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相似与解直角三角形(新)

相似与解直角三角形(新)
相似与解直角三角形(新)

《图形的相似与位似》复习提纲

【考点链接】

一、相似三角形的定义

三边对应_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法

1. 两个角对应相等的两个三角形__________.(AA )

2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)

3. 三边对应成比例的两个三角形___________.(SSS)

4.直角三角形相似,除了上面三种方法外,还有 (HL) 三、相似三角形的基本模型(A 型、X 型、K 型、母子型)

母子型:若CD 为Rt△ABC 斜边上的高,则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.

四、相似三角形的性质

1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.

2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k 表示.

3. 相似三角形的对应角平分线、对应边的________线、对应边上的_______?线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.

五、典例精析

例1、甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高为 . 例2如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,△划格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P ,A ,B 为顶点的三角形与△ABC 相似(全等除外),则格点P 的坐标是_______.

拓展变式 在Rt △ABC 中,斜边AC 上有一动点D (不与点A ,C 重合),过D 点作直线截△ABC ,使截得的三角形与△ABC 相似,则满足这样条件的直线共有______条.

例3 如图,已知平行四边形ABCD 中,E 是AB 边的中点,DE 交AC 于点F ,AC ,DE 把平行四边形A BCD 分成的四部分的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4.下面结论:①只有一对相似三角形;②EF:ED=1:2;③S 1:S 2:S 3:S 4=1:2:4:5.其中正确的结论是( )

A .①③

B .③

C .①

D .①②

拓展变式 点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上的一点,AE 与CD 相交于点G ,则图中相似三角形共有( ) A .2对 B .3对 C .4对 D .5对

例4、如图,△ABC 中,A ,B 两个顶点在x 轴的上方,点C 的坐标是(-1,0).以点C 为位似中心,在x 轴的下方作△ABC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A ′B ′C .设点B 的对应点B ′的横坐标是a ,则点B 的横坐标是( )

A .1

2

a -

B .1

(1)2

a -+

C .1(1)2a --

D .1(3)2a -+

六、综合训练 1、在△ABC 与△A′B ′C ′中,有下列条件: (1)

''''AB BC A B B C =; (2)''''

BC AC

B C A C =; (3)∠A=∠A′; (4)∠C=∠C′.

如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组( ) A .1 B .2 C .3 D .4

3、如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三

角形.若OA ∶OC = OB ∶OD ,则下列结论中一定正确的是 ( )A .①和②相似 B .①和③相似 C .①和④相似 D .②和④相似

小华乙

4、如图,△ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截,AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 ( )A.

91 B.92 C.31 D.9

4

5、如图6,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADB +∠EDC =120°,BD =3,CE =2,则△ABC 的边长为( ) A .9 B .12 C .16 D .18

6、如图,在?ABCD 中,点E 是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F ,则EF :FC 等于( ) A .3:2 B .3:1

C . 1:1

D . 1:

2

7、如图,△ABC 中,AE 交BC 于点D ,∠C =∠E ,AD :DE =3:5,AE =8,BD =4,则DC 的长等于( ) A .

B .

C .

D .

8、如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC △相似的是( )

9、如图,在?ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,S △DEF :S △ABF =4:25,则DE :EC =( )

10、如图,在矩形AOBC 中,点A 的坐标是(﹣2,1),点C 的纵坐标是4,则B 、C 两点的坐标分别是( )

A .(,3)、(﹣,4)

B . (,3)、(﹣,4)

C .(,)、(﹣,4)

D .(,)、(﹣,4)

11、在△ABC 和△A 1B 1C 1中,下列四个命题:

(1)若AB =A 1B 1,AC =A 1C 1,∠A =∠A 1,则△ABC ≌△A 1B 1C 1; (2)若AB =A 1B 1,AC =A 1C 1,∠B =∠B 1,则△ABC ≌△A 1B 1C 1; (3)若∠A =∠A 1,∠C =∠C 1,则△ABC ∽△A 1B 1C 1;

(4)若AC :A 1C 1=CB :C 1B 1,∠C =∠C 1,则△ABC ∽△A 1B 1C 1.

其中真命题的个数为( ) A .4个

B

. 3个

C . 2个

D . 1个

12、如图,将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠,使点

D 落在AB 边的中点

E 处,折痕为FH ,点C 落在Q 处,EQ 与

BC 交于点G ,则△EBG

的周长是

cm 13、如图,平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等,则

= .

A .

B .

C .

D .

A

B

A B D

O ① ②

(第3题)

( (第4题图)

H G

F

E

D

C

B

A

14、

如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,

4).已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5),若△ABC 与△A 1B 1C 1位似,则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为 .

15、如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、BC 上的点,且DE ∥AC ,若S △BDE :S △CDE =1:4,则S △BDE :S △ACD =(

16、已知:在△ABC 中,BC =10,BC 边上的高h =5,点E 在边AB 上,过点E 作EF ∥BC ,交AC 边于点F .点D 为BC 上一点,连接DE 、DF .设点E 到BC 的距离为x ,则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为( )

第16题图

D

17、如图,矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,动点P 从A 点出发,按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动,记

P A =x ,点D 到直线P A 的距离为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( )

A .

B .

C .

D .

18、如图,AB 是半圆O 的直径,C 是半圆O 上一点,OQ ⊥BC 于点Q ,过点B 作半圆O 的切线,

交OQ 的延长线于点P ,P A 交半圆O 于R ,则下列等式中正确的是( )

=

=

=

=

19、在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:

甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.

乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.

对于两人的观点,下列说法正确的是(

20、如图,⊙O 的半径为4,B 是⊙O 外一点,连接OB ,且OB =6,过点B 作⊙O 的切线BD ,切点为D ,延长BO 交⊙O 于点A ,过点A 作切线BD 的垂线,垂足为C . (1)求证:AD 平分∠BAC ; (2)求AC 的长.

13、如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O .M 为AD 中点,连接CM 交BD 于点N ,且ON =1. (1)求BD 的长;

(2)若△DCN 的面积为2,求四边形ABCM 的面积.

14、如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,AC 与BD 交于点E ,∠ADB =∠AC B .

(1)求证:

=;

(2)若AB ⊥AC ,AE :EC =1:2,F 是BC 中点,求证:四边形ABFD 是菱形.

15、、将一副三角尺如图①摆放(在Rt ABC ?中,90ACB = ∠,60B = ∠;在Rt DEF ?中,90EDF = ∠,45E = ∠。

),点D 为AB 的中点,DE 交AC 于点P ,DF 经过点C 。

图① 图②

⑴求∠ADE 的度数;

⑵如图②,将DEF ?绕点D 顺时针方向旋转角()

060αα<<

,此时的等腰直角三角尺记为

''DE F ?,'DE 交AC 于点M ,'DF 交BC 于点N ,试判断

PM

CN

的值是否随着α的变化而变化?如果不变,请求出PM

CN

的值;反之,请说明理由。

16、如图的⊙O 中,AB 为直径,OC ⊥AB ,弦CD 与OB 交于点F ,过点D 、A 分别作⊙O 的切线交于点G ,并与AB 延长线交于点E . (1)求证:∠1=∠2.

(2)已知:OF :OB =1:3,⊙O 的半径为3,求AG 的长.

17、如图,E 是矩形ABCD 的边BC 上一点,EF ⊥AE ,EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ,BG ⊥AC ,垂足为C ,BG 交AE 于点H . (1)求证:△ABE ∽△ECF ;

(2)找出与△ABH 相似的三角形,并证明;

(3)若E 是BC 中点,BC=2AB ,AB=2,求EM 的长.

18、如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°.AB=AC .点D 是线段AB 上的一点,连结CD .过点B 作BG ⊥CD ,分别交CD 、CA 于点E 、F ,与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ,连结DF ,给出以下四个结论:①=

;②若点D 是AB 的中点,则AF=

AB ;③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时,

DF=DB ;④若

=,则S △ABC =9S △BDF ,其中正确的结论序号是( )

A .①②

B .③④

C .①②③

D .①②③④

20、(1)如图1,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE ,AE=3,∠CAE=45°,求AD 的长. (2)如图2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,

求AD 的长.

B

图1 图2

E

21、如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.

(1)求证:△ADF∽△DEC;

(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.

22、已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.

(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;

(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.

23、如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.

(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;

(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ.

24、如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.

(1)求证:△BDG∽△DEG;

(2)若EG?BG=4,求BE的长.

25、如图,四边形ABCD是矩形,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,点G是BC、AE 延长线的交点,AG与CD相交于点F.

(1)求证:四边形ABCD是正方形;

(2)当AE=2EF时,判断FG与EF有何数量关系?并证明你的结论.

26、如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.

(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;

(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.

27、如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.

(1)如图①,当时,求的值;

(2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=OA;

(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.

28、已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.

(第6题图)

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、O A.

①求证:△OCP∽△PDA;

②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;

(3)如图2

,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.

《解直角三角形》复习提纲

一、知识回顾

1、三角函数定义:

我们规定

斜边的对边

A ∠叫∠A 的正弦,记作:sinA=

斜边的邻边

A ∠叫∠A 的余弦,记作:cosA=

的邻边

的对边

A A ∠∠叫∠A 的正切,记作:tanA=

2、特殊角的三角函数值

3(1).解直角三角形的概念:在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形. (2).解直角三角形的类型:

已知____________;已知___________________.

(3).如图(1)解直角三角形的公式:

(1)三边关系:__________________.

(2)角关系:∠A+∠B =_____,

(3)边角关系:sinA=___,sinB=____,cosA=_______. cosB=____,tanA=_____ ,tanB=_____. 4、几个概念

(1)如图(2)仰角是____________,俯角是____________.

(2)如图(3)方位角:OA :_____,OB :_______,OC :_______,OD :________. (3)如图(4)坡度:AB 的坡度i AB =_______,∠α叫_____,tanα=i =____.

二、训练

1、如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为( )

米2、如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向,距离灯塔80海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处,这时,海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为 海里海里海里3、如图,正方向ABCD 的边长为3cm ,E 为CD 边上一点,∠DAE =30°,M 为AE 的中点,过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q .若PQ =AE ,则AP 等于 cm .

B

∠A 的对边

∠A 的邻边

O A B C

4、如图,在四边形ABCD 中,AB =AD =6,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =60°,点M 、N 分别在AB 、AD 边上,若AM :MB =AN :ND =1:2,则tan ∠MCN =( )

2

5、如图,在△ABC 中,∠A =30°,∠B =45°,AC =,则AB 的长为 .

6、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90o ,AC =6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA =5

1

,则AD 的长为(

(A ) 2 (B )3 (C )2 (D )1

7、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A <∠B ,沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠,使点A 落在

点D 处,若CD 恰好与MB 垂直,则tanA 的值为 .

8、如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0),B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( )

A. 12

B.34

C.32

D.45

9、如图,直线l 1∥l 2∥l 3, AC 分别交l 1,l 2,l 3于点A ,B ,C ; DF 分别交l 1,l 2,l 3于点D ,E ,F .AC 与DF 相交于点H ,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )

A .12

B .2

C .25

D .35

10、如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在BA 的延长线上,

点F 在BC 的延长线上,连接EF ,分别交AD ,CD 于点G ,H ,则下列结论错误的是( )

A .

=

B .=

C .=

D .

=

11、一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,AC =10,试求CD 的长.(8分)

12、如图,已知等边△ABC ,AB =12,以AB 为直径的半圆与BC 边交于点

D ,过点D 作DF ⊥AC ,垂足为F ,过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,连结G D .

(1)求证:DF 是⊙O 的切线;(2)求FG 的长;(3)求tan ∠FGD 的值

D

11、如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.

(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;

(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).

12、如图,小明在M处用高1米(DM=1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10米到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度。

13、如图所示,A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越

1.732 1.414)

14、如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km;BC段与AB、CD段都垂直,长为10km,CD段长为30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).

A B

F

E P

45°

30°

15、如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100(+1)海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.

(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号).(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:≈1.41,≈1.73)

16、为邓小平诞辰110周年献礼,广安市政府对城市建设进行了整改,如图,已知斜坡AB长60米,坡角(即∠BAC)为45°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号).

(1)若修建的斜坡BE 的坡比为:1,求休闲平台DE的长是多少米?

(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG=33米),小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G,H在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高为多少米?

九年级数学 第24章《解直角三角形》测试卷及答案 沪科版

九年级数学 第24章《解直角三角形》测试卷及答案 沪 科版 (满分:90分 时间:60分钟) 一、选择题(每题4分,共40分) 1.如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A = ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.如果α是锐角,且5 4 sin = α,则)90cos(α-?= ( ) A. 54 B.43 C.53 D.5 1 3.在△ABC 中,A ,B 为锐角,且有 B A cos sin =,则这个三角形是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 4.当0 9045<> B.A A A sin tan cos >> C.A A A cos tan sin >> D.A A A cos sin tan >> 5.在Rt△ABC 中,∠C=90°,cosA = 5 4 ,那么tanB 的值为 ( ) A.53 B.45 C.43 D.3 4 6.若等腰三角形腰长为4,面积是4,则这个等腰三角形顶角的度数为 ( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 7.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ,关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是 ( ) A .sin A 的值越大,梯子越陡 B .cos A 的值越大,梯子越陡 C .tan A 的值越小,梯子越陡 D .陡缓程度与A ∠的函数 8.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD , 对角线AC 平分∠BAD ,∠B =60o,CD =2cm ,则梯形 ABCD 的面积为 ( ) A .33cm 2 B .6 cm 2 C .63 cm 2 D .12 cm 2 9.如图,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知AB =8,BC =10,则 tan∠EFC 的值为 ( ) A . 34 B . 43 C . 35 D . 45 (第7题图) (第8题图) (第9题图) 10.某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度3:1=i ,坝外斜坡的坡度1:1=i ,则 B A C D

九年级下第一章解直角三角形专项练习3

第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数: 1、各三角函数之间的关系: ⑴sin =cos ; ⑵sin 2+cos 2= ; ⑶tan = . 2、在Rt △ABC 中,∠C =900 ,AC =12,BC =15。 (1)求AB 的长; (2)求sinA 、cosA 的值; (3)求A A 2 2 cos sin +的值; (4)比较sinA 、cosB 的大小。 2、(1)在Rt △ABC 中,∠C =900 ,5=a ,2=b ,则sinA = 。 (2)在Rt △ABC 中,∠A =900 ,如果BC =10,sinB =0.6,那么AC = 。 (3)在ABC Rt ?中,C ∠=90,c = 8 , sinA = 4 1 ,则b = . 3、选择:(1)在Rt △ABC 中,∠C =900 ,3 1 tan = A ,AC =6,则BC 的长为( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 (2)Rt ABC ?中,C ∠=90,43AC BC ==,,cos B 的值为 ( ) 15A 、 35B、 43C、 34 D、 (3)ABC ?中,C ∠=90,tan 1A =,则sin B 的值是 ( ) 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算: (1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. (3)???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?

(完整版)初中解直角三角形练习题

解直角三角形练习题 一、 真空题: 1、 在Rt △ABC 中,∠B =900,AB =3,BC =4,则sinA= 2、 在Rt △ABC 中,∠C =900,AB =,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中,∠C =900,SinA=5 4 ,AB=10,则BC = 4、α是锐角,若sin α=cos150,则α= 若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角,且2cosB -1=0则∠B = 6、在△ABC 中,∠C =900,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,a =9,b =12,则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中,∠C =900,tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中,∠C =900,若b a 32=则tanA= 9.等腰三角形中,腰长为5cm ,底边长8cm ,则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角,且tan 2A+2tanA -3=0则∠A = 11、Rt △ABC 中,∠A =600,c=8,则a = ,b = 12、在△ABC 中,若32=c ,b =3,则tanB= ,面积S = 13、在△ABC 中,AC :BC =1:3,AB =6,∠B = ,AC = BC = 14、在△ABC 中,∠B =900,AC 边上的中线BD =5,AB =8,则tanACB=

二、选择题 1、在Rt △ABC 中,各边的长度都扩大2倍,那么锐角A 的正弦、余弦值 ( ) A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角,且cotA <3,则∠A ( ) A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中,已知a 边及∠A ,则斜边应为 ( ) A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3,则顶角为( ) A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中,A ,B 为锐角,且有sinA =cosB ,则这个三角形是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形,斜边为1cm ,则斜边上的高为( ) A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm

(完整版)解直角三角形超经典例题讲解

课 题 解直角三角形 授课时间: 备课时间: 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法:讲授法 教学内容 (一)知识点(概念)梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角; (1)

9、(1)坡度(或坡比)是坡面的 铅直 高度(h )和水平长度(l )的比。 记作i,即i = l h ; (2)坡角——坡面与水平面的夹角。记作α,有i =l h =tan α (3)坡度与坡角的关系:坡度越大,坡角α就越 大 ,坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ,即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA ,即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ,即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA ,即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 (1)互余关系 sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—A) (2)平方关系 1cos sin 22=+A A (3)倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1

历年初三数学中考创新应用题及答案

创新应用题 一、解直角三角形的应用问题 从近几年全国各省市的中考试题来看,直角三角形的解法及其应用,成为中考的热点,它着重考查学生的应用能力与创新能力。 例1.(2005年福建三明市)2005年5月22日,媒体 广泛报道了我国“重测珠峰高度”的活动,测量人员从六个 不同观察点同时对峰顶进行测量(如图1)。小英同学对此十 分关心,从媒体得知一组数据:观察点C 的海拔高度为5200 米,对珠峰峰顶A 点的仰角∠ACB=11°34′58″, AC=18174.16米(如图2),她打算运用已学知识模拟计算。 ⑴现在也请你用此数据算出珠峰的海拔高度(精确到 0.01米); ⑵你的计算结果与1975年公布的珠峰海拔高度 8848.13米相差多少?珠峰是长高了,不是变矮了呢? 解: ⑴在Rt △ABC 中,∵sin ∠ACB=AC AB ∴AB=AC sin ∠ACB=18174.16×sin11°34′58″ ≈3649.07 3649.07+5200=8849.07 ∴珠峰的海拔高度为8849.07米 ⑵8849.07-8848.13=0.94 练习一 1.如图所示,秋千链子的长度为3m ,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5m .秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为?53,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少? (参考数据:?53sin ≈0.8,?53cos ≈0.6) 0.5m ?53 3m

2、如图,晚上,小亮在广场上乘凉。图中线段AB表示站在广场上的小亮,线段PO表示直立在广场上的灯杆,点P表示照明灯。 ⑴请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子; ⑵如果灯杆高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮与灯杆的距离BO=13m,请求出小亮影子的长度。 3.如图所示,一根长2a的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P. 若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行. (1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由. (2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并 求出面积的最大值.

第24章解直角三角形

《第24章 解直角三角形》测试卷 (满分:90分 时间:60分钟) 得分 4.当45° ::: A ::: 900时,下列不等式中正确的是( )。 4 5.在 Rt △ ABC 中,/ C = 90°, cosA = ,那么 tanB 的值为( )。 A 3 5 5 c 3 4 A.— B. C. D. 5 4 4 3 6.若等腰三角形腰长为 4,面积是 4,则这个等腰三角形顶角的度数为( )° 姓名 1. 2. 3. 、选择题(每题 4分,共40分) 如果/ A 是锐角,且si nA =cosA ,那么/ A =( A.30 ° B.45 ° C.60 ° 4 如果a 是锐角,且sin ,则 5 B. 3 4 B 为锐角,且有 cos(90 -匚)=( )。 )。 D.90 A.- 5 在厶ABC 中, A.等腰三角形 A , C . 3 5 sin A 二cosB ,则这个三角形是 D. B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 1 5 ( ) 锐角三角形 A. ta nA cosA si nA B. cosA tan A sin A C. sin A tan A cosA D. tan A si nA cosA 7.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为 是( )。 A . si nA 的值越大,梯子越陡 C. tan A 的值越小,梯子越陡 & 如图,在等腰梯形ABCD 中 AB// CD cm i . 9.如图,沿AE 折叠矩形纸片 ABCD 使点D 落在 A 3 D 4 A. B .- 4 10.某水库大坝的横断面是梯形, BC 边的点 3 ? 5 F 处。已知 坝内斜坡的坡度 A. 900 B. 600 C. AB= 8, BC = 10,贝U tan / EFC 的值 为 4 ? 5 i =1: 3 ,坝外斜坡的坡度i =1:1,则两个坡角的和为 750 D. 1050 (第7题图) (第 8题图)

九下第一章解直角三角形电子教案

九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起(一) 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? 二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习: 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注

解直角三角形知识点及典型例题

解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角_____ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比_____ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比_____ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比____ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢? 3、三角函数定义: 注意:sinA ,cosA ,tanA 都是一个完整的符号,单独的sin ,cos ,tan 是没有意义的,其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 例2、在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA= 23 ,则tanB 等于( ) 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦; ⑵、余弦; ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义; ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系; ②、锐角间关系; ③、边角间关系。

A . 35 B .3 C .2 5 D . 2 例4、已知:α是锐角,tan α= 7 24 ,则sin α=_____,cos α=_______. 4、取值范围:0<sinA <1,0<cosA <1,tanA >0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用,如在测量高度、距离、角度,确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题,常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度(坡比) 方向角度 俯角仰角 例6、如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB ?的值. 例7、如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD ,根据此图求tan15°的值.

锐角三角函数及解直角三角形的应用练习题

第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用 一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角,使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图,修建抽水站时,沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道,若量得水管AB 的长度为80米,那么点B 离水平面的高度BC 的长为( ) A 80 3 3米 B .403米 C .40米 D .10米 3.一个斜坡的坡角为30°,则这个斜坡的坡度为( ) A . 1:2 B. 3 :2 C. 1: 3 D. 3 :1 4.等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm ,那么底角的余弦等于( ). (A )513 (B )1213 (C )10 13 (D )512 5.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的延长线上的D ′处,那么tan ∠BAD ′等于( ) (A)1 (B)2 (C )2 2 (D)22 6.在△ABC 中,三边之比为2:3:1::=c b a ,则sinA+tanA 等于( ) (A ) 6323+ (B )32 1 + (C )233 (D )213+ 7.在菱形ABCD 中,∠ADC=120°,则BD ∶AC 等于( ) (A )2:3 (B )3:3 (C )1∶2 (D )1:2 8.如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图,光线与地面所成的∠AMC=30°,在教室地面的影长MN=32米,若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米,则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为( ) (A )32米 (B )3米 (C )3.2 米 (D ) 2 3 3米 A B C M N

(完整版)解直角三角形和应用题

解直角三角形和应用题 解直角三角形既是初中几何的重要内容,又是今后学习解斜三角形,三角函数等知识的基础,同时,解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中,解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此,通过复习应注意领会以下几个方面的问题: 一、重点难点 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点,更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此,解直角三角形既是各地中考的必考内容,更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 【典型例题】 例1. 如图,点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B 、C 两个村庄,现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通,经测得∠ ABC=45o ,∠ACB=30o ,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算进行说明。 解:在中,Rt ABH BH AH ?=?tan45 在中,Rt ACH CH AH ?=? tan30 ∴?+? =AH AH tan tan 45301000 ∴=->AH 5003500300 ∴不会穿过 例2. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD ,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得,从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 (1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下:测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A 、D 间距离,用m 表示;如果测D 、C 间距离,用n 表示;如果测角,用α、β、γ表示)。 (2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG (用字母表示,测倾器高度忽略不计)。 B H C

解直角三角形练习题(一)及答案

解直角三角形 一、选择题 1、如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的延长 线上的D ′处,那么tan ∠BAD ′等于( ) (A).1 (B).2 (C). 2 2 (D).22 2、如果α是锐角,且5 4 cos = α,那么αsin 的值是( ). (A ) 259 (B ) 54 (C )53 (D )25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm ,那么底角的余弦等于( ). (A ) 513 (B ) 1213 (C )10 13 (D )512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) (A )(1,3,2) (B )(3,4,5) (C )(3,4,5) (D )(32,42,52) 5、在Rt △ABC 中,∠C =90°,下列式子中正确的是( ). (A )B A sin sin = (B )B A cos sin = (C )B A tan tan = (D )B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE=α,且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为( ). (A )3 (B ) 316 (C )320 (D )5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要( ). (A )450a 元 (B )225a 元 (C )150a 元 (D )300a 元 8、已知α为锐角,tan (90°-α)=3,则α的度数为( ) (A )30° (B )45° (C )60° (D )75° 9、在△ABC 中,∠C =90°,BC =5,AB =13,则sin A 的值是( ) (A )13 5 (B )1312 (C )125 (D )512 A B C D E ?15020米30米

华东师大版初中数学九年级上册 第24章解直角三角形 24.4 解直角三角形教案1

解直角三角形1 教学目标 巩固勾股定理,熟悉运用勾股定理。 学会运用三角函数解直角三角形。 掌握解直角三角形的几种情况。 教学重难点 重点:使学生养成“先画图,再求解”的习惯。 难点:运用三角函数解直角三角形。 教学过程 我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系,这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具. 例1 如图19.4.1所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下,树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少? 解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 26241022=+ 26+10=36(米). 所以,大树在折断之前高为36米. 在例1中,我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样,在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 例2 如图,东西两炮台A 、B 相距2000米,同时发现入侵敌舰C ,炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向,炮台B 测得敌舰C 在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米) 解 在Rt △ABC 中,因为

∠CAB =90゜-∠DAC =50゜, AB BC =tan ∠CAB , 所以 BC =AB ?tan ∠CAB =2000×tan50゜≈2384(米). 又因为 ?=50cos AC AB , 所以 AC =)(311150cos 200050cos 米≈?=?AB 答:敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,本书除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′. 解直角三角形,只有下面两种情况: (1)已知两条边; (2)已知一条边和一个锐角 课堂练习 1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳,问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方? 2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行,在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30゜处,半小时后航行到B 处,发现此时灯塔Q 与海船的距离最短,求灯塔Q 到B 处的距离.(画出图形后计算,精确到0.1海里)

解直角三角形常见题型

解直角三角形常见题型 题型一、关于仰角与俯角的题型 1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图).已 知立杆AB高度是3m,从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度. 2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度.如图,他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45?,再往摩天轮的方向前进50 m至D处,测得最高点A的仰角为60?. 3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,则电梯楼的高BC 为多少米。 4、中国国际航空体育节在莱芜举办,期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图,有一热气球到达离地面高度为36米的A处时,仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°,底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼,气球应至少再上升多少米 中考链接 5.(8分)(2018?泸州)如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40m.(1)求点B到AD的距离;(2)求塔高CD(结果用根号表示).

6.(10分)(2008?巴中)又到了一年中的春游季节,某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”. 下面是两位同学的一段对话:甲:我站在此处看塔顶仰角为60;乙:我站在此处看塔顶仰角为30;甲:我们的身高都是;乙:我们相距20m ;请你根据两位同学的对话,计算白塔的高度(精确到1米). 7、(2017?广元)如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度,在C 处测得∠ADG=30°,在E 处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB 的高度(结果保留两位有效数字,≈). 8.(8分)(2015?巴中)如图,某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度,在大厦前的平地上选择一点C ,测得大厦顶端A 的仰角为30°,再向大厦方向前进80米,到达点D 处(C 、D 、B 三点在同一直线上),又测得大厦顶端A 的仰角为45°,请你计算该大厦的高度.(精确到米,参考数据: ≈, ≈) 题型三、关于方位角的题型 1.如图1,一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°,此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行,飞行10秒到山顶D 的正上方C 处,此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米,求这座山的高(精确到千米) 2. 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN (如图),在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A 相距83 km 的C 处. (1)求该轮船航行的速度(保留精确结果); (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠 岸请说明理由. 4、如图,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A 地观测到我渔船C 在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B 处,此时观测到我渔船C 在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久,离我渔船C 的距离最近(假设我渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值.) N M 东 北 B C A l

整理解直角三角形的应用经典题型

解直角三角形应用经典 【例1】:为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌.已知立杆AB 高度是3m ,从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC 的高度. 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m ,则电梯楼的高(精确到0.1). (参考数据:414 .12≈ 732.13≈) 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办,期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图, 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时,仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°,底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼,气球应至少再上升多少米?(结果精确到0.1米) (参考数据:, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈) B A C

【例2】:在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M 的正西19.5 km 处 有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经 过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距83的C处. (1)求该轮船航行的速度; (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸?请说明理由. 练习:如图,某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸,测绘员在A处测得要安装 天然气的M小区在A市东偏北60°方向,测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处,测得小区M位于 C的北偏西60°方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短,并求AN 的长. 【例3】:如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 3 20,为加强水坝强度,将 坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=ο 45,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: 414 .1 2≈,732 .1 3≈). N M 东 北 B C A l

九年级下第一章解直角三角形专项练习3

第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数: 1、 各三角函数之间的关系: ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中,/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长; (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值; (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中,/ C = 900, a =,;5 , b =2,贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中,/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6,那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中,一 C = 90, c = 8 , sinA = ,则 b = . 4 1 3、 选择:(1 )在 Rt △ ABC 中,/ C = 900, tanA , AC = 6,则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ? (2) Rt ABC 中, C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中, C = 90, tan A =1,则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o.

《解直角三角形》典型例题

《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=60°,a=4,解这个三角形. 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值.可根据直角三角形中各元素间的关系解决. 解 (1) ; (2)由a b B = tan ,知 ; (3)由c a B = cos ,知860cos 4 cos =? == B a c . 说明 此题还可用其他方法求b 和c . 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°,∠A=30°,3=b ,解这个三角形. 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ . ∴ . 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题. 例 3 设 中, 于D ,若 ,解三 角形ABC .

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素.本题CD不是 的边,所以应先从Rt入手. 解在Rt中,有: 在Rt中,有 说明(1)应熟练使用三角函数基本关系式的变形,如: (2)平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用,本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理.事实上,还可以用面积公式求出AB的值: 所以解直角三角形问题,应开阔思路,运用多种工具. 例4在中,,求. 分析(1)求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长,也可以根据其中规则面积的和或差; (2)不是直角三角形,可构造直角三角形求解.

解如图所示,作交CB的延长线于H,于是在Rt△ACH中,有 ,且有 ; 在中,,且 , ∴; 于是,有 , 则有 说明还可以这样求:

华东师大版 九上数学 24章《解直角三角形》单元测试题(含答案)

解直角三角形测验解直角三角形测试题 一. 选择题:(每小题2分,共20分) 1. 在△EFG中,∠G=90°,EG=6,EF=10,则cotE=() A. B. C. D. 2. 在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,tanC的值是() A. B. C. 1 D. 3. 在△ABC中,若,,则这个三角形一定是() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18,在△EFG中,∠EFG=90°,FH⊥EG,下面等式中,错误的是() A. B. C. D. 5. sin65°与cos26°之间的关系为() A. sin65°cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°,下列各式正确的是() A. B. C. D. 7. 在△ABC中,∠C=90°,,则sinB的值是() A. B. C. D. 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积是()米2 A. 150 B. C. 9 D. 7 9. 如图19,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为i= 2∶3,顶宽是3米,路基高是4米,则路基的下底宽是()

A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为() A. B. C. D. 1 二. 填空题:(每小题2分,共10分) 11. 已知0°<α<90°,当α=__________时,,当α=__________时,Cota=. 12. 若,则锐角α=__________。 13. 在Rt△ABC中,∠C=90°,,,则a=__________,b=__________,c=__________,cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm,则底边上的高为__________cm,底角的余弦值为__________。 15. 酒店在装修时,在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯宽2米,其侧面如图21所示,则购买地毯至少需要__________元。 三. 解答题:(16、17每小题5分,其余每小题6分共70分) 16. 计算 17. 如图22,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AD=AB,求tanD。 18. 已知直角三角形中两条直角边的差是7cm,斜边的长是13cm,求较小锐角α的各三角函数值。 19. 如图23,ABCD为正方形,E为BC上一点,将正方形折叠,使A点与E点重合,折痕为MN,若。 (1)求△ANE的面积;(2)求sin∠ENB的值。 20. 已知在△ABC中,,AC=2,BC边上的高。(1)求BC的长; (2)若有一个正方形的一边在AB上,另外两个顶点分别在AC和BC上,求正方形的面积。 21. 已知,△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,AB=5,AC=3,求AD的长。 22. 如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,DE⊥AB于E,∠ADC=45°,若DE∶AE=1∶

九年级下第一章解直角三角形专项练习四

第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=5 3 ,那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中, tan A =1,cos B =2 1 ,则∠C 的度数是( ) A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC =1,BC =3,则sinA ,cosA 的值分别为( ) A. 21,33 B. 23,21 C. 2 1,3 D. 23,33 4.在直角三角形中,如果各边都扩大1倍,则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5.已知α是锐角,且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6.化简:140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1-tan40° C. tan40°-1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角,cos β≤ 2 1 ,则β的取值范围为( ) A.30°≤β <90° B. 0°<β≤60° C. 60°≤β<90° D. 30°≤β<60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°>cos16°>sin30° B. cos16°>sin30°>cos43° C. cos16°>cos43°> sin30° D. cos43°>sin30°>cos16° 9.如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ,AB=4,则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10.在平行四边形ABCD 中,已知AB=3cm ,BC=4cm ,∠B=60°,则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填(共6小题;每小题5分,共30分) 11.若2sin (α+5°)=1,则α= °。 12.边长为8,一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3,底长为2,则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中,∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系,则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( , )、B( , )、C( , )。 15.如右下图,把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连结O B 将 A B

(完整word版)初三解直角三角形基本模型复习

课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0

1.解直角三角形的定义: 在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B= b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)

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