15.4 角的平分线
专题一 角平分线知识的应用
1.如图,BD 是∠ABC 的角平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,S △ABC =36cm 2,?AB =18cm ,BC =12cm ,求DE 的长.
2.已知:如图,在△ABC 求证:AC -AB =2BE .
专题二 作图与实际问题
3.如图,点B 、C 在∠SAT 的两边上,且AB =AC .
(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写画法,保留作图痕迹) ①AN ⊥
BC ,垂足为N ;
②∠SBC 的平分线交AN 延长线于M ; ③连接CM .
(2)该图中有__________对全等三角形.
A
B
S
C T
4.夏令营组织学员到某一景区游玩,老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A 、B 、C 、D 四个景点位置的地图,指出:今天我们游玩的景点E 是新开发的,地图上还没来得及标注,但已知这个景点E 满足:①与景点A 、C 和景点B 、D 所在的两条直线等距离;②到B 、C 两景点等距离.请你在平面直角坐标系中,画出景点E 的位置,并标明坐标(用整数表示).
专题三 角平分线中的探究题
5.已知:点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB =OC . (1)如图1,若点O 在BC 上,求证:AB =AC ;
(2)如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证:AB =AC ; (3)若点O 在△ABC 的外部,AB =AC 成立吗?请画图表示。
O
O B
C
A
A
C
B
图2 图1
6.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,过I作DE∥BC交BA?于D,交AC于E.
(1)你能发现哪些结论?把它们一一列出来,并选择一个加以证明.
(2)若AB=7,AC=5,你能求△ADE的周长吗?
(3)作∠ABC与∠ACB的外角平分线,他们相交于点O,过O点作BC?的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G,你还能发现什么结论?
【知识要点】
1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【温馨提示】
1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.
2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.
【方法技巧】
1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.
2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.
参考答案
1.解:∵BD 是∠ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AB ,∴DE =DF . ∵S △ABC =36cm 2,S △ABD =
1
2
BC ·DF . 又∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ,AB =18cm ,BC =12cm ,∴12×18DE +1
2
×12DF =36, ∴9DE +6DF =36.
又∵DE =DF ,∴9DE +6DE =36,∴DE =
12
5
cm . 2.证明:延长BE 交AC 于点M , ∵BE ⊥AE ,∴∠AEB =∠AEM =90°.
在△ABE 中,∵∠1+∠3+∠AEB =180°,∴∠3=90°-∠1. 同理,∠4=90°-∠2.
∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴AB =AM .
∵BE ⊥AE ,∴BM =2BE ,∴AC -AB =AC -AM =CM . ∵∠4是△BCM 的外角,∴∠4=∠5+∠C. ∵∠ABC =3∠C ,∴∠ABC =∠3+∠5=∠4+∠5,
∴3∠C =∠4+∠5=2∠5+∠C .
∴∠5=∠C ,∴CM =BM .∴AC -AB =BM =2BE . 3.(1)如图;(2)3. 4.如图,坐标为(2,2).
5.(1)过点O 分别作OE ⊥AB ,OF ⊥AC ,E 、F 分别是垂足,由题意知,OE =OF ,OB =OC ,
∴Rt △OEB ≌Rt △OFC ,∴∠B =∠C ,从而AB =AC .
(2)过点O 分别作OF ⊥AB ,OE ⊥AC ,F 、E 分别是垂足,由题意知,OE =OF . 在Rt △OFB 和Rt △OEC 中,∵OF =OE ,OB =OC ,∴Rt △OFB ≌Rt △OEC .
∴∠OBF =∠OCE ,又由OB =OC 知∠OBC =∠OCB ,
∴∠ABC =∠ACD ,∴AB =AC . (3)不一定成立。
(注:当∠A 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时,有AB =AC ;否则,AB ≠AC ,
N
A
B
S
C
T M
成立
不成立
如示例图).
6.(1)①BD=DI,CE=EI;②DE=BD+CE;③△ADE的周长=AB+AC.
证明:因BI平分∠DBC,∴∠DBI=∠CBI,
又∵DE∥BC,∴∠CBI=∠DIB,∴∠DIB=∠DBI,故BD=DI,
同理CE=EI,即①得证.由①不难推出②、③.
(2)由(1)知△ADE周长=AB+AC=7+5=12.
(3)OF=FB;OG=GC;BF+CG=FG.
G E D A C F O B 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名: _________ 一、选择题 1、如图,正六边形ABCDEF 的边长的上a ,分别以C 、F 为圆心,a 为半径画弧,则图中阴影部分的面积是 ( ) (A )261a π (B )231a π (C )232a π (D )23 4 a π 2、如图,AB 是半圆O 的直径,点P 从点O 出发,沿? OA AB BO -- 的路径运动一周.设OP 为s ,运动时间为t ,则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是( ) 3、如图所示,长方形ABCD 中,以A 为圆心,AD 长为半径画弧,交 AB 于E 点。取BC 的中点为F ,过F 作一直线与AB 平行,且交 D E 于G 点。求AGF =( ) (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图,C 为⊙O 直径AB 上一动点,过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点,且∠ACD=45°,DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时,设AF=x ,DE=y ,下列中图象中,能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( ) A B C D 5、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径,则∠A 的度数是( ) P A O B s t O s O t O s t O s t A . B . C . D .
(A )30° (B )45° (C )60° (D )75° 6、(2013年温州中考题)在△ABC 中,∠C 为锐角,分别以AB ,AC 为直径作半圆,过点B ,A ,C 作 ,如图所示,若AB=4,AC=2,4 21π = -S S ,则4 3S S -的值是( ) A. 429π B. 423π C. 4 11π D. 45π 7、如上图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O 、H 分别为边AB 、AC 的中点,将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1的位置,则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( ) A .77 π338 - B .47 π338+ C .π D .4 π33 + 8 7 9 10 二、填空题 8、如图所示,扇形AOB 的圆心角为90°,分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆,P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积,那么P 和Q 的大小关系是 9、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以AC 、BC 为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) 10、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2.将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置,B ,A ,C′三点共线,则线段BC 扫过的区域面积为 11、如图,圆内接正六边形ABCDEF 中,AC 、BF 交于点M .则ABM S △∶AFM S △=_________. 12、若线段AB=6,则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值范围是 13、如图,半径为5的⊙P 与y 轴交于点M (0,-4)、N (0,-10),函数y= k x (x<0)的图象过
精品 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名: _________ 一、选择题 1、如图,正六边形 ABCDEF 的边长的上 a ,分别以 C 、F 为圆心, a 为半径画弧, 则图中阴影部分的面积是 ( ) (A ) 1 2 1 2 ( ) 2 2 ( D ) 4 2 6 a (B ) a C a a 3 3 3 2、如图, AB 是半圆 O 的直径,点 P 从点 O 出发,沿 OA ? BO 的路径运动一周.设 OP 为 s , AB 运动时间为 t ,则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间关系的是( ) P s s s s A B O t O O t O t O A . B . t C . D . 3、如图所示,长方形 ABCD 中,以 A 为圆心, AD 长为半径画弧,交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F ,过 F 作一直线与 AB 平行,且交 DE 于 G 点。求 AGF= ( ) (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图, C 为⊙ O 直径 AB 上一动点,过点 C 的直线交⊙ O 于 D 、E 两点,且∠ACD=45 °,DF ⊥AB 于点 F,EG ⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时,设 AF= x ,DE= y ,下列中图象中,能表示 y 与 x 的 函数关系式的图象大致是 ( ) D A O G B F C E A B C D 5、已知锐角△ ABC 的顶点 A 到垂心 H 的距离等于它的外接圆的半径,则∠ A 的度数是 ( )
浙教七上数学第三章:实数培优训练 一.选择题: 1.下列各数中无理有( ) 10 π 14159.3 81 3 27 32+ 73 169 121 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.①64的立方根是4±;②x x =33;③64的平方根为8±;④()4832 ±=± 其中正确的有( )个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的值等于则若n m n m --==,3,23( ) A. 31 B. 31- C. 332+ D. 332- 4.计算:=---+-π14.35351( ) A.π+-5286.0 B. π-14.5 C. π+-14.752 D. π+-14.1 的整数有而小于大于53.5-( ) A. 2,1,0,1,2-- B. 3,2,1,0,1- C. 3,2,1,0,1,2-- D. 2,1,0,1- 则下列各式正确的是若,0.6>a ( ) A. a a > B. a a >1 C. a a 1 1< D. a a < 的大小关系是则若c b a c b a ,,2,3),3(22.72--=-=-?+-=( ) A. c a b >> B. c a b >> C. c b a >> D. b c a >> =-=+ x x x x 1 ,71.8则已知( ) A. 3 B. 3- C. 3± D. 5± 9.一个自然数的算术平方根是a ,则与这个自然数相邻的后续自然数的平方根是( ) A. 1+a B. 12+a C. 1+±a D. 12+±a 10.若1212=a ,1692 =b ,且0 10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】 例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解: 第六单元 圆 第二十四课时 圆的基本性质 基础达标训练 1. (xx 兰州)如图,在⊙O 中,AB ︵=BC ︵ ,点D 在⊙O 上,∠CDB =25°,则∠AOB =( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 第1题图 第2题图 2. (xx 长郡教育集团二模)如图,A 、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径.若∠D =32°,则 ∠OAC =( ) A. 64° B. 55° C. 72° D. 58° 3. (xx 泸州)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,若AB =8,AE =1,则弦CD 的 长是( ) A. 7 B. 27 C. 6 D. 8 第3题图 第4题图 4. (xx 周南中学一模)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠AOB =60°,AB =AC =2,则弦BC 的长为( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 4 5. (xx 宜昌)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 平分∠BAD ,则下列结论正确的是( ) A. AB =AD B. BC =CD C. AB ︵=AD ︵ D. ∠BCA =∠DCA 第5题图第6题图 6. (xx广州)如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥C D,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( ) A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 7. (xx广安)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知cos∠CDB=4 5 ,BD=5, 则OH的长度为( ) A. 2 3 B. 5 6 C. 1 D. 7 6 第7题图第8题图 8. (xx金华)如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( ) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm 9. (xx重庆B卷)如图,OA,OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,连接AB,BC. 若∠ABC =40°,则∠AOC=________度. 实数典型问题精析(培优) 例1.(2009的相反数是( ) A . B C .2 - D . 2 分析:本题考查实数的概念――相反数,要注意相反数与倒数的区别,实数a 的相反数是-a ,选A.要谨防将相反数误认为倒数,错选D. 例2.(2009年江苏省中考题)下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-??-+ ???;第2个数:2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ; 第3个数:234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ; ……第n 个数:23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? . 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是(A ) A .第10个数 B .第11个数 C .第12个数 D .第13个数 解析:许多考生对本题不选或乱选,究其原因是被复杂的运算式子吓住了,不善于从复杂的式子中寻找出规律,应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了,但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的,费时费力,影响了后面试题的解答,造成了隐性失分.本题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中的因数是成对增加的,且增加的每一对数都是互为倒数,所以这些数的减数都是 21,只要比较被减数即可,即比较14 1 131121111、、、的大小,答案一目了然. 例3(荆门市)定义a ※b =a 2 -b ,则(1※2)※3=___. 解 因为a ※b =a 2 -b ,所以(1※2)※3=(12 -2)※3=(-1)※3=(-1)2 -3=-2.故应填上-2. 说明:求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义,注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系,及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4(河北省)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16、…,这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现,任何一个大于 分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是 中考数学复习知识点专题训练 第六章 圆 第一节 圆的基本性质 姓名:________ 班级:________ 用时:______分钟 1.(2019·柳州)如图,A ,B ,C ,D 是⊙O 上的点,则图中与∠A 相等的角是( ) A .∠B B .∠C C .∠DEB D .∠D 2.(2020·原创)如图,在⊙O 中,AC ︵=BD ︵ ,∠AOB=40°,则∠COD 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .60° 3.(2020·原创)如图,A ,B ,C ,D 四个点均在⊙O 上,∠AOB=40°,弦BC 的长等于半径,则∠ADC 的度数等于( ) A .50° B .49° C .48° D .47° 4.(2019·吉林)如图,在⊙O 中,AB ︵所对的圆周角∠ACB=50°,若P 为AB ︵ 上一点, ∠AOP=55°,则∠POB的度数为( ) A.30° B.45° C.55° D.60° 5.(2019·赤峰)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB交⊙O于点C,点D是⊙O上一点,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 6.(2020·原创)如图,点A,B,C在⊙O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( ) A.25° B.50° C.60° D.80° 7.(2019·广元)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则BD的长为( ) A. 2 5 B.4 C.213 D.4.8 8.(2019·安顺)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优培优专题7_分式的运算(含问题详解)
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