3.示范教案(2.1 对数与对数运算 第3课时)
第3课时指数与指数幂的运算(3)
导入新课
思路1.
同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.
思路2.
同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？
②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?
③你能给上述思想起个名字吗?
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?
活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:
问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.
问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.
问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.
问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.
问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.
讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而
1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.
②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.
第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.
从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,
即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定
是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<52
<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.
充分表明5
2
是一个实数.
③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断5
2
是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.
⑤无理数指数幂的意义:
一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.
也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题
（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?
（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?
活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.
对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了. 讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱.
（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s 都是无理数). ②(a r )s =a rs (a>0,r,s 都是无理数). ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r 是无理数).
（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈R ). ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈R ). 应用示例
思路1
例1利用函数计算器计算.（精确到0.001） （1）0.32.1
;（2）3.14-3
;（3）3.14
3;（4）3
3
.
活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数
值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按
,即可求得它的值； 对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号
键,再按3,最后按
即可;
对于(3),先按底数3.1,再按
键,再按34,最后按
即可;
对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也
可按
或
键,使用键上面的功能去运算.
学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.14
3
≈2.336;（4）3
3
≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.
例2求值或化简. (1)3
224
ab b
a -(a>0,b>0);
(2)(4
1)2
1
-2
13321)
()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);
(3)246347625---+-.
活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解：(1)3
2
24
ab b
a -=2224
b a -
(a 31b 32)2
1=a -2
ba 61b 3
1=a
6
11-
b 3
4=
6
11
34a
b .
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.
(2)(4
1)
2
1-2
133
2
3
1)
()1.0()
4(---b a ab =2
2
321
1044?a 23a 23-b 23-b 23
=254a 0b 0=254.
点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)
246347625---+-
=2
22)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2
=0.
点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.
例3已知x=2
1
(5n 1
-5n 1
-),n ∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n
1与5n
1-具
有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.
x 2
=41(5n 1
-5n 1
-)2=4
1(5n 2
-2·50+5n 2
-)
=4
1(5n 2
+2+5n 2
--4) =4
1
(5n 1
+5n 1
-)2-1. 这时应看到
1+x 2
=1+41(n 1-5n 1-)2=4
1(5n 1+5n 1
-)2,
这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.
解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2
=1+41(5n 1-5n 1-)2=4
1(5n 1+5n 1
-)n ,
所以(x+2x 1+)n
=［21(5n 1
-5n 1
-)+21
1)55(4
1n n -+］n
=［21(5n 1-5n 1-)+2
1(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1
)n
=5.
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
思路2 例1计算:(1)1054
32)(0625.08
33416
--+++π;
(2)1253
2+(21)-2+34331-(27
1)3
1
-;
(3)(-2x 4
1y
3
1-)(3x 21y 3
2)；
(4)(x 2
1
-y 21)÷(x 4
1-y 4
1).
活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)1054
32)(0625.08
33416
--+++π =(425)21
+(827)31
+(0.062 5)41
+1-2
1
=(25)2×21+(23)31
3?+(0.5)41
4?+2
1 =
25+23+0.5+2
1 =5;
(2)1253
2
+(21)-2+3433
1
-(27
1)3
1
-
=(53)3
2+(2-1)-2
+(73)31-(3-3
)3
1-
=5
32
3?+2
-2×(-1)
+7
3
13?
-3
)
3
1(3-?-
=25+4+7-3=33; (3)(-2x 4
1y 3
1-)(3x 2
1y 3
2
)=(-2×3)(x 4
1x 2
1·y
3
1-
y 3
2)
=3
2312
1416+-+?-y
x
=-6x 43y 3
1
=34
36y x -;
(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 4
1) =(x 4
1+y 4
1)(x 4
1-y 4
1)÷(x 4
1-y 4
1) =x 4
1
+y 41.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.
例2化简下列各式: (1)
3
23
2223
23
222-
----
---+--
++y
x
y x y
x
y x ;
(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］. 活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2
与x 3
2的关系可知x 2=(x 32
)3
,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=
3
23
2223
23
222--------+--
++y
x
y x y
x
y x
=])())(()[()()(2
323
23
22322323
23
22
32-
---
-
-
-
-
++-+-y y x x y y
x x
=3
43
23
43
43
23
4)
()(-
-
-
---
---+-y xy x
y xy x
=xy
xy xy 3
3
22)
(2-=--
; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］
=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =)
)(1()1)((1
444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1. 点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 2
3=(a 21)3
还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 2
1a 2
1-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公
式的能力.
知能训练
课本P 59习题2.1A 组 3.
利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2
32
1-)(1+2
16
1-
)(1+2
8
1-
)(1+2
4
1-
)(1+2
2
1-
)的结果是( )
A.21(1-2321-)-1
B.(1-2321
-)-1 C.1-232
1
- D.2
1(1-2321
-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2
32
1
-)(1-2
32
1-
)=1-2
16
1-
,所以原式的分子分母同乘以(1-2
32
1-
),
依次类推,所以
32
12
12
12
1)
21)(21(----+-=
32
112
121----=2
1
(1-2321
-)-1.
答案：A
2.计算(297)0.5+0.1-2
+(227
10)32
--3π0+9-0.5+490.5×2-4.
解：原式=(925)21
+100+(6427)32
-3+4921
×161=53+100+169-3+31+16
7
=100.
3.计算1212--+
-+a a a a (a≥1).
解：原式=|11|11)11()11(2
2
--++-=--++-a a a a (a≥1).
本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.
4.设a>0,x=2
1
(a n 1
-a n 1
-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.
分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到
解：1+x 2
=1+41(a n 1-a n 1-)2=4
1(a n 1+a n 1
-)2.
这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,
将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2
=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1
-)2.
所以(x+2x 1+)n
=［21(a n 1
-a n 1
-)+4
1(a n 1
+a n 1
-)2］n
=［21(a n 1
-a n 1
-)+2
1
(a n 1
+a n 1-)］n =a.
答案：a 拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂3
2的意义.
活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5
2
的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取
它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算3
2的过剩近似值和不足近似值,利用逼
近思想,“逼出”3
2
的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.
解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.
我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用2作底数,
3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:
21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为3
2
.
即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<3
2<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.
也就是说3
2
是一个实数,3
2
=3.321 997 …也可以这样解释:
当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,3
2的近似值从大于3
2的方向逼近3
2； 当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32
的方向逼近3
2
.
所以3
2
就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂
21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即3
2
≈3.321 997.
课堂小结
(1)无理指数幂的意义.
一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈R ). ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈R ).
(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业
课本P 60习题2.1 B 组 2.
设计感想
无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本
堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.
2.2.1对数与对数运算(第一课时)
2.2.1对数与对数运算（第一课时） 1、2－3 ＝18 化为对数式为( ) A ．log 182＝－3 B ．log 18 (－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝1 8 2、在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a<2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．2
对数与对数运算(第二课时) 教学设计 1
《§2.2.1 对数与对数运算（第二课时）》教学设计 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= ();n m n mn m a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的 关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a +=由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论） 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log a a a M M N N =- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 证明： （1）令,m n M a N a ==
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是20XX 年的2倍？ ()x %81+=2?x =? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对 数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． b N N a a b =?=log 例如：1642= ? 216log 4=； 100102 =?2100log 10=； 242 1= ?2 12log 4= ； 01.0102 =-?201.0log 10-=． 探究：1。是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ） 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ； ∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10 =a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式 如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．
对数与对数运算第一课时教案
对数与对数运算第一课时教案
课题:2.2.1对数与对数运算 教学目标： （一）知识目标 （1）理解对数的概念； （2）了解自然对数和常用对数； （3）掌握对数式与指数式的互化； （4）对数的基本性质. （二）能力目标 （1）能用对数解决生活中的实际问题； （2）培养学生应用数学的能力、归纳能力. （三）情感目标 （1）激发学生学习数学的热情； （2）认识事物的相互联系和相互转化． 教学重点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化. 教学难点：对数概念的理解． 教学方法：讲解法，探究法，讨论法等． 教学准备(教具)：彩色粉笔. 课型：新授课. 教学过程 （一）引入课题 在2.1.2节例8中我们得到一个关系式13 1.01x y=?，其中x表示的是经过的年数，y表示的是那年的人口总数.我们可以看到利用这个关系式可以算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问哪一年的人口总数能达到18亿、20亿、30亿呢？ 上述问题实际上就是从18 1.01 13 x =， 20 1.01 13 x =， 30 1.01 13 x =，…中分别求出x，（即 已知底数和幂的值，求指数）那么x的值会是多少呢？是否有那么一种运算用底数和幂值来表示指数呢? 为了回答这个问题我们今天一起来学习本节课的新内容——对数与对数运算.
（二）讲授新课 1、对数定义 一般地，如果x a N = (01a a >≠且)，那么x 就叫做以a 为底N 的对数，记作 log a x N =， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式. 从上述定义要知道对数的记法为：log a N ； 读作：以a 为底N 的对数. 例如：4 2log 16=，读作2是以4为底16的对数(或 以4为底16的对数是2). 41 log 22 =，读作12 是以4为底2的对数(或以4为底2的对数是12 ). 1.01 18log 13 x =，读作x 是以1.01为底1813 的对数(或以1.01 为底1813 的对数是x ). 12 5log a =，读作5是以 1 2为底a 的对数（或以12 为底a 的对数是5）. 1 4log 81 b =，读作4是以b 为底1 81的对数（或以b 为底 1 81 的对数是4）. 2、两种特殊的对数 常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把10log N 记作lg N ． 自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数叫自然对数，并把log N e 记作ln N ． 3、对数与指数间的关系 从某种意义上来说，对数就是一种记号，用底和幂表示对应的指数的记号，也就是指数式x a N =的另一种等价表示形式.即当01a a >≠且
教案对数的运算法则
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
2018年必修一 《对数与对数运算》第二课时参考教案
2.2.1对数与对数运算 共三课时 教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第二课时 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下． 生：m n m n a a a+ ?= (m,n∈Z)；()m n mn a a = (m,n∈Z)；()n n n ab a b =? (n∈Z)， 师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书） （1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即 log a （MN）=log a M+log a N． （请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．） 师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． 师：（板书）设log a M=p，log a N=q，由对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所以 M·N=a p·a q=a p+q， 所以log a （M·N）=p+q=log a M+log a N． 即log a （MN）=log a M+log a N． 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
《对数与对数运算(第一课时)》教学设计
教案：（作：数应3班向世威） 《对数与对数运算（第一课时）》教学设计 所用教材：数学必修（一） 目次：人民出版社，2007年1月,第2版第4次印刷 1教材分析 1.1内容与内容解析 《对数函数》是普通高中数学人教A版必修1第二章对数函数内容的第一课时，本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数的图像性质作准备。对数概念是在指数概念的基础上定义的，是继研究指数函数之后的另一种重要基本函数，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。 1.2地位与作用解析 通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 2学情分析 学生在前面的课程中已学习了函数的基本概念、图像及其基本性质，在第二章又进一步学习了指数函数及其运算、图像和性质，特别是指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 3教学目标 1.能初步判别具体函数是否为对数函数，了解对数的概念并能用语言刻画，以及对数与指数的关系；通过观察、分析掌握指数式与对数式的互化；
2．（经历观察、分析、猜想、验证、证明、概括等数学活动），通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过探究理解对数的性质。领悟从（）的思想方法 3.感知对数的重要性，从“发现”中体验成功，进一步提高学习和探索的兴趣。同时培养严谨的思维品质和探究意识； 4教学重难点 重点：对数函数概念的形成和初步应用，指数式与对数式的互化 难点：对数概念的理解，对数性质的理解 5教法学法 以引导发现法为主，结合直观教学法和讲授法，引导学生学会观察分析、思考探究、合作交流，提高学生分析、解决问题的能力。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。 6教学媒体 多媒体，课件，黑板 7教学过程 环节（一）创设情境，引入课题 活动1 【教师】引例（3分钟） 1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺?
对数与对数的运算第一第二课时讲课教案
对数与对数的运算第一第二课时
第二课时对数的运算 【选题明细表】 知识点、方法 题号 易中 对数运算性质的应用1、7 5、6、10 换底公式的应用2、3 8 附加条件的对数式求值问题 4 9 基础达标 1.(2012年温州市六校协作体高一期中)若10a=5,10b=2,则a+b等于(C) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:∵a=lg 5,b=lg 2, ∴a+b=lg 5+lg 2=lg 10=1,故选C. 2.(2012年昆明一中高一期中)若lg 2=a,lg 3=b,则log23等于(B) (A)(B)(C)a+b (D)a-b 解析:log23==,故选B. 3.设log34·log48·log8m=log416,则m的值为(B) (A)(B)9 (C)18 (D)27 解析:由题意得··=log416=log442=2, ∴=2, 即lg m=2lg 3=lg 9. ∴m=9,选B. 4.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg)2的值等于(A)
(A)2 (B)(C)4 (D) 解析:由根与系数的关系, 得lg a+lg b=2,lg a·lg b=, ∴(lg)2=(lg a-lg b)2 =(lg a+lg b)2-4lg a·lg b =22-4× =2.故选A. 5.(2013偃师高中高一月考)定义新运算“&”与“*”:x&y=x y-1,x*y=log(x-1)y,则函数 f(x)=是(A) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数 解析:因为f(x)====(x≠0),所以函数f(x)=是奇函数.故选A. 6.(2013长春十一中高一期中)已知2x=3,log4=y,则x+2y等于(A) (A) 3 (B)8 (C)4 (D)log48 解析:∵2x=3,∴x=log23. 又log4=y, ∴x+2y=log23+2log4 =log23+2(log48-log43) =log23+2 =log23+3-log23=3.故选A.
高中数学对数教学设计
篇一：高中数学对数与对数运算教案 《对数与对数运算》 教案 xx大学数学与统计学院 xxx 一、教学目标 1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能； 2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力； 3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。 二、教学理念 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 三、教法学法分析 1、教法分析 新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。 四、教材分析 本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的相互转化及其条件。难点：（1）对数概念的理解； （2）对数运算性质的理解；（3）换底公式的应用。 六、课时安排：1个课时七、教学过程 （一）创设情境，引入课题 问题：我们能从关系y?13?1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿??”，该如何解决？ 抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。 （二）讲授新课 1．对数的定义 x 一般地，如果a?n(a?0,且a?1),那么数x叫做以a为底n的对数，记
对数及其运算的练习题(附答案)
姓名_______ § 对数与对数运算 一、课前准备 1,。对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。） 由于N a b =>0故lo g a N 中N 必须大于0。 2.对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a 1，b>0,M > 0， N > 0 ，则:（1）log ()a MN = ； （2）n m m n b a = log （3）log a M N = ；（4） log n a M = . （5） b a b a =log 换底公式log a b = . （6） b a b a =log （7）b a b a n n log 1log = 考点一： 对数定义的应用 】 例1：求下列各式中的x 的值； （1）23log 27=x ； （2）32log 2-=x ； （3）91 27log =x （4）162 1log =x 例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2 log -x （2）22) x ) 1(log +-（x （3）2 1)-x ) 1(log （+x 例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1）3log 3 =x （2）6log 64 -=x （3）9 132-= （4）1641=x ）（ | 考点二 对数的运算性质 1.定义在R 上的函数f(x ）满足f(x)=???>---≤-) 0(),2()1(log ) 0(),4(2x x f x f x x ，则f(3)的值为__________ 2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 3 4 4932lg 21+- （2） 8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x:y 的值 · 4.计算： （1）)log log log 5 825 41252++（)log log log 8 1254 252 5++（ （2） 3 4 7 3 1 59725log log log log ??+) 5353( 2log --+ （3）求0.32 52log ?? 的值 （4）：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56. 随堂练习：
人教B版数学高一版必修1课后导练3.2.1对数及其运算第1课时对数概念及常用对数
课后导练 基础达标 12.3=8写成对数式为( ) A.log 28=3 B.log 82=3 C.log 38=2 D.log 32=8 答案：A 2.log 2 8 1=-3写成指数式为( ) A.2-3=81 B.3-2=81 C.( 81)-3=2 D.(-3)2=81 答案：A 3.已知4x =6 1,则x 等于( ) A.4 B.-4 C.log 4 61 D.log 614 答案：C 4.设5lgx =25,则x 的值等于( ) A.10 B.±10 C.100 D.±100 解析：5lgx =52,∴lgx=2.∴x=100. 答案：C 5.lg10+lg100+lg1000等于( ) A.10 B.100 C.1000 D.6 答案：D 6.若f(10x )=x,则f(3)的值为( ) A.log 310 B.lg3 C.103 D.310 解析：令10x =3, ∴x=log 103=lg3. 答案：B 7.log 333等于( ) A.3 B.3 C.33 D.33 解析：令log 333=x, ∴(3)x =33=(3)3. ∴x=3. 答案：A 8.对数式log (a-2)(5-a)=b 中,实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 解析：由?? ???≠->->-,12,02,05a a a 得2 答案：C 9.log x (2-1)=-1,则x=______. 解析：x -1=2-1,即x 1=2-1. ∴x=121 -=2+1. 答案：2+1 10.23log 32+=________. 解析：23log 32+=23×23log 2=8×3=24. 答案：24 综合运用 11.下列各式中值为零的是( ) A.log a a B.log a b-log b a C.log a (log b b) D.log a (log a a 2) 答案：C 12.下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( ) A.100=1与lg1=0 B.2731 -=31与log 2731=31 - C.log 39=2与921 =3 D.log 55=1与51=5 解析：对于C,log 39=2→32=9;921 =3→log 93=21. ∴选C. 答案：C 13.已知f(x)=2x ,则f(log 25)=________. 答案：5 14.求值:(1)lg0.01; (2)log 3 19. 解析：(1)令lg0.01=x,∴10x =0.01, 即10x =10-2.∴x=-2. ∴lg0.01=-2. (2)令log 3 19=x, ∴(31 )x =9,即3-x =32. 对数与对数运算的教案 《对数与对数运算》教案 授课教师：马吉艳课时：一个课时授课对象：高中一年级学生一．设计思想 本节课是数学必修1第二章基本初等函数（I）2.2.1对数与对数运算的内容，它是研究学习后续知识对数函数与性质的必备基础知识。通过与指数式的比较得出对数的定义与性质，让学生学会指数与对数的互化并能进行一些简单的 对数式求值。通过指数运算性质，根据对数定义，采用逆向思维对对数的乘法运算进行推导，从对数的积运算的推导过程中，用类似的方法得到其他运算性质。在学生基本掌握这些性质后，通过练习与引导推导出换底公式。运用观察、操作来领悟规律，能够使学生充分了解学习的方法和技巧，在交流中突破难点，打破传统教学的死记硬背，增强学生学习兴趣。 二．教学目标 1.知识与技能 （1）理解对数的概念，了解指数与对数的关系；（2）理解和掌握对数的性质，记住几个重要的公式； （3）能灵活运用对数运算性质和换底公式进行计算。 2.过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质。 3.情感、态度、价值观 （1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳的能力； （2）通过对数运算性质的学习，培养学生举一反三、严谨的思维态度； （3）在学习过程中，让学生树立探究、创新的意识，培养分析问题、解决问题的能力。三．课程类型 新授课 四．教学重点与难点 （1）重点：对数式与指数式的互化以及对数的运算性质。 （2）难点：对数运算性质的推导与运用。五．教学方法 讲授法、讨论法、类比分析与发现。 六．教学过程 活动一 创设情景引入新知 教师活动学生活动教案设计说明复习引入： 1.老师带领学生复 习指数的定义。 2.复习2.1.2例题8 的解答方法，提问 “如果反过来求哪 一年的人口数可以 达到18亿，20亿， 30亿……”该怎样解 答呢？ 3.根据学生的回答， 老师口述：非常好， 我们要求x，其实就 是知道了底数和幂 的值，反过来求指 数。这就是我们今天 要学习的内容之一 对数。 4.老师讲解对数的 概念并板书： 一般地，如果 1.学生回答根指 数、分数指数幂、 有理数指数幂的 定义及表达式。 2.学生在草稿本 上写下计算表达 式分析，回答： 知道了某一个年 头的人口总数y， 实际就是要求x, 根据指数的定 义，可以求1.01 的几次方等于y， 即指数x。 3.学生记忆与理 解对数的定义。 4.学生回答：理 解了。 现代教育 心理学认为任 何新知识的学 习、新发现的创 造都得以现有 的认知水平和 经验为基础。因 此，设计旧知识 的复习是有必 要的，通过已学 知识，引导学生 运用所学探索 新问题的解决 方法，让学生有 一个清晰的思 路，这不仅巩固 了所学的知识， 也让学生学以 致用，更有利于 新课的开展。 课题： 2.2.1 对数与对数运算 科目：数学教学对象：高一年级学生课时：第一课时 提供者：赵晓云单位：阳泉一中 一、教学内容分析 让学生在实际背景中认识对数概念，既是本节的重点又是难点。要通过适当的素材创设情境，使学生认识到引入对数的必要性，从而调动学生学习对数的积极性。 根据底数、指数与幂之间的关系，从已知底数和幂如何求指数入手，引导学生借助指数函数的图像，分析问题中幂指数的存在性，从而引出对数的概念。 通过对指数式与对数式中各字母进行对比分析，引导学生认识对数与指数的相互联系，利用指数式与对数式的互化，帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数运算中的作用。 二、教学目标 1、知识技能 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系。 2、过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数的定义和性质；由易到难。 3、情感、态度、价值观 通过对数式与指数式的互化，培养学生分析、类比、归纳的能力；在学习过程中，培养学生探究的意识；培养学生了解事物间的联系，培养学生用已有知识解决未知问题的能力。 三、学习者特征分析 通过平时的观察发现，高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，能够从课本中学习并总节所学知识点，但有部分学生只看不动笔，所以第一课时主要以书本内容为主。 四、教学策略选择与设计 利用多媒体：学生喜欢自己上网，并喜欢去了解未知的东西，所以提前布置任务，让学生阅读课本68页的阅读材料，并上网查找有关对数的介绍，了解对数的重要性。 采用“学案导学”的教学方法：高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，所以学生完全可以学懂课本的有关知识，所以，以问题与练习的形式制成学案，让学生自学课本62页——63页后完成，达到进一步理解对数概念，并体会转化思想在对数运算中的目的。 小组讨论：对数恒等式的得出，即较难的对数求解问题，让学生讨论得出，培养学生合作学习的能力。 五、教学重点及难点 教学重点：指数式与对数式的互相转化，对数性质的推导。 教学难点：对数概念以及对数符号的理解,对数性质的 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 这些式子，都是已知底数和幂的值，求指数，而且我们不能根据熟悉的数据解出来。要解决这个问题，就要用到我们这节课将要 思考问题一：截止到1999年底，我国 人口约13亿,如果今后能将人口平均增长 率控制在1%,那么经过20年后我国人口数 最多为多少亿？ 让学生在实际背 景中认识对数概念，通 过适当的素材创设情 境，使学生认识到引入 对数及其运算基础知识及例题 1、定义： 2、性质： ~ 3、对数的运算性质： 4、换底公式： 5、对数的其他运算性质 ! 6、常用对数和自然对数： 【典型例题】 类型一、对数的概念 例1.求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2 (1)log (1)x x +-． ； 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)1 3 log 273=-；(3)3x =；(4)3 5125=；(5)1 122-=；(6)2 193-?? = ??? . 类型三、利用对数恒等式化简求值 \ 例3．求值： 71log 5 7+ 类型四、积、商、幂的对数 例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式 \ 235 3 (1)log ; (2)log (); (3)log ; (4)log a a a a x y xy x x y z z 例5.已知18log 9,185b a ==，求36log 45． : 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 9 1log 81log 251log 32log 532 64??? . (2) 7 lg142lg lg 7lg183 -+- (3))36log 4 3 log 32(log log 42 1 22++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ — 对数及其运算练习题 一、选择题 1、 2 5)(log 5 a -（a ≠0）化简得结果是（ ） ~ 《对数及其运算》教学设计 【教学目标】 一、知识与能力： 1．理解对数的概念及对数的性质。 2．熟练的掌握对数式与指数式的相互转化。 二、过程和方法： 1．由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求对数式和指数式之间的关系。 2．培养学生自主、合作、探究的能力，通过讲练结合法与多媒体辅助教学法向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 三、情感态度与价值观： 1．培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 2．体会事物之间互相转化的辨证思想。 【教学重点、难点】 1.重点：对数的概念及对数式与指数式的相互转化。 2.难点：对数概念的理解。 【学情分析】 由于前面几堂课我们学习了指数函数的相关性质，今天的内容通过相关的引导与练习，可以以找规律的形式带动学生的积极性，掌握本堂课的知识。 【教学手段】 多媒体教学辅助法 【教学时数】 一课时 【教学过程】 一、发散思维，导入新课 1、提出问题： 2000年我国国民经济生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。 假设经过x年，国民经济生产总值是2000年的2倍，依题意，有 2.8 +, 1(= %) a a x2 x. 即2 .1= 082 指数x取何值时满足这个等式呢？ 2、对数起源： 约翰·纳皮尔John Napier（1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。 年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。 他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe （第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirificilogarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。 说明：通过介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性。激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神。 二、激发兴趣，自主学习 1．对数的概念: §2.7.2 对数的运算性质 教学目标 （一） 教学知识点 1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点 对数运算性质的应用. 教学难点 化简,求值技巧. 教学方法 启发引导法 教学过程. 一、 复习回顾 上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： l o g b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >） 本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质 由对数的定义可得：log 10a = l o g 1a a = （0a >且1a ≠） 把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数 形式。 把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠） 通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。 例如： log 2 2 2log a a a a == （0a >且1a ≠） 2 . 对数的运算性质 接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。 指数的运算性质 p q p q a a a +?= 在上式中 设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a += 将指数式转化为对数式可得： l o g a p M = l o g a q N = l o g a p q M N += ∴ l o g l o g l o g a a a M N M N += （0M > 0N > 0a >且1a ≠） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。 请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？ log log log a a a M M N N -= 证明如下：∵ l o g l o g l o g l o g a a a a M M N N N N = +- l o g ()l o g a a M N N N =?- l o g l o g a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘， 即 1212 l o g l o g l o g l o g a a a N a n N N N N N N +++= 若 12N N N N M ==== 则上式可化为 l o g l o g n a a n M M = n N +∈ 若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立？ 下证 l o g l o g n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 证明：设 l o g a M p = 则有 p M a = ∴ n np M a = ∴ log n a M np = 即 l o g l o g n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈） 对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。 例如：3222log 8log 23log 23===对数与对数运算的教案
《对数与对数运算》教学设计
对数及其运算基础知识及例题
《对数及其运算》教学设计
对数的运算性质(公开课教案)
- 对数及其运算的练习题.doc
- 高中数学对数及其运算精品教案教学设计
- 对数的运算-【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件-PPT
- 《对数及其运算》教学设计
- 人教B版数学高一版必修1课后导练3.2.1对数及其运算第3课时换底公式与自然对数
- 对数及其运算教案
- 人教B版数学高一版必修1课后导练3.2.1对数及其运算第1课时对数概念及常用对数
- 对数与对数运算第一课时(公开课精品课件).
- 3.2.1对数及其运算(两课时)
- 高一(人教A版)第二章数学课件：2.2.1对数与对数运算(第1课时对数)
- 对数与对数运算第一课时教案
- 《对数与对数运算(第一课时)》教学设计
- 对数及其运算的练习题(附答案)
- 对数及其运算教学设计
- 人教版数学高一-A版必修1练习 第2课时 对数的运算
- 对数及其运算的练习题(附答案)
- 对数及其运算的练习题(附答案)
- 人教B版数学高一版必修1教案3.2.1对数及其运算第1课时对数概念及常用对数
- 对数与对数运算第一课时优秀教案
- 2.2.1对数与对数运算(一)教案