a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2、对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b
x a
=-
.特别地，y 轴记作直线0=x . 3、顶点坐标：），（a
b a
c a b 4422
--
,
4、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
十、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系
1 、二次项系数a ：二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2、一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a -
<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
！
当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a -
>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 3、常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． %
总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1、公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+??
? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线
a
b x 2-=.
2、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
3、运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
2顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
.
3交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 十三、直线与抛物线的交点
1、y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
2、与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).
3、抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，
则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
"
5、 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2
y kx n
y ax bx c
=+??=++?的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
6、抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??
?
??-=--=-=-=44422
212
212
2121
十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1、关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2、关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++； —
3、关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4、关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5、关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯
上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十五、二次函数图象的平移
、
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2平移规律
在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字 “左加右减，上加下减”．
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 1.三点式。
（1）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 *
（2）已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 2.顶点式。
（1）已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 （1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 3.交点式。
（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
（2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2
1
a(x-2a)(x-b)的解析式。
4.定点式。
（1）在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222
5212-+-+-=a x a
x y 经过x 轴上一定点Q ，直
线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
（2）抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 （3） '
（4） 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
5.平移式。
（1）把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
（2）抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6.距离式。
（1）抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 7.对称轴式。
（1）抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4
3
OC ，
求此抛物线的解析式。 ，
8.对称式。
（1）平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
（2）求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
9.切点式。
（1）已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。
（2）直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
10.判别式式。
（1）已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
（2）已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
23、旋转
<
图形的旋转
知识点一：旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二：旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三：利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
>
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
中心对称
知识点一：中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二：作一个图形关于某点对称的图形
*
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。
知识点三：中心对称的性质
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四：中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
知识点五：关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
）
24 、圆
圆
圆
知识点一：圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二：圆的相关概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3）…
（4）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
垂直于弦的直径
知识点一; 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二；垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB 是弦，且CD⊥AB，
AM=BM
垂足为AC=BC
AD=BD
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
{
如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，
CD⊥AB
AM=BM AC=BC
AD=BD
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
C
M
A B
D
（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦也相等。
（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的
其余的各组量也相等。
（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、
弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
，
圆周角
知识点一： 圆周角定理
（1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
一半。
（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。 （3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为
“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二： 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 点、直线、圆和圆的位置关系 点和圆的位置关系 )
知识点一： 点与圆的位置关系
（1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
（2） 用数量关系表示：若设⊙O 的半径是r ，点P 到圆的距离OP=d ，则有：
点P 在圆外
d ＞r ；点p 在圆上 d=r ；点p 在圆内 d
＜r 。 知识点二 ：过已知点作圆
（1） 经过一个点的圆（如点A ）
以点A 外的任意一点（如点O ）为圆心，以OA 为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
（2） ； （3） 经过两点的圆（如点A 、B ）
以线段AB 的垂直平分线上的任意一点（如点O ）为圆心，以OA （或OB ）为半径作圆即可，如
（4） ① - ② 经过在同一条直线上的三个点不能作圆
③ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能
作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A 、B 、C 作圆，作法：连接AB 、BC （或AB 、AC
或BC 、AC ）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O ，以点O 为圆心，以OA （或OB 、OC
④
知识点三 （1）
（2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 知识点四 ：反证法
（1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到
原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。
（2） 反证法的一般步骤：
① 假设命题的结论不成立；
② 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论； ③ ! ④ 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。
直线和圆的位置关系
知识点一： 直线与圆的位置关系
（1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O 的半径是r ，直线l 与圆心0的距离为d ，则有：
直线l 和⊙O d ＜ r ；直线l 和⊙O 相切 d = r ；直线l 和⊙O 相离 ＞ r 。 知识点二 ：切线的判定和性质
（1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） , （4） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于
切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点三 ：切线长定理
（1） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线
长。
（2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。
（3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长
是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。
知识点四 ：三角形的内切圆和内心
(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
(3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 圆和圆的位置关系 —
知识点一 ：圆与圆的位置关系
（1） 圆与圆的位置关系有五种：
① 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；
② 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种； ③ 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。 （2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为d ，两圆的半径分别是r 1 r 2,且r 1 ＜ r 2，则有
两圆外离d ＞r
1+r 2 d=r 1+r 2 r 2-r 1＜d ＜r 1+r 2 两圆内切
两圆内含 d 1 正多边形和圆
知识点一 ：正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
￥ 正多边形与圆的关系非常密切：把圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，顺次连接各分 点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 ：正多边形的性质
（1） 正n 边形的半径和边心距把正多边形分成2n 个全等的直角三角形。 （2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形
的中心；当正n 边形的边数为偶数时，这个正n 边形也是中心对称图形，正n 边形的中心就是对称中心。
（3） 正n 边形的每一个内角等于n n ??-180)2(，中心角和外角相等，等于n
?
360。
弧长和扇形面积
知识点一 ：弧长公式l=180R
n π
在半径为R 的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR ，所以n °的圆心角所对的弧长
的计算公式l=360n ×2πR=180
R
n π。
知识点二 ：扇形面积公式
在半径为R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR 2，所以圆心角为n °的扇形
的面积为S 扇形=360
2
R n π。
比较扇形的弧长公式和面积公式发现：
S 扇形=lR lR R R n R n s 2
1
,21211803602==?=扇形所以ππ 知识点三： 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ，因
此圆锥的侧面积rl l r s ππ=??=221
圆锥侧。圆锥的全面积为
2
r rl s s s ππ+=+=底
圆锥侧圆锥全。 随机事件与概率
随机事件
知识点一: 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。 必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 知识点二 :事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 概率
知识点: 概率
一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记作P （A ）。
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其
中的m 种结果，那么事件A 发生的概率P （A ）=n m 。由m 和n 的含义可知0≤m ≤n ，因此0≤n
m
≤
1，因此 0≤P （A ）≤1.
当A 为必然事件时，P （A ）=1；当A 为不可能事件时，P （A ）=0. 用列举法求概率
知识点一: 用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其
中的m 种结果，那么事件A 发生的概率P （A ）=n
m
。
知识点二 :用列表发求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 知识点三: 用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
① 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
② 在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 用频率估计概率 知识点:
在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率n
m
稳定于某一个常数P ，那么事件A 发生的
频率P （A ）=p 。
