第四章 量纲分析与相似原理
第四章量纲分析与相似原理
前面几章阐述了液流运动的基本方程，求解这些方程是解答水力学的问题的一个基本途径。但由于液流问题的复杂性，求解这些方程在数学上常常会遇到难以克服的困难，因而不得不采用其他分析途径和试验方法来解答水力学问题。量纲分析和相似原理就是指导分析和试验的重要方法。通过量纲分析和相似原理可以合理地正确地组织、简化试验及整理成果。对于复杂的流动问题，量纲分析和相似原理还可以帮助寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构。所以，在学习了流动的基本原理以后，先介绍这个在分析流动问题上的有力工具，为以后分析各种流动问题作准备。但是，要正确运用这个方法，还必须对流动现象有一定的分析能力。因此，也只有在学习以后各章的各种流动的知识之后，才能逐步加深掌握这一章的内容。
4-1 量纲分析的概念
(一)量纲和单位
在水力学(或流体力学)研究中需用密度、粘滞系数、长度、速度、时间和力等物理量来表述水流现象及其运动规律。这些物理量按其性质的不同而分为各种类别，各类别可用量纲(或因次)来标志，如长度[L]、时间[T]、质量[M]、力[F]等。量度各种物理量数值大小的标准，称为单位。如长度为1米的管道，可用100厘米、3市尺或3.28英尺等不同的单位来表示1。所选用的单位不同，数值也不同。但上述单位均属长度类，即所有测量长度的单位(米、厘米、英尺等)均具有同
1世界上大多数国家已采用统一的国际单位制（Systeme Internationaled’ Unites）,简称SI。我国目前正在推广中，原使用的公制等单位还要同时使用，作为过渡。
一量纲，以[L]表示。
量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲必须具有独立性，即一个基本量纲不能从其它基本量纲推导出来，也就是不依赖于其它基本量纲，如[L]、[T]和[M]是相互独立的，不能从[L]、[T]中得出[M]，也不能从[T]、[M]中得出[L]。但[L][T]和速度的量纲[v]就不是互相独立的，因为[v]= [L
T
]。
在各种力学问题中，任何一个力学量的量纲都可以由[L、T、M]导出，故一般取长度[L]、时间[T]及质量[M]为基本量纲。但需指出，基本量纲并不是理论上规定必须取三个，也可以采用四个或少于三个。如采用四个互不依赖的基本量纲为[L]、[T]、[M]及力的量纲[F]，则
需把牛顿定律写成F=Cma，而系数C的量纲则为[C]= [FT 2
MT
]。一般讲，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。通常采用[L、T、M]为基本量纲；也有采用[L、T、F]为基本量纲的，视需要而定。
其它物理量的量纲可由基本量纲推导出来，称为诱导量纲。力学中任何一个其他物理量的量纲，一般均可用三个基本量纲的指数乘积形式来表示。如x为任一物理量，其量纲可用下式表示：
(4-1) 该式称为量纲公式。量x的性质可由量纲指数α、β、γ来反映，如α、β、γ指数有一个不等于零时，就可以说x为一有量纲的量。
上述诱导量的量纲公式均为基本量纲的指数乘积形式，其数学证明可参阅有关文献。[1][2][3]
从式(4-1)可得水力学中常见的有量纲量:
(1)如α≠0，β=0，γ=0，为一几何学的量；
(2)如α≠0，β≠0，γ=0，为一运动学的量；
(3)如α≠0，β≠0，γ≠0，为一动力学的量。
例如面积A是由二个长度的乘积组成，则它的量纲为长度量纲的平方，[A]=[L2]，或写成量纲公式为[A]=[L2T0M0]。流速v按其定义，其量纲为[v]=[L
T
]，量纲公式为[v]=[LT-1M0]。加速度a的量纲公式为[a]=[LT-2M0]。由牛顿定律F=ma可知力F的量纲为质量m和加速度a的量纲的乘积，即[F]=[MLT-2]。
又如动力粘滞系数μ，由牛顿内摩擦定律知μ=τ/du
dn
，分子项τ为
切应力，分母项du
dn
为流速梯度，则μ的量纲公式为
运动粘滞系数v为μ与密度ρ的比值，即v=μ
ρ，而ρ=m
V
,故得v
的量纲公式为[v]=[μ]/[ρ]= [ML-1T-1]/M
L
=[L2T-1]
上面的讨论是以[L、M、T]为基本量纲的，常采用单位的厘米、克、秒，即所谓c、g、s单位。国际单位制（SI），长度单位用米（m），时间单位用秒（s），质量单位用千克或公斤（kg）。在以[L、T、F]为基本量纲时，力F的单位为公斤力（kgf），质量m的量纲可导出为：[M]= [F]/[a]= [F]/ [LT-2]= [FT2L-1]
其单位为公斤·秒2/米（kgf·s2/m）。
各种和水力学有关物理量的量纲和单位如表4-1所示。
表4-1 水流运动常见物理量的量纲和单位
（二）无量纲数
某些物理量的量纲可简化为零，即（4-1）式中各指数为零，α=β=γ=0或
[x]=[T0L0M0]=[1] （4-2）
称x为无量纲量（数），也称纯数，它具有数值的特性。
无量纲数可以是两个相同量的比值。例如坡度J是高差对流程长
度的比值，J=△?
l ，量纲式为[J]=[L
L
]=[1]，即为无量纲数。其他如应变△l
l
和
体积相对压缩值dV
V
等均是无量纲数。
无量纲数也可以由几个有量纲量能过乘除组合而成，即组合结果各个基本量纲的指数为零，满足了（4-2）式。如水力学中的雷诺数Re（Reynolds Number）和佛汝德数Fr（Froude Number）等即为无量
纲数。现以雷诺数Re=v·d
v
为例说明如下：
已知流速v的量纲为[LT-1]，管径d的量纲为[L]，运动粘滞系数
v的量纲为[L2T-1]，则雷诺数的量纲[Re]=[LT ?1][L]
[T2T?1]
=[T0L0M0]=[1]，为无量纲数。
无量纲数具有如下特点：
1、无量纲数既无量纲又无单位，它的数值大小与所选用的单位无关。如某一流动状态的雷诺数Re=2000，不论是采用公制还是英制单位，其数值均保持不变。如在原型和在模型两种规模大小不同的流
态中，其无量纲数是不变的。在模型试验中，为了模拟与原型液态相似的模型液态，常用同一个无量纲数(Fr数或Re数等)作为相似判据。无量纲数在模型水流和原型水流中应保持不变，这就是相似原理的基础之一，将在后面介绍。
2.一切有量纲的物理量都将因选取不同单位制而有不同的数值，如果用有量纲的物理量来表示一个客观规律的自变量，那么这个客观规律所表达的因变量也将随所选用的单位而有不同的数值。而单位是人们主观选用的，可是客观规律不应随主观意志而改变。只有无量纲量不随所选用单位的不同而改变其数值，所以要正确反映客观规律，最好将其物理量组会成用无量纲数表示的形式。或者说，一个完整、正确的力学方程式应是用无量纲项组成的方程式。伯列特曼(P. W. Bridgman)曾称此为“相对量(无量纲量)的绝对意义”定律。由此可见无量纲量的重要性。量纲分析的目的之一就是找出正确地组合无量纲量的方法。
3.无量纲量的重要性还表现在对数、指数、三角函数等任何超越函数运算中，都必须是对无量纲量来说的。如气体等温压缩所作的功W，可写为对数形式：
)
W=p1V1ln(V2
V1
压缩后与压缩前的体积比，是无量纲量，故可以取对数，其中V2
V1
而对有量纲的某物理量取对数是无意义的。又如前进波在运移过程中,水面高程y为
y=A sin w(t-x
)
v
其中A为波幅，w为角速度，t为时间，x为波动的距离，v为波
速。w(t-x
v )的量纲为[1
T
][T]=[1]，是无量纲量，因此可取正弦。
如，其中C也是一个有量纲的量，C=-lnp0，即( )，只能对无量纲的比值p
p0
取对数。
由无量纲量的上述特点，可以说明无量纲数的重要性。
4-2 量纲的和谐原理
量纲分析的基本原理是：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的,这称为量纲和谐原理。无数事实一再表明，这个原理是正确的。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的量才可以相加减；反之，把两个不同类型的物理量相加减是没有意义的，例如把流速与质量加在一起是完全没有意义的。所以，一个方程式中各项的量纲必须是相同和一致的。但不同类型的物理量却可以相乘除，从而得为诱导量纲的另一物理量，如流速和质量相乘可得动量[MLT-1]。
下面举例说明量纲和谐原理的重要性。
1.一个方程式在量纲上是和谐的，则方程的形式不随量度单位的改换而变化。量纲和谐原理可用来检验新建方程或经验公式的正确性和完整性。例如伯诺里方程为
各项的量纲都是长度量纲[L]，因而该式是量纲和谐的。各项的单位不管是用米或英尺，该方程的形式均不变；如用方程中任一项遍除式中各项，则可得到无量纲项组成的方程式。又如上一章中粘性流
体运动方程式(纳维埃-司托克斯方程)为
式中各项的量纲均为[LT-2]，因而该式是满足量纲和谐原理的。
如一个方程式在量纲上是不和谐的，那就要检查一下方程式是不是完整，所用的单位是不是一致，在数学分析中是不是有错误等。这一原理对代数方程、微分方程和积分方程均可应用。
2.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
例如当质量为m的物体沿半径为R的圆周运动时，作用于物体的径向力F是与质量m、物体运动速度v及半径R有关。试用量纲和
谐原理，证明F∝m v 2
R
采用[L、M、T]为基本量纲。已知各物理量的量纲为[F]=[MLT-2]，[m]=[M]，[v]=[LT-1]，[R]=[L]。根据量纲和谐原理，∝号两边相同量纲的指数应相等。
式右侧[m v 2
R
]= [M] [LT-1]2[L]-1=[MLT-2]与式左侧[F]的量纲相同。
即证得F∝m v 2
R
又如，圆管中层流2的流量Q与管段长l成反比，与两端的压差△p成正比，与圆管半径r的n次方成正比，与液体粘滞系数μ成反比，可写成如下形式：
Q∝△pr n
lμ
现由量纲和谐原理求未知指数n。
采用[L、T、F]为基本量纲。各物理量的量纲为[Q]=[L3T-1]，2层流为液体的流动型态之一，将在第五章介绍。
[△p]=[FL-2]，[μ]=[FTL-2]，代入上式：[L3T-1]=
根据量纲和谐原理，n-1=3，得n=4，
即Q∝△pr 4
lμ
3.量纲和谐原理可用来建立物理方程式。
仍用上例、水平圆管中层流的流量Q与圆管半径r、单位管长的压强差△p
l
、液体动力粘滞系数μ等因素有关，现用量纲和谐原理来确定方程式的形式。
可先假定
[Q]=[ ]
将基本量纲[L、F、T]代入，则上式可写成：
[L3T-1]=
使方程式两边相同量纲的指数相等，得
F: α1+α3=0
L: -3α1+α2-2α3=3
T: α3=-1
联解上列三式，得α1=1,α2=4,α3=-1。
将这些指数代入原方程式为
[Q]=[△p
lμ
r4μ-1]
或写成Q=k△pr 4
lμ
所得结果与前例相同。k为一无量纲系数，可由试验和分析求得k=π
8
。
必须指出，尽管正确的物理方程式应该是量纲和谐的，但也有一些方程式的量纲是不和谐的，这一般是指单纯依据实验观测资料所建立的经验关系式。这类经验式在应用上是有局限性的。例如过去曾经广泛应用的计算圆管水流流速的威廉-海生(William-Hazen)公式(英制)：
v=1.32C(D
)0.63J0.54
4
其中v为断面平均流速，量纲为[LT-1]；C为表示管壁粗糙度的一个尺度，其量纲可认为是[L]；D为直径，其量纲为[L]；J为水力坡降，
=[1]。
即单位管长中的水头降落，其量纲为[L]
[L]
从量纲和谐原理，要求上式中的系数1.32具有下列量纲：
[1.32]=[ L-0.63 T-1]
这个量纲没有任何物理意义，这表明上式的量纲是不和谐的。
如果说C的量纲不是长度的一次方，则因上式中的(1.32C)代表阻力系数，可以从量纲和谐原理求(1.32C)的量纲，得
[1.32C]=[ L-0.63 T-1]
这个量纲也没有物理意义，又一次表明上式的量纲是不和谐的。在量纲上不和谐的原因是：这个公式是纯经验性的，没有从理论上考虑公式应有的结构形式，而是单纯地从实测数据建立的关系。
这类公式还是不少的。例如在渠道设计中过去应用好几十年的一个使渠道既不被冲刷又不会淤积的流速公式——肯尼迪(Kennedy)公式(公制)：
V=0.546h0.64
其中v为渠道断面的平均流速；h为平均水深。显然这个公式在量纲上也是不和谐的。
由于理论水平的不断提高，量纲不和谐的公式正在逐渐被淘汰。
对这类量纲不和谐的经验公式，必须指明应采取的单位。这些经验公式虽然在一定时期内仍在生产实际上使用着，但从量纲上看是不和谐的，说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系来表示局部的规律性。这就要求人们继续研究，力求得到符合量纲和谐原理的正确反映客观规律的公式。
4-3 量纲分析法之一——雷别法
量纲分析方法有两种，一种适用于比较简单的问题，称雷列(L. Rayleigh)法。另一种是具有普遍性的方法，称为π定理，这将在下节进行阐述。
雷列法的实质即应用量纲和谐原理建立物理方程，在上节中已略有涉及，现通过雷列的典型实例来进行说明。
例4-1 设有弦长为l的单摆(图4-1)，摆端有质量为m的摆球，求单摆来回摆动一次的周期t的表达式。
解根据对现象的理解，认为周期t与弦长l、质量m、摆幅θ和重力加速度g等因素有关。即t=f(l、m、θ、g)
上面的函数关系一般可用下列指数乘积形式表示，即
t=f1()
把上式写成量纲关系式，得
[T]=
根据量纲和谐原理，得M: α2=0，
L:α1+α4=0，
T: -2α4=1
联立求解上列三式得：α1=1
2,α2=0,α4=-1
2
代入原式为：t=
υ(θ)是指θ的某一函数。从量纲分析角度来看，这个函数没有任何限制，但从物理实验得υ(θ)是一个常数，并等于2π，则得单摆周期的关系式为：
t=
像这样因素较少的问题，除υ(θ)=2π是需要另行确定外，量纲分析可以告诉我们，质量m对周期没有影响，并可确定周期的基本关系式为:
T∝
由该例还可以看出，当题中各物理量包含有几个基本量纲，就可以写出几个确定指数的方程式，也就只能解出同样数目的未知数。
例4-2
有两个物体质量分别为m1和m2。在真空中两物体间的相互引力F=G m1m2
r
，其中G为引力系数，T为两个物体间的距离。如果m1远比m2为大，则在引力的作用下，物体m2将近似地以m1为中心沿圆形轨道运动。试用雷列法求物体m2绕轨道运行一周的时间——周期t的函数关系。
解影响m2物体运行速度的物理量可能有m1、m2、r和G。但m2的影响可以忽略，因为m2增大一倍，则引力也增大一倍，这使物
体m2在法线方向的加速度(v 2
r
)维持不变。G虽是一个常数，但不能从影响因素中去掉，因为m1和r中都不包含有时间的量纲，所以周期t 不可能只是m1和r的函数。这再一次表明，影晌因素不一定都是变量。因而我们可以写出：
t=f(m1,r,G). (1)
可以认为，上述函数关系能用指数的乘积来表示，即
t=km (2)其中k为某一无量纲常数。
从引力公式可得G的量纲为M-1L3T-2。因而(2)式的量纲关系为：[T]=(3)
从量纲和谐原理可写出以下关系式：
α-γ=0,(4)
β+3γ=0,(5)
-2γ=1.(6)
联解上列三式，得
γ=-1
2
,(7)
β=3
2
,(8)
α=-1
2
,(9)
从而(2)式可写成
t=(10)
这个结果已在天文学里得到了证实。
4-4 量纲分析法之二——π定理
量纲分析法的更为普遍的理论，是著名的π定理，或称布金汉(Buckingham)π定理[4]。这是量纲分析的主要组成部分。
任何一个物理过程，如包含有n个物理量，涉及到m个基本量纲，则这个物理过程可由n个物理量组成的（n-m)个无量纲量所表达的关系式来描述。因这些无量纲量用π来表示。就把这个定理称为π定理。
设影响物理过程的n个物理量为x1,x2，…，x n，则这个物理过程可用一完整的函数关系式表示如下：
f(x1,x2，…，x n)=0 (4-3)
设这些物理量包含有m个基本量纲。根据π定理，这个物理过程可用(n-m)个无量纲的组合量π表示的关系式来描述，即f(π1, π2，…，πn-m)=0 (4-3)
π定理可以用数学证明，此处从略。必要时可查阅有关专著[5][6]。
现在介绍应用π定理的步骤：
(1)根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量，即写成式(4-3)。
这里所说的有影响的物理量，是指对所研究的现象起作用的所有各种独立因素。对水流现象来说，主要包括水的物理特性，流动边界的几何特性，流动的运动特征等。影响因素列举得是否全面和正确，将直接影响分析的结果。所以这一步非常重要，也是比较困难的一步，
只能靠我们对所研究现象的深刻认识和全面理解来确定。下面将通过举例来说明这一点。
仍需指明的是，在列举影响这一现象的所有物理量中，既有变量，也有常量。如水流现象中水的密度和粘滞系数等一般都按常量对待，但也需列举进去。又如重力加速度g，一般也是常量，但在分析明槽水流时，却是重要的影响因素之一。
(2)从n个物理量中选取m个基本物理量，作为m个基本量纲的代表，m一般为3。因此，要求的这三个基本物理量在量纲上是独立的。所谓量纲上是独立的，是指其中任何一个物理量的量纲不能从其他二个物理量的量纲中诱导出来。或者更严格地讲，这三个物理量不能组合成一个无量纲量。如用
[x1]=
[x2]=
[x3]=
来表示基本物理量的量纲式，则x1，x2，x3不能形成无量纲量的条件是量纲式中的指数行列式不等于零，即
≠0 （4-5）
(4)从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个
基本物理量组合成一个无量纲的π项，这样一共可写出(n-3)个
π项：
π1=
π2=
……
πn-3=
式中a i、b i、c i为各π项的待定指数。
（4）每个π项既是无量纲数，即[π]=[L0T0M0]，因此可根据量纲和谐原理，求出各巧π的指数a i、b i、c i。
(5)写出描述现象的关系式
F(π1, π2，…，πn-3)=0 (4-4)
这样，就把一个具有n个物理量的关系式简化成(n-3)个无量纲量的表达式。如前所述，无量纲量才具有描述自然规律的绝对意义。所以，(4-4)式才是反映客观规律的正确形式，而且也是进一步分析研究的基础。由下面的实例可以很清楚地了解量纲分析在这方面的重要作用。
例4-3 求文透里管的流量关系式(参照图2-13文透里管)。影响喉道处流速v2的因素有：文透里管进口断面直径d1，喉道断面直径d2，水的密度ρ，动力粘滞系数μ及两个断面间的压强差△p(假设文透里管为水平放置)，现用π定理来求流量表达式。
解
(1)根据上列影响因素，n=6，可写成下列函数关系式：
f(v2, d1，d2，ρ，μ,△p)=0 (4-6)
(2)由上列6个物理量中选取3个基本物理量：即喉道直径d2，代表几何尺度；喉道断面流速v2，代表运动学特征；水的密度ρ，代表水流主要物性。这三者包括了[L、T、M]三个基本量纲，根据三个
基本物理量的量纲公式：
[d2]=
[v2]=
[ρ]=
各指数的行列式不为零：
=-1≠0
所以上列三个基本物理量的量纲是独立的。
(3)写出n-3=6—3=3个无量纲π项：
π1= (1)
π2= (2)
π3= (3)
(4)根据量纲和谐原理，各π项的指数分别确定如下：对(1)式，
共量纲式为
[L]=
对
L: 1=
T: 0=
M: 0=
联立求解以上三式，得各指数为a1=1，b1=0，c1=0。则可得到π1=
同理，求得
π2=
π3=
(5)将各π项代入(4-4)式得无量纲数方程为
F( )=0
或写成
这就是文透里管流速的关系式，函数f2中Re= ,这是用来判别流动型态的一个标准，称雷诺数(Re数)，将在下一章中介绍它的意义。文透里管的流量Q=v2A2= ,可得流量表达式为：
其中无量纲函数f2( )可由试验或分析进一步求得。上述流量表达式与(2-28)、(2-29)式基本相同。
例4-4 求圆形孔口出流的流量公式。
根据对孔口出流现象(见图2-16)的认识，影响孔口出流流速v的因素有：作用于孔口的水头H，孔口直径d，重力加速度g，水的密度ρ，粘滞系数μ及表面张力系数σ。现用π定理来求孔口流量公式。
解
(1)根据上述影响孔口流量的因素，列出n=7个物理量的关系式为
f(v, H, d, g ,ρ ,μ ,σ)=0 (4-8)
(2)从上述7个物理量中选取3个基本物理量：水头H，代表现象的主要几何尺度；孔团出流的流速v，代表现象中的运动学特征；水的密度ρ,代表水流的主要物性。这三者包括了L，T，M三个基本
量纲，根据量纲式：
[H]=
[v]=
[ρ]=
则各指数项的行列式为
=-1≠0
因此，这三个基本物理量的量纲是独立的。
(3)可以写出n-3=7-3=4个无量纲π数：
(4)根据量纲和谐原理，各π数的指数可确定如下：对(1)式的量纲式为[L]= [LT?1]a1[L]b1[M T?3]c1，得
L:1=
T:0=
M:0=
联立求解以上三式，得a1=0，b1=1，c1=0。
则
π1=
同理，求得
π2=
π3=
π4=
(5)将各π数代入(4-4)式，并整理如下：
或
则
孔口出流流量Q=A v= ，则
或
设=C Q为流量系数，则
Q= (4-9)
通过量纲分析法的π定理得到了孔口流量公式的基本形式，知道了Q与并且知道了影响流量系数的三方面因素，从而找到了深入研究该问题的途径。
通过流体力学的理论分析，得知C Q的基本值为π
π+2
=0.61l(其中
π=3.14)，但还受三方面因素的影响。由实验得知，当d
H
<0.1，水流在
锐缘孔口前后收缩完全，d
H 对C Q值没有影响；反之，当d
H
>0.1,出流水
股收缩不完全，收缩系数大，C Q值将随之增大。第二个因素μ/ρ
vH =v vH
,
其倒数vH
v
衡量水的粘滞性对孔口出流的影响，式中H为一特征长度，
对孔口出流实用上常用d代替H，即写成vd
v
,这就是上节中的雷诺数
Re。此数小到一定范围(如Re=vd
v
<100000)时，粘滞性的影响将起作用，
C Q值将随之降低。另一个因素?/ρ
v H 的倒数即v
2H
?/ρ
，实用上常写成v
2d
?/ρ
,叫
作韦伯数We，它代表表面张力的影响，只有当孔口很小，即出流水股断面很小，以致表面张力的作用不能忽视，此时水股收缩也将受到表面张力影响，致使C Q随之降低。
由上述介绍可知，量纲分析法在水力学研究中是很有用处的。不仅可以在已知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原理可求出各物理量之间的基本关系式，并找出进一步研究该问题的途径；而且可以使一些纯经验公式具有理论上(量纲和谐性)正确的形式；同时依靠π定理可决定相似准数(见下节)和正确处理试验数据，因此量纲分析法在水力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一个有效的研究手段。
然而量纲分析毕竟是一种数学分析方法，有其一定的局限性。例如在选择与物理过程有关的影响因素时，既不要遗漏重要的物理量，也不要把不必要的因素考虑进去，包括正确选择基本物理量应具有独立的量纲等，这都要求人们正确理解该物理现象并熟练掌握这些方法。尤其是最后确定函数关系式的具体形式时，也还要依靠理论分析和试验的成果。
4-5 现象相似的意义及相似的特征
前面谈到，很多水力学问题单纯依靠理论分析是不能求得解答的，而多要依靠实验研究来解决。这就需要知道如何进行实验以及如何把实验结果应用到实际问题中去。相似原理就是实验的理论依据，同时也是对液流现象进行理论分析的一个重要手段，它的应用非常广泛，从小到物质分子结构、大到大气环流、海洋流动等，都可藉助相似原理来探求其运动规律。在水力学的研究中，从某些水流内部机理直至与水力机械、水工建筑物等方面的设计、施工与运行有关的水流问题，都广泛应用水力学模型实验来进行研究，即在一个和原型水流相似而
相似原理与量纲分析
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。而且在计算机
第五章-相似原理与量纲分析
第五章 相似理论与量纲分析 5．1基本要求 本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。 5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义， 量纲的定义。 5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。 5．2基本知识点 5．2．1相似的基本概念 为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即 n n l m m L d C L d == n m θθ= 相应有 222n n A l m m A L C C A L === 333n n V l m m V L C C V L === 2. 运动相似 两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。 n n u m m u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2 u u a t l C C C C C == 3. 动力相似 两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。 Im pn n In n Gn En F m m Gm pm Em F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N 倍，进行相应的实验，得到相应的规律， 来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安
装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高 能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以
第五章 相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析 （1）第三章是理论研究方法，但除了极少数问题外，很难得到理论解析解，而必须借助于实验方法。（2）实验研究方法有实物实验、比拟实验和模型实验三大类。（3）实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，它对于较小的模型系统比较合适，对大型系统就很难；比拟实验有水电比拟和水气比拟，是利用电磁场来模拟流场和用液体来模拟气体，实施起来也有诸多限制；模拟实验是最常用的实验方法，此法是在测试中把原型按一定比例缩小后的模型，此外还可能要变更流体的性质和流动条件等等。（4）模拟实验研究的理论指导基础是相似原理。具体实践方法是通过量纲分析。（5）流动相似是几何相似的推广。 §1 流动相似原理 几何相似——对应边成同一比例；对角边相等。当边上有粗糙度时还要求粗糙度相似。 运动相似——（1）几何相似的流动系统中，对应点的速度大小成同一比例，方向相同。即流线是相似的。（2）几何相似未必运动相似。如同一模型的亚超音速流动。（3）速度相似，和几何相似，则加速度相似。 动力相似——（1）几何相似和运动相似的两个流场中，对应点处的作用的性质相同的力，其大小成同一比例，方向相同。（2）力相似，则力矩和其他与力相关的物理量也相似。 时间相似——流体动力所对应的时间间隔成比例。这是对非定常问题而言的，意思是相应的非定常时间尺度成比例。 其他相似——热力相似；化学相似等。 §2 相似准则与量纲分析 相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足，两者才可以比拟。但在实际应用中，并不能用这些定义来验证流动是否相似，因为通常原型流动的详情是未知的。这就产生一个问题：有什么其他办法能保证两个流动系统相似呢？有，这就是相似准则。利用相似准则，不必详细判断流场各点的几何、运动和动力量是否相似，而直接可判断流场是否相似。 （一）量纲
相似原理和量纲分析.
水力学教学辅导 第10章 相似原理和量纲分析 【教学基本要求】 1、了解相似现象和流动相似的特征。 2、了解水力学模型设计的相似原理和重力相似准则、阻力相似准则，能进行模型比尺和对应物理量的计算。 3、了解量纲和谐原理的基本概念。 【内容提要和学习指导】 实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。通过本章学习，会根据不同的水流模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺设计和原型与模型对应的物理量的计算。 这一章要求重点掌握重力相似准则、阻力相似准则以及模型比尺和对应物理量的计算。掌握正确组合无量纲量的组合方法。 10.1 相似现象和流动相似的特征 相似是人们常遇到的概念，最常见的是指图形的相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。 流动相似是图形相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现运动相似这个目的。运动相似和动力相似是表示原型和模型两个流动对应的点速度、压强和所受的作用力都分别满足确定的比例关系。 10.2相似理论和牛顿相似准则 相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。 在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。用数学式可以表达为： （Ne ）P =（Ne ）M （10—1） 式中牛顿数 表示某种力与惯性力的比值，F 可以是任何种类的力，下 标P 和M 分别表示是原型和模型的物理量。这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。 22Ne υρL F =
第五章 相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析 对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。 第一节流动相似 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 1.几何相似 几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。 长度比尺：（5-1） 面积比尺：（5-2） 体积比尺：（5-3）
2. 运动相似 运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。 速度比尺：（5-4） 加速度比尺：（5-5） 3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。 力的比尺： （5-6） 4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。 流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。 第二节动力相似准则 动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。
相似原理及量纲分析
第十三章相似原理及量纲分析 实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。 而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。 (1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。 (2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。 相似原理就是解决上述问题的基础。本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。 §13-1 相似的概念 相似的概念最早出现在几何学中，如两个相似三角形，应具有对应夹角相等，对应边互成比例，那么，这两个三角形便是几何相似的。 在流体力学的研究中，所谓相似，主要是指流动的力学相似，而构成力学相似的两个流动，一个是指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或预演的流动现象，称为模型。所谓力学相似是指原型流动与模型流动在对应物理量之间应互应平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例关系(指矢量与标量物理量的数值，如力的数值，时间与压力的数值等)。对一般的流体运动，力学相似应包括以下三个方面。 一、几何相似 几何相似又叫空间相似。即要求模型的边界形状与原型的边界形状相似，且对应的线性尺寸成相同的比例。 如果以下标1表示原型流动，下标2表示模型流动，则几何相似包括：
第四章 量纲分析和相似原理
第四章 相似原理与量纲分析 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。 §6—1 量纲分析 一、量纲、无量纲量 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。 是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。 ● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数 值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。 ● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲 基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。 基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。1） 1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量； 2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν； 3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ. ● 纯数 如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数22 1∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。 ● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。
相似原理和量纲分析习题
第三节流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件： 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题： 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 第四节近似模拟试验 完全相似和不完全相似 动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。 例如： 粘滞力相似：由得 重力相似：由得 由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。 一、物理方程量纲一致性原则 第五节量纲分析 1、量纲 量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。 如：
第六讲 相似原理与量纲分析(练习题)
5-1、想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。 5-2、判断：惯性力是所有外力的矢量和。你的回答：B A对； B错 5-3、想一想：牛顿相似准则说明了完全的什么相似。动力 5-4、算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为m/s。 2.5 5-5、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D.其他准则。 5-6、雷诺数的物理意义表示：C A. 粘滞力与重力之比； B.重力与惯性力之比； C.惯性力与粘滞力之比； D.压力与粘滞力之比。5-7、压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：C A.1／2； B.1／4； C.1／8； D.1／16。 5-9、进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：B A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D. 其它准则。 5-10、明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的: D A.1／2； B.1／4； C.1／8； D. 1／32。 5-11、长度比尺λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率N p为：B A.2.17kW； B.32.4kW； C.17.8kW； D.13.8kW。 5-12、设模型比尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？ C A.0.01； B.108； C.10； D.10000。 5-13、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则。 5-14、判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。你的回答：A A对；B错 5-15、想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？ 答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。 5-16、判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。你的回答：B A对；B错 5-17、想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？ 答案:马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 5-18、为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答案: 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形