高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形
专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
A 组 三年高考真题(2016~2014年)
1.(2015·福建,6)若sin α=-
5
13
,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512
1.解析 ∵sin α=-513,且α为第四象限角, ∴cos α=1213,∴tan α=sin αcos α=-5
12,故选D. 答案 D
2.(2014·大纲全国,2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( )
A.45
B.35
C.-35
D.-45
2.解析 记P (-4,3),则x =-4,y =3,r =|OP |=(-4)2+32=5, 故cos α=x r =-45=-4
5,故选D.
3.(2014·新课标全国Ⅰ,2)若tan α>0,则( )
A.sin α>0
B.cos α>0
C.sin 2α>0
D.cos 2α>0 3.解析 由tan α>0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号, 故sin 2α=2sin αcos α>0,故选C. 答案 C
4.(2016·新课标全国Ⅰ,14)已知θ是第四象限角,且sin ????θ+π4=35,则tan ????θ-π
4=________. 4.解析 由题意,得cos ????θ+π4=45,∴tan ????θ+π4=34.∴tan ????θ-π4=tan ????θ+π4-π
2=-1
tan ???
?θ+π4=-43. 答案 -4
3 5.(2016·四川,11)sin 750°=________.
5.解析 ∵sin θ=sin(k ·360°+θ),(k ∈Z ), ∴sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=12. 答案 1
2
6.(2015·四川,13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是________.
6.解析 ∵sin α+2cos α=0, ∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2, 又∵2sin αcos α-cos 2α=
2sin α·cos α-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan α-1tan 2α+1, ∴原式=2×(-2)-1
(-2)2+1
=-1. 答案 -1
B 组 两年模拟精选(2016~2015年)
1.(2016·济南一中高三期中)若点(4,a )在12
y x =图象上,则tan a
6π的值为( )
A.0
B.
3
3
C.1
D. 3 1.解析 ∵a =412=2, ∴tan a
6
π= 3. 答案 D
2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ????π2+α=-3
5,且α∈????π2,π,则sin ()π-2α=( ) A.2425 B.1225 C.-1225 D.-24
25 2.解析 由sin ????π2+α=-35得cos α=-35, 又α∈????π2,π, 则sin α=4
5
,
所以sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α=-24
25
. 答案 D
3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2,-1),则sin α-cos α
sin α+cos α=( )
A.3
B.13
C.-1
3
D.-3
3.解析 因为角α终边经过点P (2,-1),所以tan α=-12,sin α-cos αsin α+cos α=tan α-1
tan α+1=-1
2-1-1
2+1=-3,故选D.
4.(2015·乐山市调研)若点P 在-10π
3角的终边上,且P 的坐标为(-1,y ),则y 等于( )
A.-
33 B.3
3
C.- 3
D. 3 4.解析 -10π3=-4π+2π3,所以-10π3与2π3的终边相同,所以tan 2π
3=-3=-y ,则y = 3. 答案 D
5.(2015·石家庄一模)已知cos α=k ,k ∈R ,α∈????
π2,π,则sin(π+α)=( ) A.-1-k 2 B.1-k 2 C.-k D.±1-k 2
5.解析 因为α∈????
π2,π,所以sin α>0,则sin ()π+α=-sin α=-1-cos 2 α=-1-k 2,故选A. 答案 A 6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cos B ,3cos A -1)位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.解析 由题意得,A +B >π2即A >π
2
-B ,且A ∈????0,π3,π2-B >0, 故sin A >sin ????π2-B =cos B ,即sin A -cos B >0, 3cos A -1>3×12-1=1
2, 故点P 在第一象限. 答案 A 7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角,cos ????π2-α=4
5,则cos α=________. 7.解析 sin α=cos ????π2-α=45, 又α为第二象限角, 所以cos α=-1-sin 2α=-35. 答案 -3
5
8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中,将点A (3,1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ,那么点B 坐标为________,若直线OB 的倾斜角为α,则tan 2α的值为________.
8.解析 设点A (3,1)为角θ终边上一点,如图所示,|OA |=2,
由三角函数的定义可知:sin θ=12,cos θ=32,则θ=2k π+π
6(k ∈Z ), 则A (2cos θ,2sin θ),
设B (x ,y ),由已知得x =2cos ????θ+π2=2cos ????2k π+2π3=-1,y =2sin ????θ+π2=2sin ????2k π+23π=3,
所以B (-1,3),且tan α=-3,所以tan 2α=2tan α
1-tan 2α
= 3. 答案 (-1,3)
3
专题二 三角函数的图象与性质 A 组 三年高考真题(2016~2014年)
1.(2016·新课标全国Ⅰ,6)若将函数y =2sin ????2x +π6的图象向右平移1
4个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y =2sin ????2x +π4 B.y =2sin ????2x +π3 C.y =2sin ????2x -π4 D.y =2sin ?
???2x -π
3 1.解析 函数y =2sin ????2x +π6的周期为π,将函数y =2sin ????2x +π6的图象向右平移14个周期即π
4个单位,所得函数为y =2sin ???
?2????x -π4+π6=2sin ?
???2x -π
3,故选D. 答案 D 2.(2016·新课标全国卷Ⅱ,3)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y =2sin ????2x -π6 B.y =2sin ????2x -π3 C.y =2sin ????x +π6 D.y =2sin ???
?x +π3 2.解析 由题图可知,T =2????π3-????-π6=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×π3+φ=π2,所以φ=-π
6, 所以函数的解析式为y =2sin ?
???2x -π
6,故选A. 答案 A 3.(2016·四川,4)为了得到函数y =sin ????x +π
3的图象,只需把函数y =sin x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π
3个单位长度
B.向右平行移动π
3个单位长度
C.向上平行移动π
3
个单位长度
D.向下平行移动π
3
个单位长度
3.解析 由y =sin x 得到y =sin(x ±a )的图象,只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A
4.(2015·新课标全国Ⅰ,8)函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A.????k π-14,k π+34,k ∈Z B.????2k π-14,2k π+3
4,k ∈Z C.????k -14,k +34,k ∈Z D.?
???2k -14,2k +3
4,k ∈Z
4.解析 由图象知T 2=54-1
4
=1, ∴T =2.由选项知D 正确. 答案 D
5.(2015·山东,4)要得到函数y =sin ????4x -π
3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象( ) A .向左平移π
12
个单位
B .向右平移π
12
个单位
C .向左平移π
3
个单位
D .向右平移π
3
个单位
5.解析 ∵y =sin ????4x -π3=sin ???
?4????x -π
12, ∴要得到函数y =sin ????4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移π
12
个单位. 答案 B 6.(2014·天津,8)已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π
3
,则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π
3
C.π
D.2π 6.解析 由题意得函数f (x )=2sin ????ωx +π6(ω>0), 又曲线y =f (x )与直线y =1相邻交点距离的最小值是π
3, 由正弦函数的图象知,ωx +π6=π6和ωx +π6=5π6对应的x 的值相差π3, 即2π3ω=π
3,解得ω=2,
所以f (x )的最小正周期是T =
2π
ω
=π. 答案 C 7.(2014·陕西,2)函数f (x )=cos ?
???2x +π
4的最小正周期是( ) A.π
2
B.π
C.2π
D.4π 7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T =2π
2
=π. 答案 B
8.(2014·四川,3)为了得到函数y =sin(x +1)的图象,只需把函数y =sin x 的图象上所有的点( ) A .向左平行移动1个单位长度 B .向右平行移动1个单位长度 C .向左平行移动π个单位长度 D .向右平行移动π个单位长度 8.解析 由图象平移的规律“左加右减”,可知选A. 答案 A
9.(2014·浙江,4)为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数y =2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π
4个单位
9.解析 因为y =sin 3x +cos 3x =2cos ????3x -π4,所以将y =2cos 3x 的图象向右平移π
12个单位后可得到 y =2cos ?
???3x -π
4的图象.答案 A 10.(2014·安徽,7)若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是( )
A.π8
B.π4
C.3π8
D.3π
4 10.解析 方法一 f (x )=2sin ?
???2x +π
4, 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y =2sin ???
?2x +π
4-2φ,由该函数为偶函数
可知2φ-π4=k π+π2,k ∈Z , 即φ=k π2+3π8,k ∈Z , 所以φ的最小正值为3π
8
.
方法二 f (x )=2cos ?
???2x -π
4,将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为 y =2cos ????2x -π4-2φ,且该函数为偶函数, 故2φ+π4=k π,k ∈Z , 所以φ的最小正值为3π
8. 答案 C 11.(2014·新课标全国Ⅰ,7)在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ????2x +π
6, ④y =tan ?
???2x -π
4中,最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
11.解析 ①y =cos|2x |,最小正周期为π;②y =|cos x |,最小正周期为π;③y =cos ????2x +π
6,最小正周期为π; ④y =tan ????2x -π4,最小正周期为π
2
,所以最小正周期为π的所有函数为①②③,故选A. 答案 A 12.(2014·福建,7)将函数y =sin x 的图象向左平移π
2个单位,得到函数y =f (x )的图象,则下列说法正确的是( )
A.y =f (x )是奇函数
B.y =f (x )的周期为π
C.y =f (x )的图象关于直线x =π
2
对称 D.y =f (x )的图象关于点????-π2,0对称 12.解析 函数y =sin x 的图象向左平移π
2个单位后,得到函数f (x )=sin ????x +π2=cos x 的图象,f (x )=cos x 为偶函数,排除A ;f (x )=cos x 的周期为2π,排除B ;因为f ????π2=cos π2=0,所以f (x )=cos x 不关于直线x =π
2对称,排除C ;故选D. 答案 D
13.(2016·新课标全国Ⅲ,14)函数y =sin x -3cos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.
13.解析 y =sin x -3cos x =2sin ????x -π3,由y =2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π
3
14.(2015·天津,11)已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数 y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为________.
14.解析 f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ????ωx +π4, 由-π2+2k π≤ωx +π4≤π
2+2k π,k ∈Z , 得-3π4+2k π≤ωx ≤π4+2k π, 由题意f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,可知k =0,ω≥π
2
,
又函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称, 所以sin(ω2+π4)=1,ω2+π4=π2, 所以ω=π2. 答案 π2
15.(2015·陕西,14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
y =3sin ???
?π
6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为________.
15.解析 由题干图易得y min =k -3=2,则k =5, ∴y max =k +3=8. 答案 8
16.(2015·湖南,15)已知ω>0,在函数y =2sin ωx 与y =2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=________.
16.解析 由?
????y =2sin ωx ,y =2cos ωx ,知sin ωx =cos ωx , 即sin ωx -cos ωx =0, ∴2sin ????ωx -π
4=0, ∴ωx =π4+k π,x =1ω????π
4+k π(k ∈Z ), ∴两函数交点坐标为????1ω????π4+k π,2(k =0,2,4,…), 或????1ω????π
4+k π,-2(k =…,-3,-1,1,3,…) ∴最短距离为(2
2)2+
π2
ω2
=23, ∴π2ω2=4, ∴ω=π2. 答案 π
2
17.(2014·重庆,13)将函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标
不变,再向右平移π
6个单位长度得到y =sin x 的图象,则f ????π6=________. 17.解析 把函数y =sin x 的图象向左平移π
6个单位长度得到y =sin ????x +π6的图象, 再把函数y =sin ????x +π
6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变, 得到函数f (x )=sin ????12x +π6的图象, 所以f ????π6=sin ????12×π6+π6=sin π4=22. 答案 22
18.(2015·湖北,18)某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)????ω>0,|φ|<π
2在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:
ωx +φ 0 π
2 π 3π2 2π x
π3 5π6 A sin(ωx +φ)
5
-5
0 (1) (2)将y =f (x )图象上所有点向左平移π
6个单位长度,得到y =g (x )的图象,
求y =g (x )的图象离原点O 最近的对称中心.
18.解 (1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π
6
.数据补全如下表:
且函数表达式为f (x )=5sin ?
???2x -π6. (2)由(1)知f (x )=5sin ????2x -π6, 因此g (x )=5sin ???
?2????x +π6-π6=5sin ?
???2x +π
6. 因为y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +π6=k π,解得x =k π2-π
12
,k ∈Z .
即y =g (x )图象的对称中心为????k π2-π12,0,k ∈Z ,其中离原点O 最近的对称中心为????-π
12,0. 19.(2014·湖北,18)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系: f (t )=10-3cos π12t -sin π
12t ,t ∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.
19.解 (1)f (8)=10-3cos ????π12×8-sin ????π12×8=10-3cos 2π3-sin 2π3=10-3×????-12-32=10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )=10-2??
??
32
cos π12t +12sin π12t =10-2sin ????π12t +π3,又0≤t <24, 所以π3≤π12t +π3<7π3, -1≤sin ????π12t +π3≤1. 当t =2时,sin ????π12t +π3=1;当t =14时,sin ????π12t +π
3=-1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. 20.(2014·四川,17)已知函数f (x )=sin ????3x +π
4. (1)求f (x )的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f ????α3=45cos ????α+π
4cos 2α,求cos α-sin α的值. 20.解 (1)由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z , 得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π
3,k ∈Z .
所以函数f (x )的单调递增区间为????-π4+2k π3,π12+2k π
3,k ∈Z . (2)由已知,有sin ????α+π4=45cos ???
?α+π
4(cos 2α-sin 2α), 所以sin αcos π4+cos αsin π4=4
5????cos αcos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α), 即sin α+cos α=4
5
(cos α-sin α)2(sin α+cos α).
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=3π
4+2k π,k ∈Z ,此时cos α-sin α=- 2.
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=5
4
.
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52
. 综上所述,cos α-sin α=-2或cos α-sin α=-
52
. 21.(2014·福建,18)已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ).
(1)求f ????5π4的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 21.解 f (x )=2sin x cos x +2cos 2x =sin 2x +cos 2x +1=2sin ????2x +π
4+1. (1)f ????5π4=2sin 11π4+1=2sin π
4
+1=2. (2)T =2π2=π. 由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-3π8≤x ≤k π+π
8,k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为?
???k π-3π8,k π+π
8,k ∈Z . 22.(2014·北京,16)函数f (x )=3sin ????2x +π
6的部分图象如图所示. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值; (2)求f (x )在区间????-π2,-π
12上的最大值和最小值. 22.解 (1)f (x )的最小正周期为π,x 0=7π
6
,y 0=3.
(2)因为x ∈????-π2,-π12,所以2x +π6∈????-5π6,0. 于是当2x +π6=0,即x =-π
12时,f (x )取得最大值0; 当2x +π6=-π2,即x =-π
3
时,f (x )取得最小值-3.
B 组 两年模拟精选(2016~2015年)
1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )=cos ????x +π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象,则函数g (x )的解析式为( )
A.g (x )=cos ????2x +π3
B.g (x )=cos ????2x +π6
C.g (x )=cos ????x 2+π3
D.g (x )=cos ????x 2+π
6 1.解析 横坐标缩短为原来的1
2倍,纵坐标不变,则有g (x )=cos ????2x +π6. 答案 B 2.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )=cos ????ωx +φ-π2????ω>0,|φ|<π
2的部分图象如图所示, 则y =f ???
?x +π
6取得最小值时x 的集合为( )
A.?
???
??x |x =k π-π6,k ∈Z B.?
???
??x |x =k π-π3,k ∈Z C.?
???
??x |x =2k π-π6,k ∈Z D.?
???
??
x |x =2k π-π3,k ∈Z
2.解析 依题意得T =2π
ω=4????7π12-π3=π,ω=2,f ????π3=cos ????φ+π6=1, 又|φ|<π2,因此φ=-π
6
,所以f (x )=cos ????2x -2π3. 当f ????x +π6=cos ????2x -π3取得最小值时,2x -π3=2k π-π,k ∈Z ,即x =k π-π
3
,k ∈Z , 答案 B 3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位,所得到的函数图象关于y 轴对称,则φ的
一个可能取值为( )
A.3π4
B.π4
C.0
D.-π4
3.解析 函数f (x )=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位, 得g (x )=sin ????2????x +π8+φ=sin ????2x +π4+φ的图象, 又g (x )的函数图象关于y 轴对称,所以g (x )为偶函数, 所以π4+φ=k π+π2(k ∈Z ),即φ=k π+π
4(k ∈Z ),
当k =0时,φ=π
4
,故选B. 答案 B
4.(2015·黄冈模拟)当x =π
4时,函数f (x )=A sin(x +φ)(A >0)取得最小值,则函数y =f ????3π4-x 是( ) A.奇函数且图象关于点????π2,0对称 B.偶函数且图象关于点(π,0)对称 C.奇函数且图象关于直线x =π
2
对称 D.偶函数且图象关于点????π2,0对称 4.解析 当x =π4时,函数f (x )=A sin(x +φ)(A >0)取得最小值,即π4+φ=-π2+2k π,k ∈Z ,即φ=-3π
4+2k π,k ∈Z ,
所以f (x )=A sin ????x -3π4(A >0), 所以y =f (3π
4-x )=A sin ????3π4-x +3π4=-A cos x , 所以函数为偶函数且图象关于点????
π2,0对称,选D. 答案 D
5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )=sin(ωx +φ)????ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且其图象向右平移π
12个单位后得到的函数为奇函数,则函数f (x )的图象( )
A.关于点????π2,0对称
B.关于直线x =5π12对称
C.关于点????5π12,0对称
D.关于直线x =π
12对称 5.解析 f (x )=2sin ????π3-2x =2cos ????2x +π6, π+2k π≤2x +π
6≤2π+2k π,k ∈Z , 即
5π12+k π≤x ≤11π
12
+k π,k ∈Z . 答案 ????5π12+k π,11π12+k π(k ∈Z )
6.(2015·怀化市监测)函数y =2sin ????π3-2x 的单调增区间为________.
6.解析 由于函数f (x )=sin(ωx +φ)????ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π, 故2π
ω
=π,ω=2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y =sin ????2????x -π12+φ=sin ????2x -π6+φ,为奇函数, ∴-π6+φ=k π,∴φ=k π+π6,k ∈Z , ∴φ=π
6
,∴函数f (x )=sin ????2x +π6. 令2x +π6=k π,k ∈Z ,可得x =k π2-π
12,k ∈Z , 故函数的对称中心为????k π2-π12,0(k ∈Z ). 故点????
5π12,0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )=32sin ωx +3
2
cos ωx (ω>0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式;
(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移2
3个单位得到函数g (x )的图象,P ,Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图),
求∠OQP 的大小.
7.解 (1)f (x )=32sin ωx +32cos ωx =3????12sin ωx +3
2cos ωx =3????sin ωx cos π3+cos ωx sin π3=3sin ????ωx +π3. ∵T =4,ω>0,∴ω=2π4=π
2
. ∴f (x )=3sin ????π2x +π3. (2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )=3sin π2x .
∵P ,Q 分别为该图象的最高点和最低点, ∴P (1,3),Q (3,-3). ∴OP =2,PQ =4,OQ =12, ∴cos ∠OQP =OQ 2+PQ 2-OP 22OQ ·QP =3
2.
∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角, ∴∠OQP =π
6
.
专题三 三角恒等变换
A 组 三年高考真题(2016~2014年)
1.(2016·新课标全国Ⅲ,6)若tan θ=-1
3,则cos 2θ=( )
A.-45
B.-15
C.15
D.45
1.解析 tan θ=-13,则cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=45
. 答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅱ,11)函数f (x )=cos 2x +6cos ????
π2-x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7
2.解析 因为f (x )=cos 2x +6cos ????π2-x =1-2sin 2x +6sin x =-2????sin x -322
+11
2, 所以当sin x =1时函数的最大值为5,故选B. 答案 B
3.(2015·重庆,6)若tan α=13,tan(α+β)=1
2
,则tan β=( )
A.17
B.16
C.57
D.56
3.解析 tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α
=12-131+12×13
=1
7. 答案 A
4.(2016·浙江,11)已知2cos 2x +sin 2x =A sin(ωx +φ)+b (A >0),则A =________,b =________. 4.解析 ∵2cos 2x +sin 2x =cos 2x +1+sin 2x =2??
?
?22cos 2x +22sin 2x +1
=2sin ?
???2x +π
4+1=A sin(ωx +φ)+b (A >0), ∴A =2,b =1. 答案 2 1
5.(2016·山东,17)设f (x )=23sin(π-x )sin x -(sin x -cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间;
(2)把y =f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π
3个单位,得到
函数y =g (x )的图象,求g ????
π6的值.
5.解 (1)由f (x )=23sin(π-x )sin x -(sin x -cos x )2=23sin 2x -(1-2sin x cos x )
=3(1-cos 2x )+sin 2x -1=sin 2x -3cos 2x +3-1=2sin ?
???2x -π
3+3-1. 由2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2(k ∈Z ),得k π-π12≤x ≤k π+5π
12
(k ∈Z ).
所以f (x )的单调递增区间是????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z )????或????k π-π12,k π+5π
12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )=2sin ?
???2x -π
3+3-1, 把y =f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 得到y =2sin ???
?x -π
3+3-1的图象. 再把得到的图象向左平移π
3个单位,得到y =2sin x +3-1的图象,
即g (x )=2sin x +3-1. 所以g ????π6=2sin π
6
+3-1= 3. 6.(2016·北京,16)已知函数f (x )=2sin ωx cos ωx +cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值; (2)求f (x )的单调递增区间.
6.解 (1)f (x )=2sin ωx ·cos ωx +cos 2ωx =sin 2ωx +cos 2ωx
=2??
?
?22sin 2ωx +22cos 2ωx =2sin ????2ωx +π4 由ω>0,f (x )最小正周期为π得2π
2ω
=π, 解得ω=1.
(2)由(1)得f (x )=2sin ????2x +π4,令-π2+2k π≤2x +π4≤π2+2k π,k ∈Z , 解得-3π8+k π≤x ≤π
8+k π,k ∈Z , 即f (x )的单调递增区间为????-3π8+k π,π
8+k π(k ∈Z ). 7.(2015·广东,16)已知tan α=2.
(1)求tan ????α+π4的值; (2)求sin 2α
sin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值. 7.解 (1)tan ????α+π
4=tan α+tan
π
41-tan αtan
π4
=tan α+11-tan α=2+11-2
=-3. (2)sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1=2sin αcos α
sin 2α+sin αcos α-(2cos 2α-1)-1 =
2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-2cos 2α=2tan αtan 2α+tan α-2=2×2
22+2-2
=1.
8.(2015·北京,15)已知函数f (x )=sin x -23sin 2x
2
.
(1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间?
???0,2π
3上的最小值. 8.解 (1)因为f (x )=sin x +3cos x - 3.=2sin ????x +π
3- 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时,所以π3≤x +π3≤π. 当x +π3=π,即x =2π
3时,f (x )取得最小值.
所以f (x )在区间????0,2π3上的最小值为f ????2π
3=- 3. 9.(2015·福建,21)已知函数f (x )=103sin x 2cos x 2+10cos 2x
2.
(1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
6个单位长度,再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象,
且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式;
②证明:存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0.
9.(1)解 因为f (x )=103sin x 2cos x 2+10cos 2x
2=53sin x +5cos x +5=10sin ????x +π6+5, 所以函数f (x )的最小正周期T =2π.
(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π
6个单位长度后得到y =10sin x +5的图象,再向下平移a
(a >0)个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象.
又已知函数g (x )的最大值为2,所以10+5-a =2,解得a =13. 所以g (x )=10sin x -8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得10sin x 0-8>0,即sin x 0>45. 由45<32知,存在0<α0<π3,使得sin α0=4
5
.
由正弦函数的性质可知,当x ∈(α0,π-α0)时,均有sin x >4
5. 因为y =sin x 的周期为2π,
所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)(k ∈Z )时,均有sin x >4
5.
因为对任意的整数k ,(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>π
3
>1,
所以对任意的正整数k ,都存在正整数x 0∈(2k π+α0,2k π+π-α0),使得sin x k >4
5.
亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0.
10.(2014·广东,16)已知函数f (x )=A sin ????x +π3,x ∈R ,且f ????5π12=322. (1)求A 的值; (2)若f (θ)-f (-θ)=3,θ∈????0,π2,求f ???
?π
6-θ. 10.解 (1)∵f (x )=A sin ????x +π3,且f ????5π12=322, ∴A sin ????5π12+π3=322?A sin 3π4=322
?A =3. (2)由(1)知f (x )=3sin ????x +π3, ∵f (θ)-f (-θ)=3, ∴3sin(θ+π
3
)-3sin ????-θ+π3=3, 展开得3????12sin θ+32cos θ-3????32cos θ-1
2sin θ=3, 化简得sin θ=33.
∵θ∈????0,π2,∴cos θ=6
3. ∴f ????π6-θ=3sin ?????
???π6-θ+π3=3sin ????π2-θ=3cos θ= 6. 11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A -B 2+4sin A sin =2+ 2.
(1)求角C 的大小; (2)已知b =4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值. 11.解 (1)由已知得2[1-cos(A -B )]+4sin A sin B =2+2, 化简得-2cos A cos B +2sin A sin B =2, 故cos(A +B )=-
22. 所以A +B =3π4,从而C =π4
. (2)因为S △ABC =12ab sin C , 由S △ABC =6,b =4,C =π
4
,得a =32,
由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得c =10.
B 组 两年模拟精选(2016~2015年)
1.(2016·江西九校联考)已知α∈????π,32π,cos α=-4
5,则tan ????π4-α等于( ) A.7 B.17 C.-1
7
D.-7
1.解析 ∵α∈????π,3π2,cos α=-45, ∴sin α=-35, ∴tan α=sin αcos α=3
4
, ∴tan ????π4-α=1-tan α1+tan α=17. 答案 B 2.(2016·洛阳统考)若α∈[0,2π),则满足1+sin 2α=sin α+cos α的α的取值范围是( ) A.????0,π
2 B.[]0,π
C.?
???0,3π4 D.????0,3π4∪???
?7π
4,2π 2.解析 由1+sin 2α=sin α+cos α得sin α+cos α=2sin ???
?α+π
4≥0, 又因为α∈[0,2π),所以α的取值范围为????0,3π4∪????7π
4,2π,故选D. 答案 D 3.(2016·河南六市联考)设a =12cos 2°-32sin 2°,b =2tan 14°
1-tan 214°,c =
1-cos 50°
2
,则有( ) A.a 3.解析 利用三角公式化简得a =12cos 2°-3 2sin 2°=cos(60°+2°)=cos 62°=sin 28°, b =tan 28°, c =sin 2 25°=sin 25°. 因为sin 25° 5 4 ,则sin 2α-cos 2α的值为( ) A.-18 B.-38 C.18 D.38 4.解析 sin 2α-cos 2α=-cos 2α=2sin 2α-1=-3 8 . 答案 B 5.(2015·烟台模拟)已知cos α=35,cos(α+β)=-5 13,α,β都是锐角,则cos β等于( ) A.-6365 B.-3365 C.3365 D.63 65 5.解析 ∵α,β是锐角,∴0<α+β<π,又cos(α+β)=-513<0,cos α=35, ∴π2<α+β<π, ∴sin(α+β)=1213,sin α=4 5 . 又cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=33 65. 答案 C 6.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0 6.解析 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2 α, 所以2cos α·(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12 . 若cos α=0,则α=k π+π 2,k ∈Z , 2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0; 若tan α=12,则tan 2α=2tan α1-tan 2 α=4 3. 综上所述,故选C. 答案 C 7.(2015·巴蜀中学一模)已知 sin αcos α1-cos 2α=12 ,tan(α-β)=1 2,则tan β=________. 7.解析 ∵sin αcos α1-cos 2α=sin αcos α2sin 2α=cos α2sin α=1 2, ∴tan α=1. ∵tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=12 ,∴tan β=13. 答案 1 3 8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |= 413 13 . (1)求cos(α-β)的值; (2)若0<α<π2,-π2<β<0且sin β=-4 5,求sin α的值. 8.解 (1)∵a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β), ∴|a -b |2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2-2cos(α-β), ∴ 1613=2-2cos(α-β),∴cos(α-β)=5 13 . (2)∵0<α<π2,-π2<β<0且sin β=-45,∴cos β=3 5且0<α-β<π. 又∵cos(α-β)=513,∴sin(α-β)=12 13 . ∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)·cos β+cos(α-β)·sin β=1213×35+513×? ????-45=16 65 . 专题四 解三角形 A 组 三年高考真题(2016~2014年) 1.(2016·新课标全国Ⅰ,4)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =5,c =2,cos A =2 3, 则b =( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 1.解析 由余弦定理,得5=b 2+22-2×b ×2×2 3 ,解得b =3????b =-13舍去,故选D.答案 D 2.(2016·山东,8)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A =( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 2.解析 在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∵b =c ,∴a 2=2b 2(1-cos A ),又∵a 2=2b 2(1-sin A ), ∴cos A =sin A ,∴tan A =1,∵A ∈(0,π),∴A =π 4 ,故选C.答案 C 3.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =2,c =23,cos A =3 2 ,且b A. 3 B.2 2 C.2 D. 3 3.解析 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得4=b 2+12-2×b ×23×3 2 ,即b 2-6b +8=0, ∴b =4或b =2,又b