1.(1)证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ,
PAC ?中,,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC (2)
分
因为MN ?面MDE ,又AC ?面MDE ,所以//AC 平面MDE ………………4分
(2)解法一:设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ,以D 为空间坐标系的原
点,分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则
),(,,0),(0,2,0)P B a a C a (,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=- (6)
分
设平面PAD 的单位法向量为1n ,则可设1(0,1,0)n = ……………………………7分
设面
PBC 的法向量2(,,1)n x y =,应有
22(,,1)(,,)0
(,,1)(,,0)0
n PB x y a a n BC x y a a ??=?=??
?
=?-=??
即:00
ax ay ax ay ?
+-=?
?
-+=??
解得:22
x y ?=?
???=??,所以2
2(,22n =
(12)
分
∴12121
2cos 2
1n n n n θ?===?? (13)
分
所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14分
解法二:延长CB 、DA 相交于G ,连接PG ,过点D 作DH ⊥PG ,垂足为H ,连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ,而AD ⊥DC ,PD ∩AD =D ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PG ,又CD ∩DH =
D ∴PG ⊥平面CDH ,从而PG ⊥HC ………………8分 ∴∠DHC 为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分
在Rt =△PDG 中,22DG AD a ==
,PD = 可以计算DH
=
…12分
在Rt △CDH
中,2tan CD a
DHC DH ∠=
== (13)
分
所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14分
2、(1)证明:如图,连接
1D B ,依题意有:在长方形11A ADD 中,11AD AA ==,
1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E
D E AD B AD AB A ?
⊥?
?⊥?
?⊥?⊥?⊥?????=?四边形平面又平面平面.……… 4分
(2)解
:AC ,
/21AE AB ==,
EC =
cos AEC ∠=
=,
sin 2AEC ?∠=
.
∴
11
1222AEC S ?=?=
,…………… 6分 1111
1326D AEC V -=??=
.1AD ==
1D C ==
1sin D AC ?∠=
=
.∴11322A DC S ?==
.
设点E 到平面
1ACD 的距离为d ,∴11131326D AEC E AD C V V d --==?=1
3d ?=
.
∴点E 到平面
1ACD 的距离为1
3. ………………………………………………… 8分
(3)解:过D 作DF EC ⊥交EC 于F ,连接1D F .由三垂线定理可知,
1DFD ∠为二面
角
1D EC D --的平面角.
∴
14DFD π
∠=
,
12D DF π
∠=
,111D D DF =?=. ……………………… 10分
1sin 26DF DCF DCF DC π∠=
=?∠=,∴3BCF π
∠=.…………………… 12分
∴
tan
3
BE
BE BC π
=
?=
2AE AB BE =-=
故2AE =1
D EC D --的平面角为4π
.…………………………… 14分
3、解析:(Ⅰ)法1:连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,
BC =知,60CAB ∠=,
∴ACO ?为等边三角形,从而CD AO ⊥.-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ?平面ABC , ∴PD CD ⊥,-----------------5分
由PD
AO D =得,CD ⊥平面PAB ,
又PA ?平面
PAB ,
∴PA CD ⊥. -----------------6分
(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) 法2:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,
在Rt ABC ?中设1AD =,由3A
D D B =
BC =得,3DB =,4AB =
,BC =
∴2
BD BC BC AB ==,则BDC BCA ??∽, ∴
BCA BDC
∠=∠,
即
C ⊥
. -----------------3分
∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ?平面ABC , ∴
PD CD
⊥,
-----------------5分 由PD
AO D =得,CD ⊥平面PAB ,
又PA ?平面
PAB ,
∴PA CD ⊥. -----------------6分 法3:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,
在Rt ABC ?
BC =得,30ABC ∠=, 设1AD =,由3AD DB =得,3DB =
,BC = 由余弦定理得,2
2
2
2cos303CD DB BC DB BC =+-?=, ∴
222
CD DB BC +=,即
C
⊥
. -----------------3分
∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ?平面ABC , ∴
PD CD
⊥,
-----------------5分 由PD
AO D =得,CD ⊥平面PAB ,
又PA ?平面PAB ,
∴PA CD ⊥. -----------------6分
(Ⅱ)法1:(综合法)过点D 作DE PB ⊥,垂足为E ,连接CE . -----------------7分
由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ?平面PAB , ∴CD PB ⊥,又DE CD D =,
∴PB ⊥平面CDE ,又CE ?平面CDE , ∴CE PB ⊥,-----------------9分
∴DEC ∠为二面角C PB
A --的平面角. -----------------10分 由(Ⅰ)可知CD =,3PD
DB ==,
(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1
∴PB =,则PD DB DE PB ?=
==
,
∴在Rt CDE ?
中,tan 2
CD DEC DE ∠=
==
,
∴
cos 5
DEC ∠=
,即
二
面
角
C PB A
--的余弦值
为
5
. -----------------14分 法2:(坐标法)以D 为原点,DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系. -----------------8分 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明CD AB ⊥,酌情给分.) 设1AD =,由3AD DB =
BC =得,3PD DB ==
,CD =, ∴(0,0,0)D
,C ,(0,3,0)B ,(0,0,3)P , ∴(3,0,3)PC =-,(0,3,3)PB =
-,(CD =, 由
CD ⊥
平面
PAB
,知平面
PAB
的一个法
向量为
(CD =. -----------------10分
设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则
PC PB ??=??
?=??n
n ,即30330y y z -=-=??,令1
y =,则x =1z =,
∴,1)=n ,-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ,
则cos ||5CD CD θ?=
==?n |n |
-----------------13分 ∴二面角C PB A --.-----------------14分
4、解:(1)过点B 作BH AC ⊥于点H ,连接SH . …………1分 因为SO ABC ⊥平面,BH ABC ?平面,
所以BH SO ⊥. …………2分
又因为BH AC ⊥,SO
AC O =,
所以BH SAC ⊥平面, 即
BSH
∠就是直线SB 与平面
S A 所
成
角. …………3分 在ABC ?中,因为AB BC ⊥,4AC =,2BC =, 所
以
60ACB ∠=?
,
2sin60BH =?. …………4分
在Rt BSH ?中,因为4SB =,
所以sin 4
BH BSH SB ∠==
, 即
直
线
SB 与
平
面
S A 所
成角的正弦值
为
…………5分 (2)由(1)知,几何体SABC 的正视图中,111B A S ?的边HC AC AH B A -==11,
而
1
60cos 2==o HC ,所以
311=B A . …………6分
又111B A S ?的边11A B 上的高等于几何体SABC 中SO 的长,而
4===AC SC SA ,所以
=
SO ,
…………7分
所
以
1
1
1
32
2
S A S ?=
?…………8分 (3)存在. …………9分
证明如下:
如图,连接BO 并延长交弧AC 于点M ,
在底面内,过点A 作AP BM ⊥交弧AC 于点P . ………10分
所以SO ABC ⊥平面.
而AP ABC ?平面,所以AP SO ⊥. …………11分 又因为
AP BM ⊥,SO
BM O =,
所
以
A P ⊥平面,从而
A P ⊥. …………12分
又因为2AO OC BC ===,所以有60AOM BOC ACB ∠=∠=∠=?,所以
60AOM POM ∠=∠=?,
120AOP ∠=?, …………13分
即
点
P 位于弧
AC
的三等分的位置,且
12A
O P ∠=?. …………14分
5、【解析】(Ⅰ)证明:连结AC BD F =,ABCD 为正方形,
F 为AC 中点,E 为PC 中点.
所以在CPA ?中,EF //PA .……2分
又PA ?平面PAD ,EF ?平面PAD , 所以//EF 平面PAD ……………3分
(Ⅱ)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 面ABCD AD = ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ?平面A B C D ,所以CD ⊥平面PAD . ……………4分
又PA ?平面PAD ,所以CD PA ⊥.
又2
PA PD AD ==
,所以PAD ?是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即
PA PD ⊥.………5分
又CD PD D =,且CD 、PD ?面PDC ,所以PA ⊥面PDC .………6分 又PA ?面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC ……………………7分
(Ⅲ) 如图,取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥. 又侧面PAD ⊥底面A B C D ,平面PAD 平面A B C D A D =, 所以PO ⊥平面A B C D ,
而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥, 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所
示, ……………………………………………8分
则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P ,…………………………9分
若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为
1
3
,连结,PG DG ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,
则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,由(Ⅱ)知平面P D C 的法向量为(1,0,
PA =-,………………10分
设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.则0
n DP n GD ??=???=??,即
20x z x ay +=??
--=?
,解得2
2a z y a x y ?=???
?=-?? 令2
y =-,得
(),2,n a a =--,……………………………………………………………………11分
所以
1
cos ,32n PA
n PA n PA ?<>===
,解得12a =(舍去
1
2
-
).………………13分 所以,在线段AB 上存在点11,,02G ?? ???
(此时1
4
AG AB =
),使得二面角C PD G --的余弦值为1
3
.…14分
6
、解:(1)如图建立空间直角坐标系---------------------------------------------------------------1’
设
1AA a =,则)
A
,()0,1,0B ,1,02D ?
?
???
,()10,0,C a ---2’
()
11A B AB ∴==,11,2
DC a ??
=
- ? ???
----------------------------3’
,解得a =1AA =5’
可得:三棱柱111A B C ABC -的体积为1.5-----------6’ (2)显然()11,0,0n =是平面1BCC 的一个法向量,----------8’ 设()2,,1n m n =为平面1BDC 的一个法向量,
x
y
z
(10,3BC =-,31,02BD ??
=- ????
---------------9’
---------------------10’
12cos ,n n =
=--------------------------------------------------------------13’
所以二面角1D BC C --的大小为--------------------------------------14’ 7、(1)证明:∵ABCD 是正方形,
∴DA ⊥AE, DC ⊥CF, 2分 ∴DA /⊥A /E, DA /⊥A /F, 3分 又A /E ∩A /F=A /, 4分 ∴DA /⊥平面A /EF , 5分 又EF ?平面A /EF , 6分 ∴DA /⊥EF 。 7分 (2)取EF 的中点M ,连A /M,DM ,则在△A /EF 中, ∵A /E=AE=1,A /F=CF=1,
∴A /M ⊥EF , 8分
∴=,
∴D M ⊥EF 9分 所以∠A /MD 是二面角A EF D '--的平面角, 10分 在△BEF 中,BE=BF=1,BE ⊥BF ,
∴EF=∴A /M=
2
,又A /D=1, 11分
∵DA /⊥平面A /EF ,∴A /D ⊥A /M ,又A /D=2,∴2
, 12分 ∴cos ∠A /
MD=
/1
3
A M DM =, 13分
所以二面角A EF D '--的平面角的余弦值是
1
3
。 14分
方法2:在△BEF 中,BE=BF=1,B E ⊥BF ,∴EF= 7分 ∵A /E= A /F=1,∴A /E 2+ A /F 2=EF 2
∴A /E ⊥A /F, 8分
所以以A /为坐标系的原点,A /E,A /D,A /F 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 9分 则A /(0,0,0),D(0,2,0),E(1,0,0),F(0,0,1) 10分 ∴ED =(-1,2,0),EF =(-1,0,1),
设平面DEF 的法向量是(,,)n x y z =,则n ●ED =0,n ●EF =0, 11分
∴200x y x z -+=??-+=?
,取n =(2,1,2), 12分
又/A D =(0,2,0)是平面A /EF 的法向量,
n 与/
A D 夹角的余弦值是//1
cos 3
A D n
A D n θ=
=。 13分
所以二面角A EF D '--的平面角的余弦值是
1
3
。 14分 8、证明:(Ⅰ)∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上,
∴ 1AO ⊥平面
BCD , ………………………1分 又BC ?平面BCD ,∴ 1
BC AO ⊥
………………………2分
又1,BC CO AO CO O ⊥=I ,∴ BC ⊥平面1
ACD ,………………………3分 又11A D ACD ?平面,∴ 1BC A D ⊥. …………………………4分 (Ⅱ)∵ ABCD 为矩形 ,∴ 11A D A B
⊥,
…………………………5分
由(Ⅰ)知11,A D BC A B BC B ⊥=I ,∴1A D ⊥平面1A BC ,………………6分 又1A D ?平面1A BD ……………………7分 ∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD …………………8分
(Ⅲ)∵1A D ⊥平面1A BC ,∴11A D AC ⊥,在1R t A B D ?中,由16A D =,
10CD =,
得18AC =,1
24
5
AO =. ……………………9分 过点O 作OE BD ⊥,垂足为E ,连结1A E . ……………………10分 由1AO ⊥平面BCD ,1AO ⊥BD
∴BD ⊥平面1A EO ,BD ⊥1A E , ……………………11分 ∴1A EO ∠为二面角C BD A --1的平面角. ……………………12分 又:Rt DEO Rt DBC ??
,?BC OD EO =
=BD
,1A E =, ……13分 ∴119
cos 25
EO A EO A E ∠=
=. ……………………14分 另解:以点D 为坐标原点,以DA 方向为x 轴,以DC 方向为y 轴,以平行1OA 方向为
z
轴,建立空间直角坐标
系, …………9分 知()0,0,0D ,()6,10,0B ,118240,
,55A ??
???
,得()DB=6,10,0,118240,,55??= ???DA
…………10分
设平面1A BD 的法向量为()1,,=n x y z ,由6100
18
2405
5x y y z +=??
?+=??,得()120,12,9=-n …………11分
而平面BDC 的法向量为()20,0,1=n ……………………12分 ∴
129
cos ,25n n =
=
, …………13分
由图可知,二面角C BD A --1的余弦值为9
25
. ……………………14分
9、解: (1)1
,//,2
PB FG FG BC FG BC =
取的中点,连由题设-----2分 1
//,//2
AE BC AE BC FG AE =
∴ AEFG 是平行四边形,所以 //EF AG ---4分
PAB EF PAB EF PAB AG 面面面//,∴??---6分
(2)取PA 的中点N ,,BN DN 连---8分
PAB BN PA ?∴⊥是等边三角形
~Rt PBD Rt ABD PD AD ??∴=
AN PB ∴⊥
ANB θ∠=是二面角D PA B --
的平面角 ----------------------------10分 知 ,BD PAB BD BN ⊥⊥面
2DBN BD BN ?==在Rt 中,--------------------12分
tan 2,cos 5BD BN θθ=
==
即二面角D PA B --
的余弦值为5
分 解法二 (1)
02220220
2,60,2cos6090ABD AD AB BAD BD AB AD AB AD AD AB ABD ?=∠==+-??=-∴∠=中,由余弦定理
所以 BD AB ⊥ ,PAB ABCD BD AB DB PAB ⊥⊥∴⊥面面面………………………………2分
建系{,,}BA BD z 令 2AB =
(
)(
)(2,0,0,0,,A D P
,()
2,C -
(
)(
)
1122EF AP DC =
+=-= ……………………..4分
因为平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =
20//EF n EF PAB ?=∴面 …………..6分
(2) 设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =
(AP =-
,()
AD =-…………8分
110
20
n AP x n AD x ??=-=??
?=-+=?? …………10分
令x =(
)
13,1,1n =
…………12分
平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =……13分
12cos ,n n <>=
,即二面角D PA B --
.................14分
说明:其他建系方法酌情给分
10(1)证明:取CD 的中点G ,连接AG 、GF ,则GF//DE
∵AC=AD ,∴AG ⊥CD …………2分
∵DE ⊥平面ACD ∴DE ⊥CD ∴GF ⊥CD …………4分 ∵AG GF G = ∴CD ⊥平面AGF
∵AF ?平面AGF ∴AF ⊥CD …………6分
(2)解:分别以GD 、GF 、GA 为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系G xyz -,
(0,1,3),(1,0,0),(1,2,0)(1,1,3),(2,2,0),0
(,,),2201,(1,1,0)
9B C E CB CE CA n CB x y CBE n x y z n CE x y x n -===??=++=?=?
?=+=??==-则设平面的法向量为则设则分
∴2
c o s ,4
||||C A n
C A n C A n ?<>=
=
? …………12分
设直线AC 与平面CBE 所成角为θ,则4
14cos =
=θ ∴直线AC 与平面CBE 所成角的余弦值为4
14
…………14分
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
D E A F B C O O 1 M D C A S 15.如图,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1,则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6.已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点. (1)在直线1CC 上求一点N ,使1AB MN ⊥; (2)当1AB MN ⊥时,求点1A 到平面AMN 的距离. (3)求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值. 7. 如图所示,AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,8=AD .BC 是O ⊙的直径,AD OE AC AB //,6==. (1)求二面角F AD B --的大小; (2)求直线BD 与EF 所成角的余弦值. 8.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若 a BN CM ==)20(< 18.(本小题满分12分) 已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面 互相垂直, M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点, 1=AB ,2=AD , (1)证明:直线//AM 平面NEC ; (2)求二面角D CE N --的大小. 19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是直角梯形, 2 π = ∠=∠ABC DAB ,且22===AD BC AB , 侧面 ⊥PAB 底面ABCD ,PAB ?是等边三角形. (1)求证:PC BD ⊥; (2)求二面角D PC B --的大小. 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一)如图,在直三 棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =BB 1,直线B 1C 与平面ABC 成30°角. (I )求证:平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1; (II )求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值; (III )求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图,在多面体ABCDE 中,AE ⊥面ABC ,BD ∥AE ,且AC =AB =BC =BD =2,AE =1,F 为CD 中点. (1)求证:EF ⊥面BCD ; (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值. A B C D M N 第18题图 高一必修二经典立体几何专项试题 作者: 日期: 高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点 (2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a a来表示 a a a Aa =A a //a 22直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。符号表示: a B => a // b 2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行。 符号 示: // b // 2、判断两平面平行的方法有三种: (1) 用定义; (2) 判定定理; (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行。— 223 — 224直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 平面与此平面的交线与该直线平行 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题 么它们的交线平行。 符号表示: // □ Y =a 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 、、亠 1 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: 2、 ] a // b // 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线L 与平面a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平 面a 互相垂 直,记作L 丄a ,直线L 叫做平面a 的垂线,平面a 叫做直线 L 的垂 空间向量与立体几何 1, 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD (1)证明AB⊥平面VAD; (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=, BC=1,PA=2,E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项) 3. 如图,在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动. (1)证明:D 1E ⊥A 1D ; (2)当E 为AB 的中点时,求点A 到面ECD 1的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,AB =2DC =2,E 为BD 1的中点,F 为AB 的中点,∠DAB =60°. (1)求证:EF ∥平面ADD 1A 1; (2)若2 21BB ,求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N:5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中,AB=BC=CD,AB⊥BC,BC⊥CD,AB与CD成60度角,求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内, 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长 8.如图,已知空间四边形OABC中,OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ,求证OA⊥BC。 9.如图,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE。 (1)计算DE的长; (2)求点O到平面ABC的距离。 10.如图,线段AB在平面⊥α,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,CD=25,求线段BD与平面α所成的角。 N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线 与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1高一必修二经典立体几何专项试题
(完整版)空间向量与立体几何题型归纳
高考立体几何大题经典例题.
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