特殊平行四边形：证明题

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板

初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．

求证：EB=EC． 5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；

平行四边形典型例题精编版

平行四边形典型例题 1 如图，□ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，则图中全等三角形有（） A ．2 对 B ．3对 C ．4 对 D ．5对 17如图，□ABCD中，∠ B、∠ C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于求证：BO=OE． 例3】如图，在ABCD中，AE⊥ BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ ADC=60°，BE=2，CF=1， 求△ DEC 的面积． 解】在中，，、 在Rt △ABE 中，， 在△ 中，

例 4】已知：如图， D 是等腰△ ABC 的底边 BC 上一点， DE//AC ， DF//AB 求证： DE+DF=A ．B ， ，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰 三角 形的判定和性质来证． 解】∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ∴． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ 说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是： 分为两段，证明这两段分别等于另两条线段． 于 ，求证： 分析】 分析】由于 把三条线段中较长的线段 例 5】如图， 已知： 中， 相交于 点， 于 ，

解】因为四边形是平行四边形，所以，又因为、交于点， 所以． 又因为， 所以 从而例6】已知：如图，AB//DC ，AC、BD交于O，且 AC=BD。 求证：OD=OC. 证明：过B 作交DC延长线于E，则 于是△≌△ ∵ ，， E

∵， ∴∴ 说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线 段 时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线B BE ，得到等腰△ BDE ，使问题得解． 例 7】如图， □ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E 、F ， 例 8】如图所示， □ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H ， 证明：四边形 EFGH 是矩形。 例 9】如图所示，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，过顶点 C ，作 BD 的垂线与∠ BAD 的平分线相交于点 E ，交 BD 于 G ，证明： AC=CE 。 求证：四边形 AFCE 是菱形． 解：略。 置交错而 A 由 AC 平移到 E

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答 案 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题 1、（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC于点E，F、求证：AE=CF、（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I、求证：EI=FG、考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）、分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF、（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得 A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得 △A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG、解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF， ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，

∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，， ∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG、点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用、 2、在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F、若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论： PD+PE+PF=A B、请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC 内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明、考点：平行四边形的性质、专题：探究型、分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以 FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证， FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=A B、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=A B、证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点， ∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF， ∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，

中考数学四边形经典证明题含答案

1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．

19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，

初二数学平行四边形压轴：几何证明题

1 / 1 初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D A D E F C B

(完整版)平行四边形典型证明题(已分类).docx

平行四边形证明题 1. 在□ ABCD中，∠ BAD的平分线 AE 交 DC于 E，若∠ DAE＝25o，求□ABCD各角度数 .D E C A B 2.如图，把一张长方形 ABCD的纸片沿 EF 折叠后，ED与 BC的交点为 G，点 D、C 分别落在 D′、 C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠ AEG度数． 3.如图在□ABCD 中， E，F 为 BD 上的点， BE=DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明. 4.如图，在□ABCD 中， E、 F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE= ∠ BCF． （1）求证： AE=CF ．（ 2）求证： AE ∥CF 5.如图，□ABCD 中， AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E， CF 平分∠ BCD 交 AD 于点 F， 求证：四边形AECF 是平行四边形.

6.如图，点 D 、E、 F 分别是△ ABC 各边中点 . （1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形 . （2）若 AB=AC=10 ， BC=12 ，求四边形 ADEF 的周长和面积 . 7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△ CFE． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。 8. 如图，一张矩形纸片ABCD ，其中 AD＝ 8cm，AB＝ 6cm，先沿对角线BD 对折，点 C 落在点 C′的位置， BC′交 AD 于 点G.(1)求证： AG＝ C′G． (2) 求△ BDG的面积 9.如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O.若 AO=3 ，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。

平行四边形证明练习题汇编

平行四边形证明练习题 一．解答题 1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF． 2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF． 4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF． 5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论． 6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．

7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF． 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？ 9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF． 10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形． 12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC； （2）△DEC是等边三角形． 13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；

平行四边形经典证明题例题讲解

1 / 1 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形 ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ， ， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D C A B E F A D C B

连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A= ∠（度），则20 + = ∠x B，x C2 = ∠． 根据四边形内角和定理得，360 60 2 ) 20 (= + + + +x x x． 解得，70 = x． ∴? = ∠70 A，? = ∠90 B，? = ∠140 C． 4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE == ，，∥． AC AB CD ∥ DCA BAC∠ = ∠ B D A C CA ∠=∠= ， ABC △CDA △ 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = BD AB CD ∥ CDB ABD∠ = ∠ ABC CDA ∠=∠ ADB CBD∠ = ∠ AD BC ABCD 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = A D C B A D C B 1 / 1

特殊的平行四边形的证明

特殊的平行四边形的证明 --矩形(复习课)教学设计 知识清单 一．矩形的性质： 四个角相等（都是90。） 对角线相等 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二．矩形的判定： 1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” 2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形” 3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形” 练习题： 1、下列性质中，矩形具备而一般平行四边形不具备的是( ) A.内角和为360° B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角相等 2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落 在AD边的F点上，求DF和AE的值。

5、在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD 6、（变式一）在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，求证：DF=BC 7、（变式二）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE =OF； (2)若CE =12，CF =5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 8、如图所示，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．当t= 时，四边形APQD也为矩形.

平行四边形分类证明

四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形： 判定：（1）两组对边分别平行的四边形（2）两组对边分别相等的四边形（3）一组对边平行且相等的四边形（4）对角线互相平分的四边形（5）两组对角分别相等的四边形 性质：两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点 二、矩形： 判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形（2）有三个内角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形 性质：四个角都是直角两条对角线相等 三、菱形： 判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形 性质：四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角 四、正方形： 判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形（2）有一组邻边相等的矩形（3）有一个内角是直角的菱形 性质：四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等，并且互相垂直每条对角线平分一组对角 五、其他定理 中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、平行四边形证明题 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。（1）求证：BE=DF （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，判断四边形MENF的形状 2、如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于点B、D。求证：四边形ABCD是平行四边形 3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。（1）求证：△ABE≌△CDF （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD。求证：EF=AD

北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦

北师大版九年级上学期 第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦 1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. ， ^ 2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． @ | （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)， B A O D ; C E 图2 C B O D 图1 [ A E 图1 图2 图3

第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第 (2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =1 2 ，求22BE DG 的值． ： ； 3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． ？ 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值． { 4.已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ， A B C D E F 图甲 图乙 F E D C B A F E D C B A 图丙

平行四边形常见证明题(经典)

1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 2.如图，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝，那么四边形EFCD 的周长是( ) 3.两直角边不等的两个全等的直角三角形能 拼成平行四边形的个数( ) 4.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( ) 个个个个 5.如图，已知□ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形. 6.以下结论正确的是( ) A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B.一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形 7．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 8．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 9．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 10．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（） （2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（） （5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（） 1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗请说明理由．

初二数学平行四边形压轴几何证明题

初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、 GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与 D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE ?DG ； ⑵若∠B ?60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的 结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长 AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交 于点F. （1）求证：△ABE ≌△DFE （2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由. 8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ． （1）求证：AE ＝DF ； （2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由． 9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形； （2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明． 10.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC. A B E F G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D C A D E F C B A B C D E F E A F C D B A C E F

完整版九年级上册-特殊的平行四边形知识点

九年级上册-特殊的平行四边形知识点总结 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、表示：字母按顺序书写。 3、性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等；③对角线：互相平分 4、判定：①以定义证明：两组对边平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形。 2、性质：①边：对边平行且相等（具有平行四边形的一切性质）； ②角：四个角相等，都是直角； ③对角线：相等，互相平分。 3、判定：①以定义证明：有一个角是直角的平行四边形； ②有三个角是90°的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形。 三、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：①边：四条边相等； ②角：对角相等（具有平行四边形的一切性质）； ③对角线：互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 ④菱形的面积等于对角线乘积的一半。 3、判定：①以定义证明：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； ②四条边都相等的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四，正方形的性质-具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 1，定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2，性质：①边：对边平行，四边相等； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 3，判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形． ④对角线垂直的矩形是正方形； 五，直角三角形斜边中线的性质与直角三角形的判定 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②判定：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

特殊平行四边形：证明题

基础篇 特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、 CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 5如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E

6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD △沿CA方向平移得到A C D ''' △．（1）证明A AD CC B ''' △≌△； （2）若30 ACB ∠=°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D''是菱形，并请说明理由． 7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56 AB AC == ，．点D作DE AC ∥交BC的延长线于点E． （1）求BDE △的周长； （2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ =． 8．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形． 9、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB ∠=90BC ,?的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE (1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字) 10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． A Q D E B P C O C B A D A'C' （第19 D'

平行四边形证明典型题

平行四边形证明题 1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。 2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60?，E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求：EF 的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD 的周长。 4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ，AC 为邻边作平行四边形ACED ， DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。 5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60?，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。 _B _ C _ A _ B _ A _ B _ E

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。 7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E ，若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与 边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 _ A _ B _B _ C _B _ F _ B _ C _ F

平行四边形及特殊的平行四边形证明习题

平行四边形及特殊的平行四边形 1．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ； （2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长． 2. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接 AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ， 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ 3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上 任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； B A C D F M 第1题图 E 第2题图 A D F C E G B A D

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长. 4. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合）， 连结 AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =； （2）A ∠在什么围变化时，四边形 ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么围变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1 4 DG DA =，并说明 理由 5. 如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB = ，BC =对角线AC BD ，相 交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． A B C D F E M

初三数学-平行四边形经典例题讲解(3套)

初三数学 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B D C A B E F

连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长 解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍， 求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠． 根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ． AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B A D C B

平行四边形的证明题

平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF 的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．

8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分．