

212

x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两

点，求AB 的长．

直线与椭圆相交，得到弦，

弦长12l x -

=

其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．

反馈

1．设P 是椭圆 22

11612

x y +=，P 到两焦点的距离之差为，则12PF F ?是（ ）

． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．

A. B. C. 2 D. 1

3．已知椭圆22

1169

x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直

角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）．

A. 95

B. 3

C. 9

4 D.

4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．

5．椭圆22

14520

x y +=的焦点分别是1F 和2F ，

过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ?的面积是20，则直线AB 的方程式是 ．

六、总结

1 ．椭圆在生活中的运用；

2 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用?判定）．

§2.3.1 浅谈对椭圆的认识

§2.3.1 双曲线及其标准方程

一、引入

复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程22

221x y a b

+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符

合条件的椭圆方程．

二、自学（预习教材理P 52~ P 55，文P 45~ P 48找出疑惑之处）

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点21,F F 上，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。这条曲线的点有什么特征？

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。 两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．

反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？

2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．

试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．

新知2：双曲线的标准方程：

1、焦点在x 轴

2、焦点在y 轴，

三：交流

四：展示 1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线22

1169

x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距

离为 ．

例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？ 小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

五：反馈：练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；

（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．

练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是4

9，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．

六：总结提升

1 ．双曲线的定义；

2 ．双曲线的标准方程．

1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）． A ．25- B ．25 C ．1- D ．1

3．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．

A. 5

B. 13

C.

D.

4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P

满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．

5．已知方程22

121

x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．

6求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x

轴上，a =，经过点(5,2)A -； （2

）经过两点(7,A --

，B ．

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

一、引入：

复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；

②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、自学：（预习教材理P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处）

新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．

三：交流

四：展示

1求双曲线

22

1

4925

x y

-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

变式：求双曲线22

916144

y x

-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

2求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

⑵离心率e(5,3)

M-；

⑶渐近线方程为

2

3

y x

=±，经过点

9

(,1)

2

M-．

练1．求以椭圆

22

1

85

x y

+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是

1(6,0)

F-，求它的标准方程和渐近线方程．

五：反馈

1．双曲线

22

1

168

x y

-=实轴和虚轴长分别是（）．

A．8、B．8、C．4、D．4、2．双曲线224

x y

-=-的顶点坐标是（）．

A．(0,1)

±B．(0,2)

±C．(1,0)

±D．（2,0±）

3．双曲线

22

1

48

x y

-=的离心率为（）．

A．1 B C D．2

4．双曲线22

41

x y

-=的渐近线方程是．

5．经过点(3,1)

A-，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．

6．求焦点在y 轴上，焦距是16，4

3

e =

的双曲线的标准方程． 7．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率5

4e =的双曲线的方程．

六：小结：双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．

与双曲线22221x y a b -=有相同的渐近线的双曲线系方程式为22

22x y a b

λ-= (0)λ≠

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

一、引入

复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为22

1914

x y -=，

其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ．

二、自学（预习教材理P 58~ P 60，文P 51~ P 53找出疑惑之处） 探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x =，则双曲线的方程是？

三：交流

1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165

x =的距离的比是常数54，求点M 的轨

迹．

3过双曲线22

136

x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的

坐标．

变式：求AB ？

思考：1AF B ?的周长？

四：展示

练1．若椭圆22

214x y a +=与双曲线122

22=-

y a

x 的焦点相同，则a =____.

练2 ．若双曲线22

14x y m

-=的渐近线方程为y x =，求双曲线的焦点坐标．

五：反馈

1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22

145

x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，

则12PF PF ?的值为（ ）．

A ．21

2

B ．84

C ．3

D ．21 2．以椭圆22

12516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）

． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或22

1927

x y -= D. 以上都不对

3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠1

2

PFQ π

=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．

1 B. C. 1 D. 2

4．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.

5．方程22

141x y k k

+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．

6．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22

221x y a b

-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点

(8,6)A ，试求此双曲线的方程．

六、小结

1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义；

3．直线与双曲线的位置关系．

§2.4.1 浅谈对双曲线的认识

§2.4.1抛物线及其标准方程

一、引入

复习1：函数2

=-+的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴

261

y x x

是．

复习2：点M与定点(2,0)

x=的距离的比是1:2，则点M的轨迹是F的距离和它到定直线8

什么图形？

二、自学（预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处）

探究1：若一个动点(,)

p x y到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．

点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．

新知2：抛物线的标准方程

定点F到定直线l的距离为p（0

p>）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

抛物线220

=的焦点坐标是（），准线方程是；

y x

抛物线21

2

x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．

三：交流

1 （1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程． 变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程： ⑴焦点坐标是(0,4)；

⑵准线方程是1

4

x =-；

⑶焦点到准线的距离是2．

2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

展示：练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是(5,0 )F -；

(2) 焦点在直线240x y --=上．

练 2 ．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点距离是a ()2

p

a >，则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 ．

五：反馈

1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）． A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为1(0,)16

C ．开口向右，焦点为(1,0)

D ．开口向右，焦点为1(0,

)16

2．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）．

A ．2x =

B ．2x =-

C ．2y =

D ．2y =- 3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）．

A. 52

B. 5

C. 152

D. 10

4．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．

5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ．

6．点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．

7．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．

六、小结

1．抛物线的定义；

2．抛物线的标准方程、几何图形．

3.设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．

若00(,)M x y 在抛物线22y px =上，则02

p

MF x =+

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）

一、引入 复习1：

准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．

复习2：双曲线22

1169

x y -=有哪些几何性质？

二、自学（预习教材理P 68~ P 70，文P 60~ P 61找出疑惑之处）

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质

试试：画出抛物线28y x =的图形，顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、离心率 ．

三：交流

1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．

变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． 四：展示

练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：

⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)-； ⑵ 点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶ 焦点是(0,8)F -，准线是8y =．

⑷ 顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6； ⑸ 顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P --．

⑹ M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ∠= ，求FM ．

五：反馈

1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．

A ．21

2

y x = B ．2y x = C ．22y x = D ．24y x =

2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．

A ．220y x =

B ．220x y =

C ．2120y x =

D ．21

20

x y =

3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10 B ．8 C ．6 D ．4

4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．

5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则

AB = ．

2013高考试题分类汇编(理科)：圆锥曲线

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =±

圆锥曲线存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3

则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：

圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．

(完整版)圆锥曲线高考题及答案

数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

几何画板 课件设计 圆锥曲线的形成和立体图形的侧面展开_百度.

摘要 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。 在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和两类立体图形的侧面展开过程。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类立体图形的侧面展开问题在以往的课件制作中都有所涉及，但制作方法都很繁琐。我所作课件的最大优势就在于利用了一个统一的方法进行课件制作，大大缩短了制作的时间，而且达到了很好的演示效果。 全文由三部分组成： 第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。 第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。 第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。 关键词：几何画板，标记向量，椭圆，圆锥曲线，圆锥截面， 轨迹，追踪，侧面展开图， 目录

摘要 (1) Abstract ......................................................................................................................... .. (3) 引言 (4) 第一部分几何画板的选题原则 (4) 第二部分课件设计与制作 (5) 第一类课件：圆锥曲线及圆锥截面的形 成 (5) 第一部分：圆锥曲线的构 造 (6) 第二部分：圆锥截面的构 造 (8) 第二类课件：立体图形的侧面展 开 (9) 第一部分：构造圆柱展 开 (10) 第二部分：构造棱柱展 开 (10)

圆锥曲线中存在探索型问题

圆锥曲线中存在探索型问题 存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题 例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由． 分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22 ，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③ 联立????? y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2 ，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2 ＝2， 解得a ＝32 ，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32 ×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题 例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原 点O ，椭圆x 2a 2＋y 29 ＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【试卷】高三圆锥曲线专题测试题及答案

高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）

Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．

2018高三数学全国二模汇编(理科)专题07圆锥曲线

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】 一、单选题 1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 2 【答案】A 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的 关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知F是抛物线2x4y =的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为 () 0,1-，则PF PA 的最小值是（）

A. 14 B. 1 2 C. 22 D. 3 【答案】C 设切点() 2,P a a ，由214y x =的导数为1 2y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ?== . ∴1a =，则()2,1P . ∴2PM =， 22PA =∴2 sin 2 PM PAM PA ∠== 故选C ． 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题. 3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆 222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为 ( )

[高中数学]圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由

2012_2018全国卷圆锥曲线(理科)

2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科) 1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点． （Ⅰ）若90BFD ∠=?，ABD ?的面积为，求p 的值及圆F 的方程． （Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值． 2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆 22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ． 3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22 221(0) x y a b a b +=>> 的离心率为 2 ，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程． 4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2 :4 x C y =与直线 (0)y kx a a =+>交于,M N 两点． (Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．

圆锥曲线与方程单元教学设计

圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分

圆锥曲线存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存

则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3

微专题圆锥曲线几何条件的处理

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略 1.平行四边形处理策略 例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆 222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ ）能，4 4+ 【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系； （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3 m m 列方程求k 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122 29 M x x kb x k +==-+， 2 99 M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3 m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9, y x k x y m ? =-???+=?得222 2981P k m x k =+ ，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3) 3 m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x = = 2(3)23(9) mk k k -?+ ．解得14k = 24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为 4 4+OAPB 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略 例2.椭圆 22 22x y a b +=（0a b >> （1）求椭圆的方程；2 214 x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22 414 y kx x y =+???+=??消去y 得22 (14)32600k x kx +++=，

圆锥曲线三大难点解读

圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；

文科圆锥曲线专题练习与答案

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

高考数学真题分类汇编专题圆锥曲线理科及答案

专题九 圆锥曲线 1.【2015高考福建，理3】若双曲线22 :1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双 曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性． 2.【2015高考四川，理5】过双曲线22 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ） (C)6 （D ）【答案】D 【解析】 双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2 2 03 y x -=，将 2x =代入2 2 03 y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22 220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线 方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值. 3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5 4 e =，且其右焦点()25,0F ， 则双曲线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14 32 2=-y x

【答案】B ． 【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5 4 c e a = =，所以5c =，4a =，2 2 2 9b c a =-=所以所求双曲线方程为22 1169 x y - =，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质． 【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是 C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是( ) （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ?表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ?表示为0y 的函数是解本题的关键. 5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】依题意，2 221)(1a b a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，

圆锥曲线的相关结论192条

结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直． 结论2：过圆2 2 2 2 b a y x +=+上任意点P 作椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的两条切线， 则两条切线垂直． 结论3：过圆2 2 2 2 b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线122 22=-b y a x 的两条切 线，则两条切线垂直． 结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+． 结论5：过椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切 线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+． 结论6：过双曲线122 22=-b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如 果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+． 结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方 程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切 线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆 的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+b y y a x x ．

圆锥曲线三个实验

数学实验报告 实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑 素萍黄永欣 1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验 2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。重现圆锥曲线产生 的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。 3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思 4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法） 一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名 背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性.

（1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性. ○1直角圆锥： ∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC ∴QP⊥平面ABC ∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理 ∴PO2=RO×OV ∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG =OV= HD DG HD ? ?且RO=HD ∴PO2=RO×OV=HD×DO DG HD ? =DO×DG 若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y) 则得到曲线方程为:2y DG x =?,其中DG由点D的位置决定,是一个常数 这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是