初二数学上期末总复习(知识点+习题+答案)

D C

B

A

21

D C

B A

（一）三角形部分

一、知识点汇总

1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形

叫做

三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 2、（1）三角形按边分类：

（2）三角形按角分类：

3、三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边.

三角形的任意两边之差小于第三边。

注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；

（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．

4、和三角形有关的线段：

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段

表示法：1、AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2、BD=DC=0.5BC.

3、AD 是 ABC 的中线； 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。 表示法：1、AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC.

三角形 等腰三角形

不等边三角形

底边和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

三角形

直角三角形

斜三角形

锐角三角形

钝角三角形

D C

B A

2

1B A

C

M

D 3、AD 平分∠BAC ，交BC 于D

注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； （3）三角形的高

三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,

表示法：1、AD 是△ABC 的BC 上的高。 2、AD ⊥BC 于D 。

3、∠ADB=∠ADC=90°。

4、AD 是△ABC 的高。

注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

4、三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形内角外角的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180?; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的外角的定义：

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE ， 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

7. 三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；

（2）作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线

∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B 。

8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°

多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 多边形对角线的条数：

（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n 边形共有

2

3)

-n(n 条对角线。 （2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

9、．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．

注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。

二、题型解析

1. 三角形内角和定理的应用

例1. 如图已知?ABC 中，∠=?⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。 求证：∠>∠BED C

证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD 则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >

说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。 例2. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ）

A. 1020B <∠<

B.2030B <∠<

C.3045B <∠<

D.4560B <∠< 分析： 因为ABC 为锐角三角形，所以090B <∠<

又∠C ＝2∠B ，0290B ∴<∠< 045B <∠

<又∵∠A 为锐角，为锐角 90B C ∴∠+∠> 390B ∴∠>,即30B ∠> 3045B ∴<∠<.故选C 。

例3.已知三角形的一个外角180()A B C ∴∠=-∠+∠等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 无法确定

分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴2x+3x=200解得：x=40,2x=80,3x=120 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C 2. 三角形三边关系的应用

例4. 已知：如图在?ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

求证：()AM AB AC >

-1

2

证明：延长AM 到D ，使MD ＝AM ，连接BD

在?CMA 和?BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠， B M D C M A ???∴B D A C

∴= 在?ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2 A AC AB 2<-∴()1

2

AM AB AC ∴>

- 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将?AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有

()()121

2

AB AC AM AB AC -<<+。请同学们自己试着证明。

3. 角平分线定理的应用

例5. 如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。 求证：AM 平分DAB 。

证明：过M 作MG ⊥AD 于G ，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥DC ，MG ⊥AD

∴MC ＝MG （在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC ＝MB ，∴MG ＝MB 而MG ⊥AD ，MB ⊥AB ∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM 平分∠ADC

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG ＝MB 。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用

例6. 如图，已知：点C 是∠FAE 的平分线AC 上一点，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，E 、F 为垂足。点B 在AE 的延长线上，点D 在AF 上。若AB ＝21，AD ＝9，BC ＝DC ＝10。求AC 的长。

分析：要求AC 的长，需在直角三角形ACE 中知AE 、CE 的长，而AE 、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE 、CE 的长，使问题得以解决。

解：∵AC 平分∠FAE ，CF ⊥AF ，CE ⊥AE ∴CF ＝CE

??

?

??=?===AC AC CEA F CE

CF 90∠∠ ()ACF ACE HL ∴???AF AE ∴=

90CF CE CD BC

F CEB =??

=??∠=∠=??

()CDF CBE HL ∴??? ∴BE ＝DF 设BE DF x ==，则AE AB BE x AF AD DF x =-=-=+=+219， AE AF x x x =∴-=+∴=，，2196 在Rt BCE ?中，CE BC BE =-=-=22221068

在Rt ACE ?中，()AC AE CE =

+=-+=222

2216817

答：AC 的长为

17。

分析：初看此题，看到DE ＝DF ＋FE 后，就想把DF 和FE 的长逐个求出后再相加得DE ，但由于DF 与FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD ＋CE ＝9”，就应想一想，DF ＋FE 是否与BD ＋CE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF ＋FE 也就是DE 的长了。

解：∵BF 是∠B 的平分线 ∴∠DBF ＝∠CBF 又DE ∥BC ∴∠DFB ＝∠CBF ∴∠BDF ＝∠DFB ∴DF ＝BD 同理，FE ＝CE ∴DF ＋FE ＝BD ＋CE ＝9 即DE ＝9 故选A 例7. 已知：如图，?ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =

1

2

。

求证：BD 平分∠ABC

分析：要证∠ABD ＝∠CBD ，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。

简证：延长AE 交BC 的延长线于F 易证??ACF BCD ?（ASA 或AAS ）

BD AF =∴12AE BD =

1

2

AE AF EF ∴==于是又不难证得??BAE BFE SAS ?() ∴=∠∠ABD CBD ∴BD 平分∠BAC

说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。

练习题：

1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm ，则这个等腰三角形底边的长为____________。

2. 在锐角?ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝

__________。 3. 如图所示，D 是?ABC 的∠ACB 的外角平分线与BA 的延长线的交点。试比较∠BAC 与∠B 的大小关系。

D

A

D C E

12

4、求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

5. 如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。 求证：∠AMB ＝∠CMD

B

D

C

A E

M

【练习题答案】 1. 5cm 2. 45°

3. 分析：如图所示，∠BAC 是?ACD 的外角，所以∠>∠BAC 1

因为∠1＝∠2，所以∠BAC ＞∠2 又因为∠2是?BCD 的外角，所以∠2＞∠B ，问题得证。 答：∠BAC ＞∠B ∵∠CD 平分∠ACE ，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC ＞∠1，∴∠BAC ＞∠2 ∵∠2＞∠B ，∴∠BAC ＞∠B 4，证明：省略

5. 证明一：过点C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线于F ∠∠∠∠∠∠129012

+=+=?∴=BAE BAE

又∠BAC ＝∠ACF ＝90° AC ＝AB

证明二：过点A 作AN 平分∠BAC 交BM 于N A

M C

B

D

1E

N 2

3

∠∠∠∠∠∠239023

+=+=?∴=BAE BAE 又AN 平分∠BAC ∴==?∠∠145C

又AB ＝AC

∴?∴=??ABN CAD

AN CD

又∠∠NAM C ==?45 AM ＝CM

∴?∴=??NAM DCM AMB CMD

∠∠

说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。

（二）一元一次不等式

一、知识点汇总

考点1、一元一次不等式的定义及其解法

1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

2.解一元一次不等式的步骤：（1）去分母（根据不等式性质2或3） （2）去括号（根据整式运算法则） （3）移项（根据不等式性质1）

（4）合并同类项（根据合并同类项法则） （5）系数化为1（根据不等式性质2或3）

提示：1.不等式的解集一般是一个取值范围，但有时候需要求不等式的某些特殊解，如整数解，非负整数解，最大整数解等，解答这些问题的关键是明确解的特征

2.解不等式中的移项与解方程中的移项相同，要注意改变所移项的符号，但不等号方向不变；

3.系数化为1时，特别注意不等号方向是否需要改变；

4.解不等式时，有些步骤可能用不到，根据不等式的形式灵活选择解题步骤。 考点2、一元一次不等式的应用

步骤：审：审题，分析题中已知什么，求什么；

设：设出适当的未知数；

找：找出题中的不等关系，抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“至多”“至少”“不超过”等；

解：解出所列的不等式；

答：检验所得结果是否符合问题的实际意义，写出答案。

提示：1.审题是解决问题的基础，根据不等式关系列出不等式是解题关键；

2.在设未知数时，不可出现“至少”“至多”“不超过”等范围的字眼，因为未知数就是一个分界点，不是范围。

二、习题分析

例1．下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ）

A 01-2>x ；

B 21<；

C 1≤2-3y x ；

D 5

32

>+y

例2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D.

1

x

－3x ≥0 例3.解不等式4

5

-3--2x x ≤，并把它的解集在数轴上表示出来。

例4.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。 （1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时完成？

（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，则甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？

例5、求不等式045-2

-42≥+）（x x 的正整数解。

例题答案：

1、解： 一元一次不等式必须是含有一个未知数，未知数的次数是1。B 是不等式，C 是二元的，D 的未知数次数是2.故选 A 。

2、解： ，A 选项没有未知数，B 选项不是不等式，C 选项正确，D 选项不等式的左边不是整式，是分式，未知数的次数不是1。故选C 。

3、解：去分母，得4（2-x ）≤-(3x-5) 去括号，得8-4x ≤-3x+5 移项，得-4x+3x ≤5-8 合并同类项，得-x ≤-3 不等式的解集在数轴上表示为：略

4、解：（1）70075545=+÷）（ 答：两厂同时处理，每天需要7小时。 （2）设甲厂每天处理垃圾x 吨，则乙厂每天处理垃圾（700-x ）吨，根据题意，得

737049545

-70055055≤×+×x x 解得：655330,330=÷≥x 答：甲厂每天处理垃圾至少需要6小时。

注：设未知数时要将“最多”“不少于”等这些不确定的词语去掉，求出的不等式的解集就是应用题的解，应用题的要根据实际情况取舍。

5、解：去分母，得84-x-10(x+4)0≥去括号，得040-10--84≥x x

移项，得，84-4010--≥x x 合并同类项，得44-11-≥x 系数化为1，得4≤x ， 不大于4的正整数有1，2，3，4，所以，不等式的正整数解为1，2，3，4.

【解析】求不等式的特殊解时，需先求出不等式的解集，再在解集中找出符合条件的特殊解。

三、练习题：

1、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜

12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－1

2

2、不等式组10235x x +??+

≤，

的解集在数轴上表示为（ ）

3、在平面直角坐标系内，P （2x －6,x －5）在第四象限，则x 的取值范围为（ ） A 、3＜x ＜5 B 、－3＜x ＜5 C 、－5＜x ＜3 D 、－5＜x ＜－3

4、已知不等式：①1x >，②4x

>，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整

数解是2的不等式组是（ ） A 、①与②

B 、②与③

C 、③与④

D 、①与④

5、方程组432

83x m x y m

+=??

-=?的解x 、y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ）

A.910m >

B. 109m >

C. 1910m >

D. 1019

m > 6、不等式组30

10x x -

≥的解集是 ．

7、不等式组20.5

3 2.52

x x x -??

---?≥≥的解集是 .

8、若不等式组?

??->+<121

m x m x 无解，则m 的取值范围是 ．

1-

1 x 1-

1 x 1-

1 x 1-

1 x

A

B

C

D

9、若不等式组

21

23

x a

x b

-<

?

?

->

?

的解集为－1＜x＜1，那么（a＋1）（b－1）的值等于________.

10、若不等式组

40

50

a x

x a

->

?

?

+->

?

无解，则a的取值范围是_______________.

11、解不等式组

3

(21)4

2

13

2 1.

2

x x

x

x

?

--

??

?

+

?>-

??

≤，

把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．

12、求同时满足不等式6x－2≥3x－4和2112

1

32

x x

+-

-<的整数x的值.

13、若关于x、y的二元一次方程组

5

33

x y m

x y m

-=-

?

?

+=+

?

中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.

14、一人10点10分离家去赶11点整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/小时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误当次火车？

练习题答案：

1、D

2、C

3、A

4、D

5、D

6、－1≤x＜3

7、－1

4

≤x≤4 8、m＞2 9、－6 10、a≤1

11、2，1，0，－1 12、不等式组的解集是

27

310

x

≤<

－，所以整数x为0 13、－2＜m＜0.5

14、解：设公共汽车每小时至少走x千米才能不误当次火车

答：公共汽车每小时至少走13千米才能不误当次火车。

（三）图形与坐标

一、知识点汇总

1、确定平面上物体位置的方法：坐标法、方位与距离法、经纬度法

2、根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标

3、在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化

4、平面上物体的位置可以用有序实数对来确定。

5、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据?有哪些方法? (1)用有序数对来确定; (2)用方向和距离（方位）来确定;

6、在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系。简称直角坐标系,坐标系所在的平面就叫做坐标平面

7、掌握各象限上及x 轴，y 轴上点的坐标的 特点：

第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－） 8、x 轴上的点纵坐标为0，表示为（x ，0）；y 轴上的点横坐标为0，表示为（0，y ） 9、(1)关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。

(2)关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。

(3)关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 二、例题分析

1. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的

例1:如图1，在平面直角坐标系中，点E 的坐标是 （ ）

A ．(1， 2)

B ．(2， 1)

C ．(－1， 2)

D ．(1，－2) 2. 图形在坐标平面内变换后点的坐标

例2: 如图2,在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 . 例3:已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应点A'的坐标为（ ）． A ．(－4，2) B ．(－4，－2) C ．(4，－2) D ．(4，2) 例题答案：

1、分析:过点E 向x 轴画垂线,垂足在x 轴上对应的实数是1,因此点E 的横坐标为1;同理,过点E 向y 轴画垂线,点E 的纵坐标为2,所以点E 的坐标为(1,2),选A ．

－3 －2 －1 3

2 1 O －1 －2

1

2 3

x

y

图2

图4

图 1E

y x

1

2

3

-1-2-3

-3

-2

-1

3

2

1

O 图1

2、解析:在图2中,平移前左眼的坐标是(-4,2),平移后左眼的坐标是(3,4),它的横坐标增加了7,纵坐标增加了2.根据这个规律和平移的特征,平移后右眼的坐标是(5,4).

3、解析:关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标相反.在图4中,A 点的坐标是(-4,2),则A 点关于y 轴对称的对应点A '的坐标为(4,2),故选D.

点评:在平面直角坐标系中，求图形经过几何变换后点的坐标,应先准确作图,然后求坐标.

三、练习题

1、在平面直角坐标系中，点P （－3，2）所在象限为（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（ ）

(A)（－3，2） (B)（3，－2） (C)（－2，3） (D)（2，3） 3、若点P （a ，a ﹣2）在第四象限，则a 的取值范围是（ ） A 、﹣2＜a ＜0

B 、0＜a ＜2

C 、a ＞2

D 、a ＜0

4、在平面直角坐标系中，?AB CD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是(0，0)、(3，0)、(4．2)，则顶点D 的坐标为（ ）

A. (7，2)

B. (5, 4)

C. (1，2)

D. (2，1)

5、以平行四边形ABCD 的顶点A 为原点，直线AD 为x 轴建立直角坐标系，已知B 、D 点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C 点平移后相应的点的坐标是（ ） A 、（3，3）

B 、（5，3）

C 、（3，5）

D 、（5，5）

6、如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点” 的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的 1

2，则

点A 的对应点的坐标是（ ） A ．(－4，3) B ．(4，3) C ．(－2，6) D ．(－2，3)

7. 已知点A （a-1，a+1）在x 轴上，则a 等于______．

8．点)2,(1a P 与),3(2b P -都在第二、四象限两条坐标轴的夹角的平分线上,则

a= ,b= .

9. 已知点M （3，2）与点N （x ，y ）在同一条垂直与x 轴的直线上，且N 点到x 轴的距离为5，那么点N 的坐标是 。

第6题图

10. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°，得到△DEF,请写出P 点的坐标 。

三、解答题

11、△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）作出△ABC 关于x 轴对称的△111A B C ，并写出点1A 的坐标； （2）作出将△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后的△222A B C ．

12、 如图，菱形ABCD 的中心在直角坐标系的原点，一条边AD 与x 轴平行，已知点A 、D 的坐标分别是（－4，3）、（4

9

，3），求B 、C 的坐标．

13、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线AC 平行于x 轴，边OA 与x 轴正半轴的夹角为30°，OC=2，求点B 的坐标

4

-A B

C

O

1-2-3-4-1

2

3

41

23

4

1

-2-3

-x

y

y

x

O

A

D C B 第10题图

4

-A

B

C

O

1-2-3-4-1

2341

2

3

4

1

-2

-3

-x

y

1

A 1

B 1

C 2

A 2

B 2

C 答案：

一、选择题

1、B

2、C

3、B

4、 C

5、D

6、A

二、填空题

7、-1 8、-2；3 9、（3,5)或 （3,-5) 10、（-1,-1) 三、解答题

11、【答案】（1）作图如图示，1A 的坐标为（－2，－3）．

（2）如图示．

12、 B （-4

9

，-3） C （4，-3） 13.解：过点B 作DE ⊥OE 于E ，

∵矩形OABC 的对角线AC 平行于x 轴，边OA 与x 轴正半轴的夹角为30°， ∴∠CAO=30°，∴AC=4，∴OB=AC=4，∴OE=2，∴BE=2， ∴则点B 的坐标是（2，），

(四)一次函数

一、知识点汇总

1、一次函数的定义

一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．

⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零)： ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数

一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-

k

b

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k

b

，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ???

?<>00

b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ??

?

?<<00

b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；

当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.

一次 函数

()0k kx b k =+≠

k ，b 符号

0k >

0k <

0b >

0b <

0b =

0b >

0b <

0b = 图象

O

x y

y

x O

O

x y

y

x O

O

x y

y

x

O

性质

y 随x 的增大而增大

y 随x 的增大而减小

4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），

.即横坐标或纵坐标为0的点.

5、正比例函数与一次函数之间的关系及性质

一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

正比例函数

一次函数

概 念

一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

自变量 范 围

X 为全体实数

b>0

b<0 b=0

k>0

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小

图 象 一条直线

必过点 （0，0）、（1，k ） （0，b ）和（-

k

b

，0） 走 向

k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限

k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限

增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。（从左向右下降） 倾斜度 |k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴

图像的 平 移

b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.

6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

二、练习题：

1．当-1≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a 的取值范围是（ ） （A ）-4

2．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k 的交点为整点时，k的值可以取（）

（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个

4．若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）

（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限5．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．

6．y=2

3

x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．

7．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，?则一次函数的解析式为________．

8．设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008=_______．

9．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．

（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？

（2）求小明出发两个半小时离家多远？

（3）?求小明出发多长时间距家12千米？