2015年北京市中考二模门头沟区数学试卷及答案

门头沟区2014~2015学年度初三二模试卷

数学

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个

．．是符合题意的．

1．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米．将2 500 000用科学记数法表示应为

A．25×105 B．2.5×106 C．2.5×107D．0.25×107

2．如果右图是某几何体的三视图，那么这个几何体是

A．圆柱B．正方体

C．球D．圆锥

3．如图，如果数轴上A，B两点表示的数互为相反数，那么点B表示的数为

A

B

03

A．2

B．－2 C．3 D．－3 4．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A B C D

5．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，

如果∠ADC=26o，那么∠AOB的度数为

A

．13o

B．26o

C．52oD．78o

6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形7．在下列运算中，正确的是

S （千米）

t （时）

O

8成绩（环）

甲乙

次

1

2

3

4

5

2

4

61077

988

9

6

8

108

30°D A

B

C 60°

A ．a 2·a 3=a 5

B ．(a 2)3=a 5

C ．a 6÷a 2=a 3

D ．a 5+a 5=2a 10 8．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下图所示： 设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为

x 甲、x 乙，射击成绩的方差依次为2

S 甲

、 2

S 乙

， 那么下列判断中正确的是 A ．x x =甲乙，22

S S =甲乙

B ．x x =甲乙， 22

>S S 甲乙

C ．x x =甲乙，22

D ．

9．一辆自行车在公路上行驶，中途发生了故障，停下修理一段时间后继续前进．已知行驶

路程S （千米）与所用时间t （时）的函数关系的图象 如图所示，那么自行车发生故障后继续前进的速度为

A ．20千米/时

B ．

35

3千米/时 C ．10千米/时 D ．50

3

千米/时

10．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC

的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度 的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ， 直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，那么能反 映S 与t 之间函数关系的大致图象是

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．在函数y 中，自变量x 的取值范围是 ． 12．在半径为1的圆中，120°的圆心角所对的弧长是 ． 13．分解因式：ax 2－9a = ．

14．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量

y x

O

M A

B C N

m

x

y O

A B

C

一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向建筑物AB 前进10m 到达

点D 处，又测得点 A 的仰角为60°，那么建筑物AB 的高度是 m ． 15．为了倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标准如下：

如果小明某次租赁自行车3小时，缴费14元，请判断小明该次租赁自行车所在地区的类别是

类（填“A 、B 、C ”中的一个）．

16．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方

向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，当点P 第2次碰到矩形 的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第 6次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；

当点P 第2015次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．已知：如图，C 为BE 上一点，点A 、D 分别在BE 两侧，

AB ∥ED ，AB =CE ，BC =ED ． 求证：AC =CD ．

18．计算：()0

1163tan 60()3

--π-?+

19．已知1m ，求222442

111

m m m m m m -+-+÷

+--的值．

20．已知关于x 的方程22

0mx x m

--

=（m ≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．

D

C

E

B

A

21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数4

y x

（x ＞0）的图象与一次函数y =kx －k 的图象交点为A （m ，2）． （1）求一次函数的表达式；

（2）设一次函数y =kx －k 的图象与y 轴交于点B ，如果P 是x 轴

上一点，且满足△P AB 的面积是4，请直接写出P 的坐标．

22．列方程或方程组解应用题：

2014年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，F 为AC 的中点，连接DF 并延长至E ，使得

EF =DF ，连接AE 和EC ．

（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形；

（2）如果DF

=，∠FCD =30°，∠AED =45°，

求DC 的长．

24．以下是根据某电脑专卖店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．

1～4月电脑销售总额统计图销售总额（万元）月份1月2月

3月4月

1～4月平板电脑销售额占当月销售总额的百分比统计图1月2月3月4月

月份

百分比O

O

23%15%18%17%

1～4月电脑销售总额统计图

销售总额（万元）

月份

1月2月3月4月1～4月平板电脑销售额占当月销售

总额的百分比统计图

1月2月3月4月月份百分比

O O 23%

15%

18%

17%

图1 图2

请根据图1、图2解答下列问题：

（1）来自该店财务部的数据报告表明，1～4月的电脑销售总额一共是290万元，请将图

1中的统计图补充完整；

（2）该店1月份平板电脑的销售额约为 万元（结果精确到0.1）；

（3）小明观察图2后认为，4月份平板电脑的销售额比3月份减少了，你同意他的看法

B

A E

F

C

D

y x

A

B

2

C

吗？请说明理由．

25．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作

BD ⊥AE 于D ．

（1）求证：∠DBA =∠ABC ； （2）如果BD =1，tan ∠BAD =1

2

，求⊙O 的半径．

26．阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果

3AF EF =，求CD

CG

的值． 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ． 请回答：

（1）AB 和EH 之间的数量关系是 ，CG 和EH 之间的数量关系是 ，

CD

CG

的值为 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果

2AB CD =，23BC BE =，求AF EF

的值． H

G F E

C

D

A

F

E

C

B A

D

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

x

y

O

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21

4

y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，

点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线 CD 的表达式；

（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之

间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象

G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．

28．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将

线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；

② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．

（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之

间的数量关系，并说明理由．

（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB

PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点

A 到BP 的距离．

D

A

B C

P

D

C A

B

图1 图2

29．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线

经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．

如下图，抛物线F 2都是抛物线F 1的过顶抛物线，设F 1的顶点为A ，F 2的对称轴分别 交F 1、F 2于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．

F 1

F 2

O （A ）

B

D

C x

y

F 1

F 2

O

A

B

C D

x y

图1 图2

（1）如图1，如果抛物线y =x

2

的过顶抛物线为y =ax 2+bx ，C （2，0），那么

① a = ，b = ．

② 如果顺次连接A 、B 、C 、D 四点，那么四边形ABCD 为（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形

（2）如图2，抛物线y =ax 2+c 的过顶抛物线为F 2，B （2，c －1）．

求四边形ABCD 的面积．

（3）如果抛物线2

127333

y x x =-+的过顶抛物线是F 2，四边形ABCD

的面积为

请直接写出点B 的坐标．

y

x

O

门头沟区2014~2015学年度初三二模评分参考

数 学

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．（本小题满分5分）

证明：∵ AB ∥ED ，

∴ ∠B =∠E ．………………………1分 在△ABC 和 △CED 中，

,,,AB CE B E BC ED =??

∠=∠??=?

∴ △ABC ≌△CED ．………………………………………………………4分 ∴ AC =CD ．…………………………………………………………………5分

18．（本小题满分5分）

解：原式

=13-+………………………………………………………4分

=4.………………………………………………………………………5分 19．（本小题满分5分）

解：原式()()()2

222

1111

m m m m m m --=+÷

++--…………………………………………1分 22

11

m m m -=

+

++…………………………………………………………2分 1

m

m =

+……………………………………………………………………3分 当1m =时，原式11m m ===-+………………………………5分

20．（本小题满分5分） （1）证明：∵ m ≠0，

D

C

E

B

A

∴ 22

0mx x m

--

=是关于x 的一元二次方程． ∵22

(1)4()m m

?=---，……………………………………………1分

=9＞0.

∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分

（2）解：由求根公式，得

x =

． ∴ 12x m =，21

x m =-.……………………………………………………4分

∵ 方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，

∴ 1m =-或1m =．………………………………………………………5分

21．（本小题满分5分）

解（1）∵ 点A （m ，2）在函数4

y x

=

（x ＞0

∴ 2m =4.

解得m =2 ……………………………1分 ∴ 点A 的坐标为（2，2）. …………2分

∵ 点A （2，2）在一次函数y =kx －k ∴ 2k －k =2. 解得k =2.

∴ 一次函数的解析式为y =2x －2.………………………………………3分

（2）点P 的坐标为（3，0）或（－1，0）. ………………………………5分 22．（本小题满分5分）

解：设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8)x -亿立方米．……1分

依题意，得 5.830.6x x -=+．…………………………………………2分

解得 1.3x = (3)

分 ∴ 5.8 5.8 1.3 4.5x -=-=． (4)

分 答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（本小题满分5分）

（1）证明：∵ F 为AC 的中点，

∴ AF =FC . ……………………………………………………………1分 又∵ EF =DF ，

∴ 四边形ADCE 为平行四边形. (2)

分

（2）解：如图，过点F 作FG ⊥DC 与G .

∵ 四边形ADCE 为平行四边形，

∴ AE ∥CD .

∴ ∠FDG =∠AED =45°，

在Rt △FDG 中，∠FGD =90°，

∠FDG =45°，DF =

G

B

A E F C

D

∵cos∠FDG=DG DF

，

∴DG=GF=cos

DF FDG

?∠

=cos45?=2. ………………………3分

在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，

∵tan∠FCG=FG GC

，

∴

2

tan tan30

FG

CG

FCG

===

∠?

…………………………………4分

∴DC=DG+GC

=2+………………………………………………5分

24．（本小题满分5分）

解：（1）补全条形统计图；…………………………………………………………2分（2）约为19.6万元．…………………………………………………………3分（3）不同意，理由如下：

3月份平板电脑的销售额是60×18%=10.8（万元），

4月份平板电脑的销售额是65×17%=11.05（万元）．

而10.8＜11.05，

因此4月份平板电脑的销售额比3月份的销售额增多了．……………5分

25．（本小题满分5分）

（1）证明：连接OA .（如图）

∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，

∴∠DAO=∠EDB=90°.

∴DB∥AO.

∴∠DBA=∠BAO. …………1分

又∵OA=OB，

∴∠ABC=∠BAO.

∴∠D BA=∠AB C. ………………………………………………2分（2）在Rt△ADB中，∠ADB=90°，

∵BD=1，tan∠BAD=1

2

，

∴AD=2，……………………………………………………………………3分由勾股定理得AB

∴cos∠DBA

=

又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°.

又∵∠DBA=∠ABC.

∴cos∠ABC = cos∠DBA

∴

5.

cos

AB

BC

ABC

===

∠

…………………………………………4分

∴⊙O的半径为5

.

2

…………………………………………………………5分

26．（本小题满分5分）

C

解：（1）AB =3EH ，CG =2EH ，

3

2

.………………………………………………3分 （2）如图，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H .

∴ EH ∥AB ∥CD ． ∵ EH ∥CD ，

∴ 23

CD BC EH BE ==，

∴ CD =2

3

EH ．

又∵

2AB

CD

=，∴ AB =2CD =43EH ． ∵ EH ∥AB ，∴ △ABF ∽△EHF ． ∴

4

433

AF AB EH EH EF EH ===．……………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．（本小题满分7分）

解：（1）∵ 抛物线2

1

4

y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）．

∴ 2

1440,42.

b c c ?-?++=???=?………………………………………………1分

解得 1,

22.

b c ?

=???=?

∴ 此抛物线的表达式为2

11

242

y x x =-+

+．………………………2分 （2）∵()2

2

1119214244

y x x x =-++=-

-+， ∴ C （1，

9

4

）．…………………………………………………………3分 ∵ 该抛物线的对称轴为直线x =1，B （0，2）， ∴ D （2，2）．……………………………………………………………4分 设直线CD 的表达式为y =kx +b ．

由题意得 9,

42 2.k b k b ?

+=???+=?

解得 1,45.2k b ?=-????=??

∴ 直线CD 的表达式为1

5

42

y x =-+

．………………………………5分 （3）0.5＜m ≤1.5．……………………………………………………………7分

28．（本小题满分7分）

H

F E C

B

A

D

解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分 ② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分

（2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，

∴ CD =CE ，∠DCE =90°．

∴ ∠CDE =∠CED =45°． 又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，

∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.

∴ AE =AD +DE . …………………………………………………………3分

又∵ ∠ACB =90°，

∴ ∠ACB －∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即 ∠ACD =∠BCE ．

又∵ AC =BC ，CD =CE ， ∴ △ACD ≌△BCE ．

∴ AD =BE ． (4)

分 ∵ CD =CE ，∠DCE =90°，CM ⊥DE ．

∴ DE =2CM ．..................................................................5分 ∴ AE =BE +2CM ． (6)

分

（3）点A 到BP

的距离为

．…………………………………………7分 29．（本小题满分8分）

解：（1）① a =1，b =2． (2)

分 ② D ．……………………………………………………………………3分 （2）∵ B （2，c －1），

∴ AC =2×2=4． (4)

分

∵ 当x =0，y = c ， ∴ A （0，c ）．

∵ F 1：y =ax 2+c ，B （2，c －1）． ∴ 设F 2：y =a (x －2)2+c －1． ∵ 点A （0，c ）在F 2上， ∴ 4a +c －1=c ，

∴ 1

4

a =．

∴ BD =(4a +c )－(c －1)=2．...................................................5分 ∴ S 四边形A B C D =4． (6)

分

（3）

（1，1），

（1-1）．………………………………………8分

说明：

若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

M

D A B C E