专题二：截长补短

A

D

B

C

E

截长补短

截长补短解题法简介

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

例1、如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .

求证：CD =AD +BC .

例2、已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB =AC +CD .

D

C

B A 12

例3、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

N

E

B M A D

课后练习

1、已知ABC ?中，60A ∠= ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

D

O

E

C

B A

2、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.

3、点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．

N

M C

B

A

D C B A

4、已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

D

A

E

C

B

截长补短专题

A D B C E 图2-1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC . 分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中， ?? ? ??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. A B C D 图1-1 F E D C B A 图1-2 A D B C E F 1 234 图2-2

初中几何截长补短专题突破

截长补短 针对题型：证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。 要求：从动态图形中寻找线段间的和差关系，熟练掌握转化思想。 常见类型及常规解题思路： ① a b c ±= 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。 ② a b kc ±= 可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30的直角三角形等。 截长法常规辅助线： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法常规辅助线： （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例题演练： 1.如图，AD BC ∥，点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠，DCE BCE ∠=∠。 求证：CD AD BC =+。 2.如图示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，且2C B ∠=∠。求证：AB AC CD =+。 D C B A 12 A D B C E

3.如图所示。已知正方形A B C D 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且 2BAE DAM ∠=∠。求证：AE BC CE =+。 4.如图示，点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BAD ∠=， 60MDN ∠=，求证：MN MB NC =+。 5.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+ M E D C B A F E D C B A

截长补短专题

截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质-这一性质在许多问题里都有着广泛的 应用?而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常 可使思路豁然开朗?请看几例? 例1?已知■ 如图在四边形ABCD 中?BOAB, AD=DC. BD 平分ZABC 求证： ze^D+zecD=i80". 分析： 化成为平角，图中缺少全等的三何形?因而解题的关键在于构造宜角三角形, 可通过“截长补短法”来实现. 因为平角等于180° ,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 证明5过点0作DE 垂直BA 的延长线于点已 作M 丄BC 于点几 如国1?2 TBD 平分ZABC, :.DE 二DF. 在 RfAADf RtACDf DE = DF AD = CD /. Rt^ADE 也Rt^CDF(HLl :. ZDAE 二ZDCF, 又ZeAD+ZDAf=180" ? ???ZBAO+ZDCU180° , 即 ZaAD+ Z8CD=180° 例2? 如图2?1, AD//BC.点f 在线段人8上?/ADE=ZCDE, /DCE 二ZECB. 求证: CMD+8C. 结论是CC>=&Q+BC ?可考电用“截长补短法"中的"截长”，即在CQ 只要再证DF=DA 这就转化为ilE 明两线段相等的问题，从而达到简化 间题的目的. 分析: 取 CF=CB. 证明J 在CD 上截取CF=BC.如图2?2 隹^FCE MBCE 中, C I ： F C

???△FCEWZ^BCE (SAS)-Z2=Z1. 又TADz/BG ?'?Z人DC+ Z8CD=180° ?:.乙DCf+ ZCDE=90° , ???Z2+Z3=90° , Zl+Z4=90° , AZ3= Z4? 在^ jAADE中, [ZFDE=ZADE DE = DE Z3 = Z4 ￡^FDE^AADE (ASA) . :.DF^DA, TCD=DF十CF????Cg4D+8C? 例3. 已知，如1^ 3-1. Z"Z2?P为SW上一点,且PD丄BC于点D?AB+BU2BD 求证J ZBAP+ZBCP=180° ? 分析：Lj例1相类似，证两个角的和是180° .可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明ZBCP=ZEAP, 因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P作PE垂宜BA的延长线于点&如图3?2 7Z1=Z2.且PC丄BG :.PE=PD. 在Rt^BPE q Rt^BPD中, PE=PD BP=BP ??? Rt^BPE^RtAB PD(Ha ?'? BE=BD. */AS+BC=2eD, -\4e+fiD+DC=fiD+fif. /.4fi+DC=ef 即DC=BE-AB=AE. 在Rt^APE与Rt^CPD中.

截长补短法例题精编版

截长补短法 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中， ? ? ?==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . F E D C B A 图1-2 A B C D P 12 N 图3-1 P 12 N A B C D E 图3-2 A B C D 图1-1

中考数学经典截长补短法突破(含答案)

初中数学全等专题截长补短法 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( ) A.30° B.37.5° C.45° D.60° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，时DE=AD，则∠ECA的度数为（） A.30° B.35° C.40° D.45° 3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列

说法正确的是（） A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE 4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，则△AMN的周长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF 平分∠DAE.则下列式子正确的为（）

A.AE－BE＝EF B.AE－BE＝DF C.AE－BE＝EC D.AE －BE＝AB 1.解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS） ∴∠EAG=∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°。答案：C 2.解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD， ∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°， ∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°， ∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C. 3.解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到

(完整版)截长补短法专题

选择第4题图 P D C B A 一、角平分线的性质 一．选择题填空（共10小题） 1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ∠OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．到三角形的三边距离相等的点是（ ） A ．三角形三条高的交点 B ．三角形三条内角平分线的交点 C ．三角形三条中线的交点 D ．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AD 是∠ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ） A ．BD ：CD B ．AD ：CD C ．BC ：A D D ．BC ：AC 4．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（ ） A 、＞ B 、＜ C 、＝ D 、无法确定 5．如图，在∠ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∠AC 交于点E ，DF ∠BC 于点F ，且BC=4，DE=2，则∠BCD 的面积是 ． 7．如图所示，在∠ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，AB+BC=8，S ∠ABC = ． 7．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 8．如图所示，已知∠ABC 和∠DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论中：①AE=BD ；②AG=BF ；③FG ∠BE ；④∠BOA=60度，（5）、△AGC ≌△BFC ，（6）△DFC ≌△EGC ，（7）CO 平分∠BOE 正确的是 ． 二、截长、补短法的专题 例1、 如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°， 求证：AB ＝AC ＋CD ． m n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +

经典截长补短法巧解

截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例： H P G F B A C D E 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证） H P G F B A C D E 方法二（好证不好想） H M P G F B A C D E 例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页） F E D C A B （1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。 求证：EF=DE+BF （1）变形a E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形b E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形c j F E A B C D 正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？ （1）变形 d F E D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3 求?AEF 的面积 （1）解：（简单思路）

初中数学全等专题截长补短法(含答案)知识讲解

精品文档 精品文档初中数学全等专题截长补短法 一、单选题(共5道，每道20分) 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点， BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( ) A.30° B.37.5° C.45° D.60°答案：C 解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS）∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°。 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线， 延长BD至E，是DE=AD，则∠ECA的度数为（） A.30° B.35° C.40° D.45°答案：C 解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD，∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C. 3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列说法正确的是（） A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE 答案：C 解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到AE=AD+BE，所以C选项正确。

几何证明中的截长补短法

平面几何中截长补短法的应用 授课内容：湘教版九年级上册《证明》授课教师：张羽茂授课时间： 讲评内容：证明中的“截长补短法”。 讲评目标：1、通过讲评，查漏补缺，解决几何证明中截长补短法的应用。 2、规范学生证明过程的书写格式。 3、通过讲评提高审题能力，总结解题方法和规律。 讲评重点：规范学生证明过程的书写格式 讲评难点：通过讲评，查漏补缺，解决图形中截长补短法的应用。教具准备：黑板、学生作业本 讲评过程： 一、谈话导入 1、公布全班的整体成绩。 2、表扬进步的学生。 二、讲评 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ B=2∠C,求证：AB+BD=AC. 方法一：（截长法） 方法二：（补短法） 三、课堂练习

1．已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4， AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。 四、课后拓展 1.正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45。 求证：EF=DE+BF 。 五、板书设计 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC,∠B=2∠C,求证：AB+BD=AC. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点在BC 上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF

六、教学反思与总结 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。 截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 教师工作： 采集信息-----归类点评、指导纠借-----适时检测、落实纠错 学生操作： 作业分析---个体纠借---集体纠错---针对补偿---（依据答案）主动纠错---思考领悟---针对纠错---主动补偿---消除薄弱 教学流程： 作业分析——个体纠错——集体纠错——针对补偿——课堂小结。

专题截长补短

截长补短专题 适用范围：证明线段的和、差、倍、分时，考虑截长补短。 截长：在长线段上截取一段等于一短线段，再证剩下的一段等于另一短线段。 补短：把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。 1. 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠ 2.求证：AB =AC +CD . 方法一（截长法） 在AB 上截取AF =AC ，在△AFD 与△ACD 中, ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD . 方法一（补短法） 延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ， ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中, ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 2. 如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC . （截长法） 在CD 上截取CF =BC ，在△FCE 与△BCE 中， ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. 又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， 5. 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF 。 6. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，BD 平分∠ABC ，求证：BC=BD+AD ． F D C B A 12E D C B A 12 D

全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法可

D C B A E D F C B A 全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形） 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A 中考应用： 以ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）

几何证明的好方法截长补短

几何证明的好方法——截长补短 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 几种截长补短解题法类型 我们大致可把截长补短分为下面几种类型； 类型①a±b=c 类型②a±b=kc 类型③ ±a b c 类型④c2=a·b 对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。 对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。 对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。实际上是求类型②中的k值。 对于类型④，将c2=a·b化为c a = b c 的形式，然后通过相似三角形的比例关系进 行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例：

B A 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证） B A 方法二（好证不好想） B A M 例题不详解。 （第2页题目答案见第3、4页）

(完整word版)初中数学全等专题截长补短法(含答案)

初中数学全等专题截长补短法 一、单选题(共5道，每道20分) 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点， BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( ) A.30° B.37.5° C.45° D.60°答案：C 解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS）∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°。 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线， 延长BD至E，是DE=AD，则∠ECA的度数为（） A.30° B.35° C.40° D.45°答案：C 解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD，∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C. 3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列说法正确的是（） A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE 答案：C 解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到AE=AD+BE，所以C选项正确。

4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，则△AMN的周长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：如图，在AC延长线上截取CE，使得CE=BM，连接DE， ∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， ∵BD=CD，在△BDM和△CDE中，∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=120°-∠MDB+∠EDC=120°，∴∠NDE=60°，∵MD=ED，∠MDN=∠NDE=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NE=AM+AE=AB+AC=2. 5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE.则下列式子正确的为（） A.AE－BE＝EF B.AE－BE＝DF C.AE－BE＝EC D.AE－BE＝AB 答案：B 解题思路：证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，可首先证明△ADF≌△ABG，∴∠1=∠G，∠3=∠2=∠4，又∵AB∥CD∴∠1=∠4+∠5=∠3+∠5=∠GAE∴∠G=∠GAE∴AE=GE=GB+BE=DF+BE所以AE-BE=DF.

中考截长补短专题

截长补短专题 1.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED； （2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数． 2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF． （1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长． （2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．

3.已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F． （1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长． （2）求证：ED=BE+FC． 4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

5. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF。 6. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中： （1）∠EAF的大小是否有变化请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化请说明理由．

4． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF⊥A E 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； (2)若BE=1，AB=3，求PE 的长． 24.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，DG ⊥BC 于G ，BH ⊥DC 于H ，CH=DH ，点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且EF ∥DC ． （1）若AD=3，CG=2，求CD ； （2）若CF=AD+BF ，求证：EF=CD ． H P G F E D C B A

全等三角形作辅助线专题一(重点_截长补短法)可打印版

全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” ? 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转” ? 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；(遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形) 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线(线段)造全等 1:已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 _______________ . 2 :如图，△ ABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE丄DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小. 3 :如图，△ ABC中，BD=DC=AC ，E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE. 中考应用: ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE BAD CAE 90，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点?探究：AM与DE的位 置关系及数量关系. (1 )如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系 是________________ ，线段AM与DE的数量关系是________________ ; (2 )将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1 )

“截长补短法”的运用

“截长补短法”问题的运用 金山初级中学 庄士忠 201508 而“截长补短法”是解决几何证明倍半问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗. (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ??? ? ? AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中，AC+CE ＞AE ∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 （二）、角平分线截长法： 例题2，如图2-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图2-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， A B C D 图2-1 F E D C B A 图 2-2 C

(精品)全等三角形——截长补短法

D C B A 全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

N E B M A D M D C B A D O E C B A 及时练习： 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．

数学人教版八年级上册截长补短专题

3cm A 5cm B C D E F 8cm A b B C D E F a c D C B A 专题课——截长补短 教学目标： 1.掌握运用截长补短的方法解决线段的有关问题。 2.体会截长补短法与其他辅助线作法的联系。 教学过程： 一．问题创设：（3分钟） 如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD （学生思考：如何解决关于线段和差问题） 问题一：如何证明此题？（学生提出截长补短） 问题二：你这样做辅助线的理由是什么？（可以得到全等，证明截下的线段等于CD ） 总结： 二．课题引入：同学们，为了解决像这样线段与线段关系的题目，今天我们来学习截长补短法。 如图： 问题一：已知三条线段AB 、CD 、EF 的长度分别为8cm,5cm,3cm ，你能用CD 和EF 表示AB 吗？（AB=CD+EF ） 问题二：如果图中线段长度分别变为a 、b 、c ，并且a=b+c ，你能采用适当的工 具证明AB=CD+EF 吗？ 方法一：用圆规在AB 上截取b ，再用圆规测量余下的部分（a-b),与c 相比较， 得到a-b=c ，即证明。 方法二：在CD （EF ）补一部分EF （CD ）得到b+c ，再用圆规和a 进行比较得到a=b+c 。 像刚才这样，通过在较长截取另一条线段，在较短线段上补一条线段研究线段间的关系，这种方法称为“截长补短”。 三、例题讲解 回头来看刚在的例题： 例1：如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD D C B A D C B A

2 1 E E D C B A 3 4 E 法一：截长法 证明：在AB 上截取AE ，使得AE=AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠1＝∠2 ∵ AE ＝AB ∠1＝∠2 AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠3=∠C CD=DE （全等三角形的性质） 又∵ ∠C=2∠B ∴∠3=2∠B 又∵∠3=∠4+∠B （外角定理） ∴∠4=∠B ∴EB=DE=CD （等角对等边） ∵AB=AE+EB AE=AC ，EB=CD ∴AB=AC+CD （等量代换） 学生小组交流讨论补短法 法二：补短法 证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵ AE ＝AB ∠EAD ＝∠CAD AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C 又∵∠ACB ＝2∠C ∴∠ACB ＝2∠E ∵∠ACB ＝∠E+∠CDE ∴∠E=∠CDE ∴CE=CD （等角对等边） ∵AE ＝AC+CE AE=AB ，EC=CD ∴AB ＝AC+CD 四．学以致用 D C B A 另一种的补短法 通过证明两次等腰 注：补短时注意是否合理简单，一般补短应在有角平分线的角一边，充分利用角平分线构造全等。 补：这里补短还可以叙述为：延长AC 至点 E ，使得CE=CD ，然后证明△AED ≌△ACD 注： 1.讲解时强调辅助线的做法和书写方式 2.体现数学思想：截长补短是为了证明线段与线段间的关系，截长补短后构造全等三角形，利用三角形的全等性将线段进行转化。 3.注意学生的书写格式 4.教师板书截长法，展示学生的补短法

专题03 截长补短法(解析版) 备战2020年中考几何压轴题分类导练

专题3：截长补短法 【典例引领】 例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F。 （1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。 【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE 【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证． 【解答】（1）证明：如图， 过点B作BG⊥OE于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE， 在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE， ∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，

初中数学专题讲义：截长补短法

初中数学专题讲义：截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

例2、正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。求证：EF=DE+BF 变形a 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ 变形b 正方形ABCD F E

变形c 正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上∠EDF=45o。DB=DC，∠BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ D 变形d 正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。AD=3，求?AEF的面积 加强版 正方形ABCD 作EF⊥MN于

例4、、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF； （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长． 例5、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O． （1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE． 变形1． 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。 （1）求EG的长； （2）求证：CF=AB+AF。 F E M B D C A N

中线倍长法与截长补短经典讲义全

几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ 2 1 (AB+ AC) 小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 例2、中线一倍辅助线作法 △ABC中方式1：延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 AD于F， 到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接连接CD 例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值围 例4、已知在△ABC中，AB=AC， D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE

作业： 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 2、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （二）截长补短法 教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . E A B C D A B C M T E 图1-1 F E D C B A 图1-2