卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考 答案1
清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值范围是（ ）
A ．(1，1+
]2
3 B ．[
2
1，1+]23 C ．（1，]2
D ．[
2
1，]2
2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/7
3．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系
（ ）
（A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈
R ），且f (a 2
－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个
5.平面上满足约束条件??
?
??≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x
对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）
A ．
5
5
6 B ．
5
5
12 C ．
5
3
8 D ．
5
3
16
6. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102
＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．
（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,
2+++===
-++n n n n
a a a a n n 2011
22012
>+
m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1
的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9．设
a n =2n ，
b n =n ，（n=1，2，3，。。。），A n 、B n 分别为数列{a n }、{b n }的前
n
项和。记c n =a n B n +b n A n —a n b n ，则数列{c n }的前10项和为（ ）
A ．210
+53
B.2 11
+53 C.110×（2 9
－1）
D.110×（2 10
－1）
10如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ?，再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正
21BP P ?，再以2P 和B P 2的中点C 为顶点
作正32CP P ?，…，如此继续下去．则下面选项中错误的是 ( )
A 所作的正三角形的边长构成公比为2
1
的等比数列；
B 每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上；
C 第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)364
25,6463(
； D 第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点2004P 的横坐标是
2004
20042
11-
=x ．
二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11.（本小题满分14分）已知双曲线C ：22
2
21x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，
过点(0)P m ，
（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =，3OA OB ?=．
（1）求双曲线方程；
（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
1
P 2P 3
P A
O
B
C
4
P 5P 6
P
12.（本小题满分14分）已知函数()321,.212x F x x x -??
=
≠ ?-??
（I ）求122008...;200920092009F F F ??????
+++
? ? ???????
（II ）已知数列{}n a 满足12a =,()1n n a F a +=,求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅲ) 求证:123...n a a a a
13.（本小题满分14分）设函数f(x)=x 2-mlnx,h(x)=x 2
-x+a. （I ） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围; （II ） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a
的取值范围;
（III ） 是否存在实数m ，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？
若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由。
14.（本小题满分14分）在△ABC 中，设A 、B 、C 的对
边分别为a 、b 、c 向量,2||),cos ,sin 2(),sin ,(cos ++-==n m A A n A A m 若
（1）求角A 的大小；
（2）若ABC a c b ?==求且,2,24的面积.
15．（本小题满分14分）已知m ，n 为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >-1时，(1+x )m
≥1+mx ；
（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311
? ??+-n n ，求证m
n n m ???
??
（Ⅲ）求出满足等式3n
+4m
+…+(n +2)m
=(n +3)n
的所有正整数n .
参考答案
1．C 2.B 3.A
4.解：由题设知f (x )为偶函数，则考虑在－1≤x ≤1时，恒有
f (x )＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007．
所以当－1≤a 2－3a ＋2≤1，且－1≤a －1≤1时，恒有f (a 2
－3a ＋2)＝f (a －1)．
由于不等式－1≤a 2
－3a ＋2≤1的解集为
3－52≤a ≤3＋5
2
，不等式－1≤a －1≤1的解集为0≤a ≤2．因此当3－52≤a ≤2时，恒有f (a 2
－3a ＋2)＝f (a －1). 故选（D ）．
5．（B ）．
6.解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1） 由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2） 由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)＝90种. 故选（C ）．
7.A 8.B 解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能， 当1，5，9，为其中一种颜色时， 2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能． 4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关． 当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种， 9．（D ）． 10.C
解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2 ，故①正确； 根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确； 第六个正三角形的边长为1/64 ，故顶点P6的横坐标为63/64 ，P5的纵坐标为 3/2-
3/8-3/16 =53/16
从而顶点P6的纵坐标为53/16 +3/64 =213/64 ，故C 错误； 第n 个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn 的横坐标是xn ，xn=12
1
1--
n ，则1
∞→n limx n
=，故D 正确．
11.（1）由双曲线离心率为2知，2c a =
，b =，双曲线方程化为22
2
213x y a a -=．
又直线l 方程为y x m =+．由22
2213x y a a y x m
?-=???=+?，得
2222230x mx m a ---=． ①
设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，22
1232m a x x --=
．
因为 3AP PB =，所以
1122()3()
x m y x y m --=-，，，
12
3x x =-．
结合12x x m +=，解得132x m =，21
2x m =-．代入221232m a x x --=，得
22
23342m a m ---=，化简得226m a =．又
1212121222221212()()
2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ?=+=+++=+++=-=，
且3OA OB ?=．
所以2
1a =
．此时，m =
2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．2
1a =符合要求．
故双曲线C 的方程为22
1
3y x -=．
（2）假设点M 存在，设(0)M t ，
．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()
Q x y ，（
01
x ≥）为双曲线C 右支上一点．
当
02
x ≠时，
00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=-
-，0
0tan Q M y
QMF k x t ∠==-，因为
2QFM QMF ∠=∠，所以
002
000221()y y x t y x x t ?
--=
---． 将
22
0033
y x =-代入，并整理得，
22
200002(42)4223
x t x t x tx t -++-=--++．
于是 242243
t t
t t +=-??-=+?，解得1t =-．
当
02
x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，0
45QMF ∠=，符合2QFM QMF ∠=∠．
所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，
． 12.解:(I )因为()()()()312
321321211
x x F x F x x x ---+-=
+=--- 所以设S=122008...;200920092009F F F ??????
+++
? ? ???????
(1)
S=200820071...200920092009F F F ??????
+++
? ? ???????
(2)
(1)+(2)得:
1200822007200812...200920092009200920092009S F F F F F F ??????
????????????=++++++??????
? ? ? ? ? ???????????
????????
=320086024?=,
所以S=3012
(II )由()1n n a F a +=两边同减去1,得
1321112121
n n n n n a a a a a +---=
-=--
所以
()12112111
21
111
n n n n n n a a a a a a +-+-=
==+
----,
所以
11
1211n n a a +-
=--,11n a ????-??是以2为公差以
11
11a =-为首项的等差数列, 所以
()1212211n n n a =+-?=--1212121
n n
a n n ?=+=-- ()III 因为()
()()()2
2
2212121n n n n >-=-+
所以
221212n n n n +>-2345221
,,...1234212n n n n
+?>>>
- 所以
123...n a a a a =
=
>
=13 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx ≥-x 即ln x m x ≤
记ln x
x
?=
，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于min ()m x ?≤. 求得2ln 1
'()ln x x x
?-=
当(1,)x e ∈时;'()0x ?<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ?> 故()x ?在x=e 处取得极小值，也是最小值， 即min ()()x e e ??==，故m e ≤.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a ，在［1,3］上恰有两个相异实根。 令g(x)=x-2lnx,则2'()1g x x =-
当[1,2)x ∈时，'()0g x <,当(2,3]x ∈时，'()0g x > g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。 故min ()(2)22ln 2
g x g ==- 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3