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第一学期第一次课

第一章 代数学的经典课题

引言(代数学的研究对象)

初等代数:研究数和它的四则运算。难题:1637,费马(Fermat)断言:关于,,x y z 的代数方程n n n x y z +=当2n >时无正整数解。1994年Princeton 大学Wiles 使用现代最深奥的数学理论得出解答。

高等代数:研究各种代数系统以及它们之间的相互关系。

代数系统的概念:一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。

代数系统的来历:1832,法国数学家Galois 发现一般五次以上一元高次代数方程没有公式解,所用方法为研究Galois 置换群的结构。即研究某个代数系统的结构。

线性代数:多元一次联立代数方程组以及用以解决这一问题的代数系统的相关理论。

§1 若干准备知识

1.1.1 复数的基本知识

a. 复数

每个复数z 具有z x iy =+的形状,其中x 和R y ∈,1-=i 是虚数单位;x 和y 分别称为z 的实部和虚部,分别记作z x Re =,z y Im =。 b. 复数的四则运算 复数的四则运算定义为:

11221212()()()()a ib a ib a a i b b +±+=±+±112212121221()()()()

a i

b a ib a a bb i a b a b ++=-++ 2

2

222112222221212211b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++, (22

0a b +≠). 注1:复数除法公式可由除法是乘法的逆运算推出 注2:复数除法公式也可如下推出:

21

1112

2222()1212211222222222

z z z z a a b b a b a b z z a ib i a ib a b a b =+-+==++++ c.共轭复数的几个运算性质

共轭:复数z x iy =+的共轭复数定义为:z x iy =-;

1212()z z z z ±=± 1212()z z z z ?=? 112

2()z z z z = 2222(Re )(Im )zz x y z z =+=+

1

Re ()2z z z =

+ 1

Im ()2z z z i

=

- d. 复平面

C 也可以看成平面2R ,我们称为复平面。

作映射:),(:2y x iy x z R C +=→,则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴;复平面一般称为z -平面,w -平面等。 e.复数的三角表示

向量 z = x + iy 的长度称为复数 z 的模, 记做 |z|. 显然

|z| =

22y x +

实轴的正向与向量 z 之间的夹角(z ≠ 0) 称为 z 的辐角, 记作 θ, 显然 θ 有无穷多个不同的值, 记作

Arg z = θ + 2k π , k ∈ Z

Arg z 中只有一个值 α 满足 - π < α ≤ π , 称它为 z 的主辐角.记作arg z

对复数 z ( ≠ 0), 有

Re z = |z| cos (Arg z ), Im z = |z| sin (Arg z )

复数的三角表示定义为:||(cos sin )z z Argz i Argz =+; f. 用复数的三角表示做乘除法

利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法:设,αβ是两个非零复数

||(cos sin )i αα??=+, ||(c o s s i n

i

ββψψ=+ 则有

(,)

x y

||||[cos()sin()]

i αβαβ?ψψ?=+++

对除法,有

/||/||[cos()sin()]

i αβαβ?ψ?ψ=-+-

g. n 次单位根

cos sin i e i ???=+

表示模为1,辐角为?的复数。于是

()i i i e e e ?ψ?ψ+?=

给定正整数n ,考察下列n 个复数

222cos

sin k i n

k k e

i n n

π

ππ

=+ 其中0,1,2,,1k n =- . 这n 个复数就是以坐标原点O 为中心的单位圆的内接正n 边形的n 个顶点. 显然有

222cos sin cos 2sin 21n

n

k i n k k e i k i k n n π

ππππ????=+=+= ? ??

???

因此,上述n 个复数222cos

sin k i n

k k e i n n

π

ππ

=+恰好是n 次代数方程10n x -=在复数系C 内的n 个根,称为n 次单位根

1.1.2 数域的定义

定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。

命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是

K a

a

K a a ∈=

∈-=10,。

进而∈?m Z > 0,

K m ∈+??++=111。

最后,∈?n m ,Z > 0,

K n m ∈,K n

m

n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念

定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做

B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,

记做B A \。

定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f )

,则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).

(,:a f a B A f →

如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像(集),记做)(A f ,即

{}A a a f A f ∈=|)()(。

若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得

b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。

设f 是从A 到B 的一个映射,如果存在B 到A 的映射g ,使得,B A fg id gf id ==,则称f 是一个可逆映射. 映射g 称作f 的逆映射. 容易看出,f 的逆映射是唯一的.

命题1.3 设f 是从A 到B 的一个映射,如果f 是双射,那么f 可逆,反之,如果f 可逆,那么f 是双射.

证明:先证明如果f 是双射,那么f 可逆.

因为f 是满射,所以任意b B ∈,必存在a A ∈,使得()f a b =。又因为f 是单射,所以满足这一条件的元素a A ∈是唯一确定的。因此,我们得到一个法则g ,使得对任意

b B ∈,按此法则对应于A 中唯一元素()g b a =,使得()f a b =。于是g 为B 到A 的一个

映射,且(())f g b b =,即B fg id =。现在对任意a A ∈,显然有(())g f a a =,即A gf id =,

故f 可逆,且1

f g -=。

再证明如果f 可逆,那么f 是双射.

现设12,a a A ∈,若12()()f a f a =,因为f 可逆,有

111122(())(())a f f a f f a a --===

这意味着当12,a a A ∈为不同元素时,1()f a ,2()f a 是B 中不同元素,即f 是单射。 设任意b B ∈,因为f 可逆,其逆映射g 存在,为B 到A 的一个映射。设()g b a A =∈,那么()(())()B f a f g b id b b ===。这表明f 是满射。 1.1.4 求和号与求积号

1.求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

∑==+++n

i i n a a a a 1

21 ,

∏==n

i i n a a a a 1

21 .

当然也可以写成

∑≤≤=+++n

i i

n a

a a a 121......,

∏≤≤=

n

i i

n a

a a a 121.......

2. 求和号的性质. 容易证明,

∑∑===n i n

i i i a a 1

1

λλ

∑∑∑===+=+n

i n i n

i i i i i

b a b a

1

1

1

)(

∑∑∑∑=====n i m j n

i ij m

j ij

a a

111

1

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

nm

n n m

m a a a a a a a a a ......

(2)

122221112

11 分别先按行和列求和,再求总和即可。

比如先按行求和,第i 行的和为1

n

i ij

j A a

==

∑,各行之和加起来为

1

1

1

11

()m m n m n

i

ij

ij

i i j i j A a a

=======∑∑∑∑∑。如果先按列求和,第j 列的和为1

m

j ij

i B a

==

∑,各列之和加

起来为

1

1

1

11

()n

n

m

n

m

j

ij

ij

j j i j i B a a

=======∑∑∑∑∑。两种方法都是对mn 个元素求和,当然相等,所以

∑∑∑∑=====n

i m j n

i ij m

j ij

a a

111

1

习题课:P .14–16 2.(2), 3, 5, 8, 12, 14.

习题3. 设S 是前n 个自然数所成集合,即{1,2,,}S n = 。f 是S 的一个变换。(2)如果f

满射,证明

f

必然是单射。

证:设有两个不同的数12,a a S ∈,若123()()f a f a a ==,那么f 不可能是满射,因为

像元素小于n 。

习题 5. 全体有理数集合记为

A

,全体偶数所成集合记为

B

,证明这两个集合存在双射

()2k f a k =。

证:先证明

f 是单射。按照映射规则,若有两个有理数

11m n 与22

m

n 满足1212(

)()m m f f k n n ==,那么必有1212k m m a n n ==,也就是说11m n 与22

m

n 相等。所以如果1212m m n n ≠

,必有1212

()()m m

f f n n ≠,即f 是单射。 再证明

f 是满射。很显然,每一斜行

121121k k k k -→→→→- 中元素1

k

与前1k -个斜行中所有的元素都不相等,所以()1

k f k ≥,这说明前k 个斜行中必有一个元素k a ,使得()k f a k =。

习题13. 设,K L 是两个数域,证明K L 仍为数域的充要条件是K L ?或L K ?。

证:充分性显然。

必要性:否则,必有,,,k K l L k L l K ∈∈??,显然,0?k l ≠。考虑元素kl ,因为K L

仍为数域,所以k l K L ∈ 。

若(

)1

k l K l k l K

k

∈?=∈,矛盾;类似有

()1

kl L k kl L l

∈?=

∈矛盾。 (1)(1)(1)(1)0f f f f =?=或(1)1f =;

(1)0f =,由上述可知()0()f n n Z =?∈()0(,)n

f m n Z m ?=?∈;

(1)1f =,由上述可知()()f n n n Z =?∈()(,)n n

f m n Z m m

?=

?∈。

习题14. 设A 全体有理数集合,f 是A 的一个变换。证明:对任意,a b A ∈,

()()()f a b f a f b +=+;()()()f ab f a f b =的充要条件是A f id =或f

为零变换。

证:充分性显然。 必要性:

(00)(0)(0)(0)0f f f f +=+?=; (1)(1)(1)(1)0f f f f =?=或(1)1f =;

(1)0f =,由上述可知()0()f n n Z =?∈()0(,)n

f m n Z m ?=?∈;

(1)1f =,由上述可知()()f n n n Z =?∈()(,)n n

f m n Z m m

?=

?∈。

习题15. 设f 是Q 到复数域的一个映射,且对任意,Q αβ∈,

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()()()f f f αβαβ+=+;()()()f f f αβαβ=,证明f

只能是下列三种映射之一:

(1)()0f Q αα=?∈ (2)(,f a a a b Q +=+?∈

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(3)

(,f a a a b Q +=-?∈

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证:

(00)(0)(0)(0)0f f f f +=+?=; (1)(1)(1)(1)0f f f f =?=或(1)1f =;

(1)0f =,由上述可知()0()f n n Z =?∈()0(,)n

f m n Z m

?=?∈;此时,

0(2)f f f f ===?,所以0f =。于是

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(()(0,f a f a f a bf a b Q +=+=+=?∈

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(1)1f =,由上述可知()()f n n n Z =?∈()(,)n n

f m n Z m m

?=

?∈。此时,

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===?,所以)2

f f f f

2(2)

f或f=。于是

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+=+=+=?∈

()()2)(2)(2),

f a f a a f b a b Q

课后习题:P.14–16 1.(1), 2.(3), 4.(2), 7, 13, 15.