作业答案:数理逻辑部分
P14:习题一
1、下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?
(3 答:简单命题,真命题。 (9)吸烟请到吸烟室去! 答:不是命题。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 答:复合命题,假命题。 14、讲下列命题符号化。 (6)王强与刘威都学过法语。 答::p 王强学过法语;:q 刘威学过法语。
符号化为:
p q ∧
(10)除非天下大雨,他就乘班车上班。 答::p 天下大雨;:q 他乘班车上班。
符号化为:
p q →
(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的。 答::p 2是素数;:q 4是素数。
符号化为:(())p q ??∨
15、设:p 2+3=5.
:q 大熊猫产在中国。
:r 太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值。 (2)(())r p q p →∧??
(4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解答: p 真值为1;q 真值为1;r 真值为0.
(2)p q ∧真值为1;()r p q →∧真值为1;p ?真值为0;
所以(())r p q p →∧??真值为0.
(4)
p q r ∧∧?真值为1,p q ?∨?真值为0,()p q r ?∨?→真值为1;
所以()(())p q r p q r ∧∧???∨?→真值为1. 19、用真值表判断下列公式的类型。 (4)()()p q q p →→?→?
所以为重言式。 )s
所以为可满足式。
P36:习题二
3、用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出其成真赋值。
(1)()p q q ?∧→ 解答:
所以为永假式。
(2)(())()p p q p r →∨∨→ 解答:
所以因为永真式。 (3)()()p q p r ∨→∧
解答:
为可满足式。 真值表为
4、用等值演算法证明下面的等值式。
(2)(()())(())p q p r p q r →∧→?→∧ 解答:
(4)()()()()p q p q p q p q ∧?∨?∧?∨∧?∨ 解答:
5、求下列公式的主析取范式,并求它们的成真赋值。 (1)()()p q q p ?→→?∨
解答:
所以成真赋值为00,10,11 (3)(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 解答:
所以为永真式,成真赋值为000,001,010,011,100,101,110,111 6、求下列公式的主合取范式,并求它们的成假赋值。 (1)()q p p ?→?∧? 解答:
为永假式,成假赋值为00,01,10,11 (3)(())p p q r →∨∨ 解答:
永真式,无成假赋值
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式。 (1)()p q r ∧∨
解答:
13567024
()()
(())(()())
()()()()()()()()()()()p q r p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M ∧∨?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧?∨∨∨∨?∧∧已经是析取范式
8、求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式。 (2)()p q r ?→ 解答:
13、已知公式A 含3个命题变项,,p q r ,并且它的成假赋值为010,011,110,111,求A 的主
析取范式和主合取范式。
解答:成真赋值为000,001,100,101 所以主析取范式为0145m m m m ∨∨∨ 而主合取范式为2367M M M M ∧∧∧ 15、用主析取范式判断下列公式是否等值。 (2)()p q ?∧和()p q ?∨ 解答:
所以两式并不等值。
18、将下列公式化成与之等值且仅含有{,}?∧中联结词的公式 (3)(())p q r p →∧∨
解答:
29、在某班班委成员的选举中,已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会。该班的的甲、乙、丙3位同学预言: 甲说:王小红为班长,李强为生活委员; 乙说:丁金生为班长,王小红为生活委员。
丙说:李强为班长,王小红为学习委员。
班委会分工名单公布后发现,甲乙丙三人都恰好猜对了一半。问王小红、李强、丁金生各任何职?(用等值演算求解) 解答:命题符号化:
:p 王小红为班长;:q 李强为生活委员;:r 丁金生为班长;:s 王小红为生活委员;
:u 李强为班长;:v 王小红为学习委员。
设1:A p q ∧?;2:A p q ?∧;1:B r s ∧?;2:B r s ?∧;1:C u v ∧?;2:C u v ?∧; 由题意可知:
0;0;0;0;0;0;0;0
p r p s p u p v q s q u r u s v ∧?∧?∧?∧?∧?∧?∧?∧?所以1112111222210;0;0;0;0;0;A B A B A C A C A B A C ∧?∧?∧?∧?∧?∧? 所以
所以选举结果为:李强为生活委员;丁金生为班长;王小红为学习委员。
30、某公司要从赵、钱、孙、李、周5名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。选派必须满足条件:
(1)若赵去,钱也去;
(2)李、周两人中必有一人去; (3)钱、孙两人中去且仅去一人; (4)孙、李两人同去或同不去; (5)若周去,则赵、钱也同去。
用等值演算法分析该公司该如何选派他们出国。 解答:命题符号化:
:p 赵去;:q 钱去;:r 孙去;:s 李去;:t 周去。
所满足的条件即为 (1)若赵去,钱也去:
p q →;
(2)李、周两人中必有一人去:s t ∨;
(3)钱、孙两人中去且仅去一人:()()q r q r ∧?∨?∧; (4)孙、李两人同去或同不去:()()r s r s ∧∨?∧?; (5)若周去,则赵、钱也同去:()t p q →∧。 将所有条件进行合取,然后求其主析取范式 (过程省略)
所以最终方案有两套:
(1)赵钱周不去,孙李去;(2)赵钱周去,孙李不去。
P50:习题三
9、用3种方法(真值表、等值演算、主析取范式)证明下面推理是正确的。
若a 是奇数,则a 不能被2整除。若a 是偶数,则a 能被2整除。因此,如果a 是偶数,则a 不是奇数。
解答:命题符号化::p a 为奇数;:q a 为偶数;:r a 能被2整除
推理的形式结构:
前提:
p r →?;q r →;q
结论:q ?
推理的形式结构的另外一种描述: 证明:(1)真值表法:
所以()()p r q r q p →?∧→∧→?为永真式;推理()()p r q r q p →?∧→∧??是正确的。
(2)等值演算: (3)主析取范式
12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:()p q r →→,()q r s →→ 结论:()p q s ∨→ 证明: ①p q ∨ 附加前提引入 ②
p
①化简 ③q
①化简 ④()p q r →→ 前提引入 ⑤q r → ②④假言推理 ⑥r
③⑤假言推理 ⑦()q r s →→ 前提引入
⑧r s → ③⑦假言推理 ⑨s
⑥⑧假言推理
14、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明: (2)前提:,(),p q q r r →?∧
结论:p ? 证明: ①()q r ?∧ 前提引入 ②q r ?∨? ①置换 ③r 前提引入 ④q ?
②③析取三段论 ⑤
p q →
前提引入
⑥p ? ④⑤拒取式
(4)前提:,,,q p q s s t t r →??∧
结论:p q ∧
证明: ①t r ∧ 前提引入 ②t ①化简 ③r
①化简 ④s t ?
前提引入
⑤()()s t t s →∧→ ④置换
⑥t s →
⑤化简 ⑦q s ?
前提引入
⑧()()q s s q →∧→ ⑦置换 ⑨s q → ⑧化简 ⑩t
q →
⑥⑨假言三段论 ○11q
②⑩假言推理 ○12q p → 前提引入
○
13p
○11○12假言推理 ⑨
p q ∧
○
12○13合取 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理: (1)前提:(),,p q r s p q →→→ 结论:s r → 证明: ①s
附加前提引入 ②s p → 前提引入 ③
p
①②假言推理 ④()p q r →→ 前提引入 ⑤q r → ③④假言推理 ⑥q 前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理: (1)前提:,,p q p r q s ∨→→
结论:r s ∨ 证明:
①()r s ?∨
结论否定引入
②r s ?∧? ①置换 ③s ? ②化简 ④r ?
②化简 ⑤
p r →
前提引入
⑥q s → 前提引入 ⑦p ? ④⑤拒取式 ⑧q ?
③⑥拒取式 ⑨p q ?∧? ⑦⑧合取 ⑩()p q ?∨
⑨置换
○
11p q ∨
前提引入
⑩○
11矛盾。 17:在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:
只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没有离开,A 就是谋杀嫌疑犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开,看门人会看见过他。看门人没有看见他。所以,A 是谋杀嫌疑犯。 解答:
(1) 命题符号化:
:p A 曾到过受害者房间;:q A 在11点以前离开;
:r A 就是谋杀嫌疑犯;:s 看门人会看见过A ;
(2) 推理的形式结构:
前提:();;;p q r p q s s ∧?→→? 结论:r (3) 证明
①s ?
前提引入
②q s → 前提引入 ③q ? ①②拒取式 ④p
前提引入 ⑤
p q ∧?
③④合取 ⑥()p q r ∧?→ 前提引入 ⑦r
⑤⑥假言推理。
P63:习题四
5、在一阶逻辑中讲下列命题符号化。 (3)不存在比所有火车都快的汽车。 (4)凡是汽车就比火车慢是不对的。
解答:():()(,)F x x G y y H x y y x 为火车;:为汽车;:比快。
(3)((()()(,)))y x G y F x H x y ???∧→
(4)(()()(,))y x G y F x H y x ???∧→
6、将下列命题符号化,个体域为实数集合R ,并指出各命题的真值。 (1)对所有的x ,都存在y 使得0x y ?=。 (3)对所有的x ,都存在
y 使得1y x =+。
解答:(,):0;(,):1F x y x y G x y y x ?==+ (1)(,)x yF x y ??,真值为1; (3)(,)x yG x y ??,真值为1; 9、给定解释I 如下。 (a )个体域为实数集合R 。 (b )特定元素0a
=。
(c )函数(,),,f x y x y x y R =-∈
(d )谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R =<∈。 给出下列公式在I 下的解释,并指出它们的真值。 (1)((,)(,))x y G x y F x y ??→? (3)((,)((,),))x y G x y F f x y a ??→? 解答:(1)对任意的x 和y ,如果x y <,那么x y ≠。真值为1;
(3)对任意的x 和y ,如果x y <
,那么0x y -≠。真值为1;
11、判断下列各式的类型。
(2)(()())(()())x F x F x y G y G y ?→→?∧? (4)(,)(,)x yF x y y xF x y ??→??
解答:(2)(()())x F x F x ?→真值为1;(()())y G y G y ?∧?真值为0;
所以(()())(()())x F x F x y G y G y ?→→?∧?真值为0,所以为永假式。 (4)(,)x yF x y ??与(,)y xF x y ??真值相同,所以为永真式。 13、给出下列各公式的一个成真解释和一个成假解释。 (1)(()())x F x G x ?∨ (2)(()()())x F x G x H x ?∧∧ (3)(()(()(,))x F x y G y H x y ?∧?∧ 解答:
(1)成真解释:():():F x x G x x 为偶数;为奇数
成假解释:():():F x x G x x 为偶数;为素数
(2)成真解释:():2():3():5F x x G x x H x x 能被整除;能被整除;能被整除。
成假解释:():():():F x x G x x H x x 为偶数;为奇数,为素数
(3)成真解释:():():():F x x G x x H x y x y >为正数;负数;,。
成假解释:():():():F x x G x x H x y x y <为正数;负数;,。