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量子力学第一章习题答案

量子力学第一章习题答案
量子力学第一章习题答案

第一章

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律: 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反

比,即λm T = b (常量);并近似计算b 的数值,准确到两位有效数字。

解:黑体辐射的普朗克公式为:)

1(833

-=kT h e c h ν

νν

πρ ∵ v=c/λ

∴ dv/dλ= -c/λ2

又 ∵ ρv dv= -ρλdλ

∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e

hc/λkT

-1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)

求ρλ极大值,即令dρλ(x)/dx=0,得:

5(e x -1)=xe x

可得: x≈4.965

∴ b=λm T=hc/kx

≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)

≈2.9*10-3(m K )

1.2√. 在0 K 附近,钠的价电子能量约为3电子伏,求其德布罗意波长。

解: h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,, 1 eV = 1.6×10-19 J

故其德布罗意波长为:

07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?

1.3 √.氦原子的动能是E=

32

KT (K B 为波尔兹曼常数),求T=1 K 时,氦原子的德布罗意波长。 解:h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012

kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K

故其德布罗意波长为:

λ

= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2

≈0

1.2706A

或λ= 而KT E 23

=601.270610A λ-==?

1.4利用玻尔-索末菲量子化条件,求:

a ) 一维谐振子的能量:

b ) 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。

解: a )解法一:设一维谐振子的质量为m ,广义坐标为 q=Acos(ωt+φ)

根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh

得:∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π)

又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5

∴ 一维谐振子的角频率 ω=2π/T =(k/m)

0.5 ∴ k = m ω2

∴ 一维谐振子的能量为E=kA 2/2=nh ω n=1,2,3,… 解法二:一维谐振子的能量为 E = mv 2/2 + m ω2q 2/2 =p 2/(2m)+ m ω2q 2

/2

即 p 2/(2mE) + q 2/(2E/m ω2) = 1

可以知道椭圆的两半轴分别为(2mE )0.5和(2E/m ω2)0.5 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh

则 ∮pdq=π(2mE )0.5(2E/m ω2)0.5=2πE/ω=E/ν=nh

∴ 一维谐振子的能量为E=nh ν=nh ω n=1,2,3,…

(其中h=h/2π)

b) ∵ 电子在均匀磁场中作圆周运动

∴ f=evB=mv 2/r

∴ mv=reB

又 ∵ p=mv, dp=rd θ 且 ∮pdq=nh (玻尔-索末菲量子化条件) ∴ ∮eBr 2d θ=nh

∴ eBr 22π=nh

∴ r 2=nh/(2πeB)=nh/eB

∴ r=(nh/eB)0.5

(其中h=h/2π)

√.补充作业题:投球手以40米每秒投出一个质量为0.15 千克的棒球,请计算棒球的deBroglie 波长.

h

p λ=,h h p mV

λ== (答案:1.1 x 10 -34 m)

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=h v , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

量子力学思考题及解答

1、以下说法是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答:(1)量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学,二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义是什么? 解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ? ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。 解答:设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不是概率相加,而是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ,1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ和2ψ是体系的可能态,则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 (1)是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数,但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗? 解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的(6.1)式中,证明若ψ 是归一化的,则 1=∑*i i i c c ,即A 取各值的概率也是归一化的。(杜花伟) 证明:若ψ是归一化的,则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? (杜花伟 核对:王俊美) (1)证明:在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明:当函数)(x f 可以写成x 的多项式时,下列形式上含有对算符求导的公式成立: ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη (解答:玉辉 核对:项朋) 证明:(1)

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η (2) ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确?(解答:玉辉 核对:项朋) ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解:不正确。 因为),(P X f 是X 的函数,所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号,证明:(孟祥海) (1)00=?=?L X ,L P (2)[]0=?P X L, (3)()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明: (1)∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解:由德布罗意波粒二象性的关系知: E h =ν; p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子(26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?) ,故: 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ,求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长。 解:对于氦原子而言,当K 1=T 时,其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中,其中α为实常数,求: 1.归一化系数; 2.动能平均值。 (22 x e dx /∞-α-∞ = α?) 解:1.由归一化条件可知:

22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零,则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? =()== 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α,则该态为谐振子的基态,T 4 ω = 解法二:对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题,用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为: 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量,则:

量子力学期末考试题解答题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处?有哪些不成功的地方?试举一例说明。 (简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的?) 答:Bohr 理论中核心的思想有两条:一是原子具有能量不连续的定态的概念;二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先,Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性,但对于复杂原子光谱,甚至对于氦原子光谱,Bohr 理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题),对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题,在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法;其次,Bohr 理论只能处理简单的周期运动,而不能处理非束缚态问题,例如:散射;再其次,从理论体系上来看,Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的,多少带有人为的性质,并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应?光电效应有什么规律?爱因斯坦是如何解释光电效应的? 答:当一定频率的光照射到金属上时,有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应;光电效应的规律:a.对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率0υ,当照射光频率0υυ<时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出;b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率0υυ>时,不管光多微弱,只要光一照,几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为:(1)电磁波能量被集中在光子身上,而不是象波那样散布在空间中,所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短,是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量,光强则对应于光子的数目,光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关,饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比,频率越高,对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生,光子能量小于逸出功时,则无法激发光电子。 3.简述量子力学中的态叠加原理,它反映了什么? 答:对于一般情况,如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加:1122c c ψψψ=+(12c c ,是复数)也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时,粒子是既处于态1ψ,又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态?定态有什么性质? 答:体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-,所描写的状态时,能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质:(1)粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化;(2)任何力学量(不显含时间)的平均值不随时间变化;(3)任何力学量(不显含时间)取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系? 答:算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量,则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F (r,p )中将p 换为算符?p 而得出的,即:

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答:QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量,描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? );2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值;3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下: = ∑C i a i i C i = a i ;而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系: [x ? , x ? ]= 0 , [p ? , p ? ] = 0 , [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中,微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中,一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出: d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系,在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子,服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念? 答: (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ,结果波函数ψ(x ,t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ,这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量; (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知:P 为极化矢量,P=<ψ|σ|ψ>,其中ψ=C 1α+C 2β,它的三个分量为: 求 证: 2 2

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1. 设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为( 6.125ο A )。 2. 索末菲的量子化条件为=nh pdq ),应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E ( ηωn )。 3. 德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的( 电 )子衍 射实验所证实,德布罗意关系(公式)为( ηω=E )和( k p ρηρ = )。 4. 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=( r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ), () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ( )(p p ρ ρ-'δ )。 5. 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ( r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ),=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ( )(p p ρ ρ-'δ )。 6. t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ )。 7. 按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w =2 ),几率流密度= ( () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi )。 8. 设)(r ρψ描写粒子的状态,2)(r ρψ是( 粒子的几率密度 ),在)(r ρψ中F ?的平均值为F =( ??dx dx F ψψψψ* *? ) 。 9. 波函数ψ和ψc 是描写( 同一 )状态,δψi e 中的δi e 称为( 相因子 ), δi e 不影响波函数ψ1=δi )。 10. 定态是指( 能量具有确定值 )的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为 零)的状态。 11. )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 ( 21E E = ),这时几率密度和( 几率密度 )都与时间无关。 12. ( 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 )称为隧道效应。 13. ( 无穷远处波函数为零 )的状态称为束缚态,其能量一般为( 分立 )谱。 14. 3.t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ )。 15. 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、 对于一维问题,定义平移算符()a D x ,它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ,其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在,试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时,证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易,试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,,证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、,存在对易关系[]C B A =,,同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符,证明U 必可分解成iB A U +=,其中A 和B 为厄密算符,并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ,并证明U 可以表示为iH e U =,H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系:02 =A ,1=+++AA A A ,A A B + =。试证明 B B =2,并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子,求湮灭算符a ?的本征态,将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发,证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示,经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ,其中u 和v 为实数,并满足关系122=-v u 。试证明:对于算符b 的任 何一个本征态,2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为,() 223 2 35++++= a a a a H ,其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符,满足基本对易式

2011量子力学期末考试题目

第一章 ⒈玻尔的量子化条件,索末菲的量子化条件。 ⒉黑体:能吸收射到其上的全部辐射的物体,这种物体就称为绝对黑体,简称黑体。 ⒎普朗克量子假说: 表述1:对于一定频率ν的辐射,物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以量子的方式进行,每个量子的能量为:ε=h ν。 表述3:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以能量ε的整数倍来实现,即ε,2ε,3ε,…。 ⒏光电效应:光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点: ①存在临界频率ν0:只有当光的频率大于一定值v0 时,才有光电子发射出来。若光频率小于该值时,则不论光强度多大,照射时间多长,都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关,与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说: 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现,而且以这种形式在空间以光速C 传播,这种粒子叫做光量子,或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理: 当光射到金属表面上时,能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收,电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引,另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点: ①存在临界频率v0:由上式明显看出,当hν- W0≤0时,即ν≤ν0 = W0 / h时,电子不能脱出金属表面,从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率:上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关,而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应:高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律: ①散射光中,除了原来X光的波长λ外,增加了一个新的波长为λ'的X光,且λ' >λ; ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质,这种性质称为光的波粒二象性

量子力学习题答案

量子力学习题答案

2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为,下面就和两种情况来讨论 (一)的情形 此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 (1)粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波,所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 (二)的情形 令,不变 此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零 (1)粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去,所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应,粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点,如图所示 (1) ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 (2) ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当,为任意整数, 则 当,为任意整数, 则 综合得 ∴ 当时,, 波函数 归一化后 当时,, 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中

量子力学课后习题答案

第一章 绪论 1.1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律:C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明:由普朗克黑体辐射公式: ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= , 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ, 令kT hc x λ= ,再由0=λρλd d ,得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ,即得 97.4=kT hc m λ,将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2.在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解:010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ,求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解:010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ,1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量。 (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ,玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ,求动能的量子化间隔E ?,并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解:(1)方法1:谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动,轨道为椭圆,两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =,相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以,能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2:一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω,其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ,动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ,则相积分为

量子力学典型例题分析解答1

浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展,冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间,给优化课堂教学,构建新型的教学模式,提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力,可以激发学生学习兴趣,可以动态地、对比地演示一些物理现象,极大地提高教与学的效率,达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及,很多中学配备了微机室、专用多媒体教室,建立电教中心,为计算机辅助教学(CAI)打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位,如何充分发挥CAI在中学教学中的作用,是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点,在制作过程中应注重视听教学的特征,突出启发教学,还应注重教学过程的科学性和合理性,应做到构图合理、美观,画面清晰、稳定,色彩分明、色调悦目,动画流畅,真实感强,解说清晰动听,功能丰富,演播运行安全可靠。 一.在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点: ⒈加强课前研究,建立素材资源库 课前研究是教学的准备,只有课前进行充分的研究,才能取得理想的教学效果。在备课过程中,走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际,充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件,以及相关的CD、VCD资源,选取适合教学需要的内容来制作自己的课件,从而适应不同教学情境的需要。同时,教师可在Internet上建立自己的网站,把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中,并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来,从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件,工具选择得好可以大大地加快开发进程,节省开发人力和资金,有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具,主要应从以下几个方面综合考虑:编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用

吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料

高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明:若体系在线性变换Q ?下保持不变,则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符,变换Q ?不显含时间,且存在逆变换1?-Q 。进一步证明,若Q ?为幺正的,则体系可能有相应的守恒量存在。 解:设有线性变换Q ?,与时间无关;存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变,即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角,试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解: 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述,现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角, 在此转动下,态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式,并由此说明,若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变,则体系的轨道角动量为守恒量。 解:从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律,可导出旋转变换算符

()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性,就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述,试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解:矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h

量子力学教程课后习题答案高等教育

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量) ; 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

量子力学思考题和讨论题

量子力学思考题 1、以下说法是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答:(1)量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而是量子力学实际上已经过渡到经典力学, 二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义是什么? 解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数 )(r ?ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函 数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。 解答:设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不是概率相加,而是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21*2 1ψψc c ,1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ和2ψ是体系的可能态,则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 (1)是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数,但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗? 解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2 c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 6 1051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

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