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第二十五章 解直角三角形学案

第二十五章 解直角三角形学案 直角三角形的性质:

第二十五章  解直角三角形学案

第二十五章  解直角三角形学案

如图:在ABC Rt ?中,?=∠90C (1)三边关系:2

2

2

c b a =+ (勾股定理) (2)两锐角关系:?

=∠+∠90B A

(3)直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半。 (4)射影定理:

?=∠90ACB AB

CD ⊥

AB AD AC ?=∴2AB AD BC ?=2

AB

AD CD ?=2

(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(6)直角三角形的面积=两直角边乘积的一半=斜边乘斜边上的高的一半。

例1.如图:△ABC 中,BC=18,若BD ⊥AC 于点D ,CE ⊥AB 于点E 、F 、G 分别为BC 、DE 的中点,若ED=10,则FG 的长为____________________

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例2.如图:在△ABC ,∠ABC=90°,∠A=30°,BC=2,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到△EDC ,此时点D 在AB 边上,斜边DE 交AC 边于点F ,(1)求DC 的长和旋转的角度n ;(2)求图中阴影部分的面积。

第二十五章  解直角三角形学案

一. 锐角三角函数的定义:如图所示.在Rt ?ABC 中:∠c=90°(要求熟记)

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斜边的对边A A ∠=

sin =c a ?∠A 的对边=斜边?A sin (或 斜边=A A sin 的对边

∠)

c b A A =∠=

斜边的邻边cos A A cos ?=∠?斜边的邻边(或A cos A 的邻边

斜边∠=)

b

a A A A =∠∠=

的邻边的对边tan A A A tan ?∠=∠?的邻边的对边(A A tan 的对边

或邻边∠=

a

b

A A A =∠∠=

的对边的邻边cot A A A cot ?∠=∠?的对边的邻边

(A

A cot A 的邻边

对边或∠=

∠)

A ∠的正弦、余弦、正切、余切,统称为锐角A ∠的三角函数。

例1.在Rt ABC ?中,如果各边都缩小2倍.那么锐角A 的正弦值 ( )

A.不变 B 变大 C 变小 D 不确定 例2.若∠C=90° BC:AC=2:3 求∠A 的四个三角函数值

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例3.在等腰ABC ?中.AB=AC=10 BC=12 求∠B 的四个三角函数值

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例4.在△ABC 中 , AD 是BC 边上的高 DAC B ∠=cos tan ①求证:AC=BD ②若

13

12

sin =

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C 12=BC , 求A

D 的长

例5在Rt △ABC 中 ∠ACB=90° CD ⊥AB 垂足为D 若5=Ac 2=BC 求ACD ∠sin 的值

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例6.在梯形ABCD 中.AD ∥BC AC ⊥AB AD=CD 5

4

cos =

∠DCA BC=10 求AB 的值

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例7.如图在△ABC 中∠C=90°点E D .分别在AC .AB 上, BD 平分∠ABC DE ⊥AB AE=6

5

3

cos =A 求?DE.CD 的长 ?DBC ∠tan 的值

例8.如图 在Rt △ABC 中. ∠ACB=90°.BC=3 15=Ac AB 的垂直 平分线ED 交BC 的延长线于点D 垂足为E 求CAD ∠sin

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例9.一个直角△有两条边长为3、4 求较小锐角的正切值

例10.已知 a.b.c 时△ABC 的三边.a.b.c 满足等式))((4)2(2

a c a c

b -+=且

0941=-c a 求B A sin sin +的值

例10已知:在Rt △ABC 中?=∠90C 8=+b a 12=ab 且b a < 求∠A 的四个三角函数值

例11.如图,四边形ABCD 是正方形,E 是BC 上一点,将正方形折叠,使A 点与E 点重合,折痕为MN ,若3

1

tan =∠AEN ,DC+CE=10,(1)求BE 的长;(2)求ANE ?的面积;(3)求ENB ∠sin 的值。

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二.锐角三角函数间的关系 (要求熟记)

1.互余两角的三角函数的关系:若?=∠+∠90B A

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已知:∠C=90°,写出∠A 、∠B 的四个三角函数

则 B A cos sin =B A sin cos =B A cot tan =B A tan cot =

一个锐角的正弦等于它的余角的余弦;一个锐角的余弦等于它的余角的正弦; 一个锐角的正切等于它的余角的余切;一个锐角的余切等于它的余角的正切;

A A cos )90sin(=-?A A sin )90cos(=-? A A cot )90tan(=-?A A tan )90cot(=-?

2.锐角三角函数值的变化:

(1)当α为锐角时, 1sin 0<<α1cos 0<<α0tan >α0cot >α

(2)αsin αtan 随角度的增大而增大,αcos αcot 随角度的增大而减少。 (3)当?<ααcot tan > 3.同角三角函数的关系

(1)平方关系:1cos sin 2

2=+αα (2)倒数关系:1cot tan =?αα

(3)商数关系:

αααtan cos sin =ααα

cot sin cos =

例1.若?=25cos sin α则锐角α=_____若?=43cot tan α则锐角α=_____ 若?=50tan cot α则锐角α=_____若?=60sin cos α则锐角α=_____

例2.比较下列函数值的大小

?12sin ______?18sin ?12cos ______?18cos ?12tan ________?18tan

?12cot ______?18cot ?12sin ______?12cos ?40cos ______?40sin

?15cos ________?75sin ?30tan ______?60cot ??44tan ___44cot

例3.若在Rt △ABC 中∠C=90°则A A cos sin +的值( )

A 大于1

B 小于1

C 等于1

D 不能确定 例4.若140tan tan =??A 则锐角A =_______

例5.计算=?-+ααααcot tan cos sin 22_____________

例6.已知α为锐角.ααcos .sin 是关于X 的方程02

=++n mx x 的两个根,且15=+n m 求

m .n 的值

例7.=-??αααcos 1sin 19045则

<<若

例8.已知关于x 的方程0)1(242

=++-m x m x 的两根正好是某直角三角形两锐角的正弦,求m 的值。

三.特殊角的三角函数值(要求熟记) 1.根据互余角的函数值熟记

090cos 0sin =?=?2

1cos6030sin =

?=? 2245cos 45sin =

?=?2

3

30cos 60sin =

?=?10cos 90sin =?=? 090cot 0tan =?=?3

3

60cot 30tan =

?=? 145cot 45tan =?=?330cot 60tan =?=?不存在??0cot .90tan

2.根据图形熟记

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3.根据表格熟记

α

sin α cos α tan α cot α 0° 0

1

0 不存在

30° 2

1 2

3 3

3

3

45° 22 2

2

1

1

60° 2

3

2

1 3

3

3

90°

1 0 不存在 0

例1.计算:①230cos -160tan 2

145tan )(?+?+?

②2

21-45sin 230tan 2)

(?+?③?+??+?+?30cos tan60-sin60245cot 30sin 2

2

④???+?50cot .50tan -40cos 40sin 2

2 ⑤0

)245tan 45sin 2cos602-1-30cos 1

60tan -+?-?+??+?(

⑥????+??+?34cos -34sin -tan63.27tan 45cot .60sin 4)1-30(sin 2

2

2

⑦化简即可)(20cos 20sin 21??-⑧2

2-60tan -45sin 60cos 43

21)(???+-

⑨?+???+????30tan 43

tan45cos60-sin6045sin .45cos 2-45cot -30sin 2

1

3130sin 445cot 60tan ++??+?⑾?++??60cot 3-1160sin 2-60sin 2

例2.若关于x 的一元二次方程04

1

sin 22

=+-αx x 有两个相等的实数根,则锐角α的度数为___________________________

例3.矩形长与宽的比为1:3, 则其对角线夹角为_________________

例4.α为锐角,且αtan 是方程0322

=--x x 的一个根,则αsin 的值为____________

例5.已知5

1

sin cos =

-αα)900(?<

例6.?50sin ,?50cos ,?50tan 的大小关系______________________________

例7.Rt ABC ?中,?=∠90C ,两直角边b a .满足关系02

2=--b ab a ,求A tan 的值。

例8.若A ∠为锐角,且4

1

cos =

A 那么 ( ) A ?<∠

B ?<∠

C ?≤∠

D ?<∠

例9.在Rt ABC ?中,?=∠90C ,斜边5=c ,两直角边的长b a .是关于x 的一元二次方程

0222=-+-m mx x 的两个根,求ABC Rt ?中较小锐角的正弦。

例10.1)10tan(3=+?α 则锐角α的度数为_______________

若3)90tan(=-?α 则锐角α的度数为_______________ 例11.在ABC ?中,若B A ∠∠.满足0)2

2(sin 21cos 2=-+-B A 求C ∠的度数。

例12.若α是锐角,且05cos 7sin 2

=-+αα 求αcos 的值

例14.=????????89tan ...3tan 2tan 1tan _______________

例13.如果A ∠是锐角,且4

3

sin =

A ,那么( ) A ?<∠

B ?<∠

C ?<∠

D ?<∠

例14.如图,在ABC ?中,2,6,13==+=BC AC AB ,求ABC ?三个内角的度数。

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例15.如图,ABC ?为等边三角形,AE=CD ,AD 与BE 相交于点P ,AD BQ ⊥于Q ,PQ=3,PE=1,求AD 的长。

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例16.在ABC ?中,?=∠90C ,?=∠30BAC ,延长CA 至点D ,使AD=AB ,连接BD ,利用

此图,求tan15°的值。

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五.解直角三角形

1.解直角三角形的概念:在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形。

2.解直角三角形常用关系:

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如图:在ABC Rt ?中,?=∠90C (1)三边关系:2

2

2

c b a =+ (勾股定理) (2)两锐角关系:?=∠+∠90B A (3)边角关系:

c a

A A =∠=

斜边的对边sin c b A A =∠=

斜边的邻边cos b a A A A =∠∠=

的邻边的对边tan a b

A A A =

∠∠=的对边的邻边cot

4.直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半。

5.射影定理:

?=∠90ACB AB

CD ⊥

AB AD AC ?=∴2AB AD BC ?=2

AB

AD CD ?=2

6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

7.直角三角形的面积=两直角边乘积的一半=斜边乘斜边上的高的一半。 8.任意三角形的面积=底乘高的一半=任意两边及夹角正弦的一半。 3.解三角形的一般解法:

(1)已知斜边c 和一个锐角A,解直角三角形

A B ∠-?=∠90A c a sin ?=A

c b cos ?=

(2)已知一直角边a 和一个锐角A,解直角三角形

A B ∠-?=∠90A a c sin =

A a

b tan =

(3)已知斜边C 和一直角边a ,解直角三角形

22a c b -=c a

A =

sin 由A ∠求A B ∠-?=∠90

(4)已知两直角边a.b,解直角三角形

22b a c +=A b a

A ∠=求由tan A

B ∠-?=∠90

解直角三角形时应注意:有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除,取原避中

例1.在ABC Rt ?中,?=∠90C ,C B A ∠∠∠..的对应边分别为c b a ..,解下列直角三角形。 (1)6=c ?=∠60A (2)4=a ?=∠45B

(3)3=a 2=c (4)10=a 10=b

(5)?=∠60B 6=+b a (6)2

3

=

?S 31+=+b a

例2.在ABC Rt ?中,?=∠90C ,?=∠60A ,斜边上的高3=CD ,试解直角三角形ABC

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例1.一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上

CF AB // ,?=∠=∠90ACB F ,?=∠45E ,?=∠60A 10=AC ,试求CD 的值

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25.3 解直角三角形的应用

一.仰角与俯角:视线与水平线方向的夹角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;视线在水平线下方的角叫俯角。

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二.有关测量:

1.测量底部可以到达的物体的高度: 测量步骤:(1)在地面上选择一点A 安置测角仪,测得被测量物顶部的仰角α, (2)量出测点A 到被测量物底部N 的水平距离AN=m (3)量出测角仪的高度AC=h

根据测量数据,求出物体的高度MN:αtan m h MN +=

2.2.测量底部不可以到达的物体的高度:即在地面上不能直接测得测点与被测量物的底部的距离。 测量步骤:(1)在地面上选择一点A 安置测角仪,测得被测量物顶部的仰角α, (2)在测点A 与被测量物之间的点B 处安置测角仪,测得被测量物顶部的仰角β, (3)量出测角仪的高度AC=h ,以及测点A 、B 之间的距离AB=m

根据测量数据,求出被测物体的高度MN.

在MDE Rt ?中 β

c o t ?=ME ED 在MCE Rt ?中 αcot ?=ME CE

ED CE CD -=

βαcot cot ?-?=∴ME ME m

β

αcot cot -=

∴m

ME

h

m

EN ME MN +-=

+=∴βαcot cot

例1.如图(14),小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具,请你设计一种测量方

案,在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB . 要求: (1)画出测量示意图;

(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示); (3)根据(2)中的数据计算AB .

A B

图(14)

例2.如图,山顶有一铁塔AB 的高度为20米,为测量山的高度BC ,在山脚点D 处测得塔顶A 和塔基B 的仰角分别为60°和45°.求山的高度BC .(结果保留根号)

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例3.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC=90°,∠B=30°,CE ⊥AB ,垂足为点E .若AD=1,AB=2

,求CE 的长.

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例4.如图10.1,四边形ABCD 中,90B D ∠=∠=

,3AB =,2BC =,4tan 3

A =

. (1)求CD 边的长;

(2)如图10.2,将直线CD 边沿箭头方向平移,交DA 于点P ,交CB 于点Q (点Q 运动到点B 停止),

设DP x =,四边形PQCD 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.

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图10.2

图10.1

B

B

例5.已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为cm AC 30=,由地面向上依次为第一层,第二层、...第十层,每层高度为3m,假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h ,太阳光线与水平线的夹角为α,(1)

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用含α的式子表示h (不必指出α的取值范围);(2)当?=30α时,甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°,从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光?

例6.某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙面留下高2米的影子CE ,而当光线与地面夹角是45°时,教学楼顶在地面的 影子F 与墙角C 有13米的距离(B 、F 、C 、在一条直线上)。(1)求教学楼AB 的高度;(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗,请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数) (参考数据:

8322sin ≈

?161522cos ≈?52

22tan ≈?

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例7.如图河对塔岸有一铁塔AB,在C处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进16m到达D,在D处测得A的仰角为45°,求铁塔AB的高。

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例8.如图小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼,为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46m,CD=10m,求点P到AD的距离(用含根号的式子表示)

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例9.如图:在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°,沿着坡角为30°的斜坡前进400m ,到D 处,测得A 的仰角为60°,求山的高度AB 。

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例10.(09年)如图(14),某学习小组为了测量河对岸塔AB 的高度,在塔底部B 的正对岸点C 处,测得塔顶A 的仰角为

60=∠ACB .

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(1)若河宽BC 是80米,求塔AB 的高度(结果精确到0.1米); (2)若河宽BC 的长度无法度量,如何测量塔AB 的高度呢? 小强想出了另外一种方法:从点C 出发,沿河岸CD 的方向走a 米,

到达D 处,测得∠BDC =60°,这样就可以求得塔AB 的高度了.请你用这种方法求出塔AB 的高度.

参考数据:2≈1.414,3≈1.732

图(14)

D

C B

A

二.方位角:在水平面上,过观察点O 作一条水平线和一条铅垂线,则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所成的小于90°的角即为方位角。

第二十五章  解直角三角形学案

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三.坡度、坡角:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比),用字母i 表示。坡面与水平面的夹角叫坡角,记作α,则αtan ==水平宽度

铅直高度

i

坡度越大,坡角就越大,坡面就越陡。

例1.如图:学校校园内有一小山坡AB ,经测量,坡角?=∠30ABC ,斜坡AB 长为12米,为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1:3(即为CD 与BC 的长度之比),A 、D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.

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例2.如图:一段河坝的横断面为梯形ABCD ,试根据图中数据,求出坝底宽AD.

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例3.(10年)水务部门为加强防汛工作,决定对程家山水库大坝进行加固. 原大坝的横断面是梯形ABCD ,如图(9)所示,已知迎水面AB 的长为10米,60B ∠=?,背水面DC

的长度为. 加固后大坝的横断面为梯形ABED. 若CE 的长为5米.(1)已知需加固

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的大坝长为100米,求需要填方多少立方米;(2)求新大坝背水面DE 的坡度.

(计算结果保留根号........

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例4.如图:某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°,沿山坡向上走到P 处测得点C 的仰角为45°,已知OA=100m,山坡坡度为

2

1

,且O 、A 、B 在同一直线上,求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的垂直高度。侧倾器的高度忽略不计,结果保留根号。

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例5.如图,小岛A 在港口P 的南偏西?45方向,距港口81海里处,甲船从A 出发,沿AP 方向以9海里/小时的速度驶向港口,同时乙船从港口P 出发,沿南偏东?60方向,以18

C

D

图(9)