文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 相量法分析RLC串联电路

相量法分析RLC串联电路

*4.4.6相量法分析RLC 串联电路

正弦交流电用相量式表示后,正弦交流电路的分析和计算都可以用复数来进行,这时

直流电路中应用的分析方法和基本定律就可以全部应用到正弦交流电路之中,使解题更简

便、更快捷。

1.基尔霍夫定律阐明了电路中各电流、电压的约束关系,对任何电路都适用。在正弦交流电路中,所有的电流、电压都是同频率的正弦量,它们的瞬时值和对应的有效值相量关系

都遵从基尔霍夫定律。

基尔霍夫节点电流定律(KCL )指出:在任一时刻,电路中任一节点上电流的代数和为

零,即

∑=0

i

它对应的相量形式为

(4-52) ∑

=?0

I

上式即为KCL 的相量形式。它表明在正弦交流电路中,任一节点上各电流的相量的代数和等于零。

同理可得,KVL 应用于正弦交流电路在任何瞬时都成立,即 ∑=0

u 其对应的相量形式为

(4-53) 0=∑

?U

上式即为KVL 的相量形式。它表明:在正弦交流电路中,沿任一回路的各部分电压相量的代数和等于零。

2.用相量法分析RLC 串联电路

上节我们已学习了RLC 串联电路的分析和计算方法,本节,我们在建立电路相量模型的基础上,介绍用相量法分析和计算RLC 串联电路。

RLC 串联电路和它的相量模型及等效电路如图4-62所示。

图4-62RLC 串联电路及其相量模型

设正弦交流电压u = U Sin(ωt +φi ),其对应的电压相量为 / φu

电路中正弦电流为i= ISin(ωt+φi ),其对应的电流相量为

/φi 由三种基本元件的欧姆定律相量形式可知,电流在电阻R 上产生一个与电流同相位的

正弦电压:

U U =?22I I =??

?=I R U R

在电感L 上产生一个超前电流的电压:

在电容C 上产生一个滞后于电流的电压:

( 4-55) 抗的实部是电阻R ,虚部为电抗

Z 上不加

是二端网络端口的等效复阻抗,与直流电路中串联电阻的

效电相似。复阻抗也可以用极坐标形式来表示:

???==I

jX I L j U L L ω????=?=1I jX I c j U C C

ω 由KVL 的相量形式可得

C

L R U U U U ++=????? (4-54)

式(4-54)称为欧姆定律的相量形式。Z 称为复阻抗,即

??+=?+=???I X X j R I jX I jX I R C L )]([C L =I Z 可见,复阻抗是以复数jX R X X j R Z 形式出现的,单位是Ω。复阻C 串联电路中,Z C L +=?+=)(X=X L -X C 。复阻抗Z 虽然是复数,但它不代表正弦量,所以它不是相量,符号“·”。在RL 等阻的情况 (4-56) ;φ=φu -φi 是复阻抗的辐角,称为阻抗角,大小等于电压与电流的相位差。

在RLC 串联电路中,流过各元件的电流相等,一般以电流相量为参考相量作图。电阻压 、电抗电压

和总电压 构成电压三角形;电阻R 、电抗X 和阻抗|Z|构成阻抗角形,如图4-63(a)、(b)所示,它们是相似三角形。

上式中 称为复阻抗的模,简称阻抗,其大小等于电压有效值与电流有效值之

比 电三

图表-63RLC 串联电路相量图 阻抗三角形和功率三角形

电流相量 的共轭复数为 我们把二端网络的电压相量

与 电流相量的共轭复数 乘积 ,称为复功率,用 表示,单位是VA 。则 有 即 (4-57) φφφφ∠=?∠=∠==Z U U U Z i u u ?∠?I I I i I U Z =RX U ?X U ??U i φ∠I ?=∠I ?=???I I =i I φ∠u U U φ=???i

I φ∠I U S ~jQ

P j S S UI I U I U S i u u +=+=∠=?∠=?∠?∠==??)sin (cos ~φφφφφφφφ

∠==?S Q P I U +=?j S ~

由此可见,复功率的实部为二端网络中所有电阻元件所消耗的有功功率的总和,虚部Q 为二端网络中所有贮能元件的无功功率的总和。复功的模S 为视在功率,其大小 的辐角φ,称为功率因素,大小等于阻抗角、即电压路的有功功

源电压 ,电阻R=30Ω,电感(1)元件端电压U R 、U L 、U C ;(3)电路的有功功φ;(4)作出相量图。

S ~

;复功率 22Q P UI S +== 与电流的相位差。由P 、Q 和 S 组成的功率三角形与电压三角形和阻抗三角形都相似。 复功率的引入,可把功率的计算变复数的代数运算,可十分方便地求出电P 、无功功率S 和功率因素

。 φcos tV U 314sin 2220= [例4-22]在RLC 串联电路中,电L=445mH ,电容C=32μF 。试求:

电路的复阻抗Z ;(2)电路中的电流,各P 、无功功率Q ,视在功率S 和功率因素cos 率解:由 可知: =220/00 V ω=314rad/s

tV U 314sin 2220=?(1) X L =ωL=314×0.445≈140Ω

U Z=R+0Ω≈××==?100103231411X 6

c C ωj(X L -X C )=30+j(140-100)=30+j40=50/53.13Ω

(2) 由 ,

A U I 00

13.534.4220?∠===?? Z 013.5350∠0∠得

由 , A t i )13.53314sin(24.40?=V

I R U R 13.5313213.534.430?∠=?∠×==?00?

得 由 , V

t u R )13.53314sin(2132?=??0V

I jX U L L 00087.3661613.534.490140∠=?∠×∠==

由 ,

3) 由 V t u )87.36314sin(26160+=V I jX U C C 13.14344013.534.490100?∠=?∠×?∠=?=L 000??

( ,

得 4) 相量图如图4-64所示。

V )13.1430?4

.7748.58013.5396813.534.40220~000j I U S ==∠=∠×∠==??t u C 314sin(2440= 6.013.53cos cos ,968var,4.774,8.5800=====φVA S Q W P (

图4-64(例4-22)相量图

阅读材料一 交流电路的实际器件

法对电路进行定量的分析和计算,研究电路的规律。建立电路模型,是响,特别在频率较高时,这种影响将会很大。下面我们分别加以讨论。

越靠近中心处,电流密度越小;越靠近表面,电流密度越大,这种现象电的电阻也不同,而对交流电的电阻称为有效电阻。有效电阻随频率

件,如图4-65(a)所示。在直流电路中,由于纯电感对直流电相当于短路,因此把它等效为一个电阻元件,如图为4-65(b)在高频交流电路中,线圈的电阻和感抗都有很变化:电阻除因趋肤效应要增大外,还会因线圈相近线圈间同方向电流所产生的磁场影,产生邻近效应而使导线中的电流分布更加不均匀,使有效电阻增大更为显著。此外,高频条件下,线圈的线匝之间存在的分布电容也不可忽略,其等效电路如图4-65(c)示。

而产生热损耗。这种热损

在前面的讨论中,我们对电路的三种基本元件电阻R、电感L 和电容C 都是采用模型化的理想元件处理的。用理想的电路模型,近似地反映实际电路元件,只考虑它们本身具有的单一特性,忽略其次要因素,我们就能给每一种理想电路元件的性能赋予精确的数学定义,运用数学方电路理论分析的常用方法。

必须指出,理想元件只是实际电路部件在一定条件下的近似替代,并非实际器件身。实际器件的性能往往很复杂,常受到多种因素的影响。在交流电路中,实际器件的性能会受到频率的影1. 导体的电阻

我们知道,导体对直流电和交流电都具有电阻。当直流电通过导体时,导体横截面上各处的电流分布是均匀的,即电流密度处处相等。但交流电通过导体的时,其横截面上电流分布则不均匀:称为趋肤效应。

由于趋肤效应,电流大部分集中在导体表面,而中心处的电流很小,这就相当于减小了导体的有效横截面积,也就增大了电阻。由于趋肤效应随着频率的增大而显著,因此同一导体对不同频率的交流的增大而增大。对于低频交流电,趋肤效应并不显著,可近似认为有效电阻与欧姆电阻相等。但在高频电路中,电流几乎都集中在导线表面一层通过,导线中心部分电流近似等于零。此时导线的有效电阻比欧姆电阻大许多倍。为了有效地利用导电材料,在一些高频电路中常采用空心导线或表面镀银。

2. 电感线圈

一个电阻不可忽略的实际电感线圈,在低频交流电路中,常把它等效为电阻与纯电感串联的元可大响在所

图4-65实际电感线圈在不同频率下的等效电路

3. 电容器

理想电容器两极间的电介质是完全绝缘的,两极间没有电流通过。实际的电容器两极间的电介质不可能做到完全绝缘,在电压作用下,总有些漏电流通过,从而产生功率损耗。此外,在交变电压作用下,电容器两极板间的电介质出会交变极化

耗将随频率的增高而随之增大。因此,一个实际电容器可用一个电阻R 与电容的并联电路等效代替,如图4-66所示。漏电流可认为从电阻R 上通过。

综上所述,我们所学的理想元件只是在一定条件下近似地替代实际器件。在实际应用中,我们还须综合考虑各种因素的影响,通过实践,对由电路模型推导出来的规律加以修正,不断完善,使其更好地材料二、常用电光源

致发光源。

电光源,例如白炽灯和在它基础上发展起来的卤钨加热到白炽状态(2211~3000℃)而发出可见光的。

、玻璃壳体等构成,如图4-66所示。

、白色半透明和彩色三种。为了抑制钨丝的形状由最初的直丝改形,后来又改为发光效率更高的双螺旋形。白炽灯的形状也由一般的梨形,以满足不同的照明要求。

炽灯由于结构简单、价格低廉和使用方便,目前仍在广泛使用。但不久的将来,它将逐渐被节能、高效的新型光源所代替,从而完成它的历史使命。

⑵卤钨灯

卤钨灯是在白炽灯的基础上充入微量卤素(碘、溴等)或卤化物后,利用卤钨循环原理来提高发光效率和使用寿命的,其结构如图4-67所示。

来 与实践吻合,更好地反映客观规律。

阅读 常用电光源按其发光原理可分为三大类,即热辐射光源、气体光源和场1. 热辐射光源

热辐射光源是人类最早发明的灯,都是利用电流通过灯丝,使灯丝(1) 白炽灯的构造和工作原理

普通白炽灯主要由灯丝、灯头灯丝是灯泡的发光体,由熔点高达

3410,且蒸发率很低的金属钨丝绕

制而成。钨丝要安放在铜丝做成的

挂钩上,挂钩固定在玻璃芯柱的柱

头上,并与镍制成的电极相连,然

后通过与玻璃芯柱膨胀系数相近的

铜铁镍合金丝,再由两根铜丝分别

与灯头的两个接触点连接。 图4-66白炽灯

灯头是白炽灯的电连接和机械连接部分,通过灯头,灯泡才能跟灯座连接并接通电源。灯头有卡口灯头和螺旋灯头两种。

玻璃壳体常用钠-钙硅酸盐类玻璃制成,有透明丝在高温下蒸发,以延长灯泡寿命并提高发光效率,在40W 以上的白灯泡壳内充有一定压强的氨气、氦气或氩气等惰性气体。40W 及以下功率较小的灯泡则采用真空。

当灯泡加以额定电压后,灯丝中即有电流通过,由于电流的热效应,使灯丝达到白炽状态而发出光线。所以白炽灯的电能绝大部分转化为热能和看不见的辐射能,只有约10%的电能转化为可见光,所以白炽灯发光效率很低。

自1879年英国发明家爱迪生完成对白炽灯的应用研究后,一百多年以来,为了提高白炽灯的发光效率和寿命,人们一直在不断探索改进和创新。例如灯进为单螺旋发展为蘑菇状的反射型等。目前,一种双灯丝白炽灯也已开发投产。这种灯泡装有两条不同功率的灯丝,即可分别单独使用,也可并联同时使用,白

图4-67 卤钨灯

卤钨灯的工作原理是:当灯管工作时灯丝温度很高,钨从灯丝蒸发后向泡壳扩散,一般白炽灯会逐渐发黑就是这个原因;同时卤素分子被灯丝加热分解,变为原子态卤素,也扩散扩散到温度较低的壳壁附近,准备再次参与另一次循环。如此循环,卤丝送回灯丝上,防止钨沉积在泡壳上,这样既可提高钨丝的使用寿2倍),不用附件,使用方便等优点,适用于照明要2. 气 本世纪三十年代初,人们发现在汞蒸汽和惰性气体弧光放电过程中可辐射紫外线,而当光。根据这一原理,人们制造日光灯、汞灯、钠灯器组成,日光灯电路如图4-68所示。

当交流电的方

向改趋于伸直,与固定的静触片闭合。这时两极间电,使启辉器短路而不能正常工作。

到泡壳处,与钨发生化学反应,产生挥发性的卤化钨(即碘化钨或溴化钨)。当卤化钨分子扩散到灯丝附近时,在灯丝高温作用下又分解为钨和卤素,其中钨沉积回到钨丝上,而卤素又重新素可把蒸发出来的钨命,又提高了发光率。

卤钨灯具有体积小(只有相同功率白炽灯体积的1/10),发光效率高(是白炽灯的5倍),光色好,寿命长(是白炽灯的求较高的场合。

体放电电光源

荧光粉受到紫外线激发时,能发出可见等气体放电光源,又称为冷光源。

⑴日光灯的构造及工作原理

日光灯主要由灯管、镇流器和启辉日光灯管是一根圆形直玻璃管。

在灯管的两端装灯头,灯头上固定着

两根金属插脚,用于插入灯座,连接

电源用。插脚在管内与金属电极相连,

电极上有作阴极用的钨制灯丝,其上

涂有碳酸钡、碳酸锶和碳酸钙组成的

涂层,供发射电子用。变时,两端灯丝相互交替承担阴

极的作用。由于日光灯启动时,有电 图4-68 日光灯电路

流通过阴极,使灯丝预热以利发射电子,所以这种日光灯称为热阴极日光灯,又称预热式日光灯。灯管壁涂有一层荧光粉薄膜。灯管封闭前放入少量水银,然后抽成真空,并充入少量惰性气体氩气。

启浑器又叫启动器,俗称跳泡,由氖气泡、电容器和罩壳构成。充有氛气的小玻璃泡里装有两个电极,一个固定不动的静触片和一个用双金属片制成的倒U 形动触片。双金属片的热膨胀系数不同,里层金属片受热膨胀,压降为零,辉光放电停止。片刻,双金属片冷却而恢复原状,动、静触片重新断开。所以启辉器相当于一个自动开关。与氖泡并联的纸介小电容器的作用是减弱触点断开时产生的电火花,消除灯管启辉时对附近收音机、电视机等无线电设备的干扰。此外,该电容器与镇流器组成振荡电路,以延迟阴极预热时间,有利于日光灯的启动。纸质小电容器较易被击穿

镇流器是一个铁心电感线圈,装在铁皮壳内,再用沥青固好,绝缘而成。线圈有两个出线头,用来接线。20W 以下的镇流器还增加一个辅助线圈以改善启动性能,因而有四个出线头。镇流器的主要作用是:日光灯启动时由于自感而产生瞬时高电压,与电源电压一起加在灯管两端,使管内水银蒸汽导电而开始发光;日光灯正常发光后,又起降压限流的作用。

综上所述,日光灯的工作原理是:当日光灯接通电源时,启辉器在电源电压作用下辉光放电,U 形双金属片受热膨胀与静触片接触,使镇流器、灯管灯丝和启辉器组成闭合回路,灯丝有电流通过被预热;同时启辉器两电极接触后,辉光放电停止,双金属片冷缩,动、电离而引起弧光放电,使

水银×10-9m、强度很高的紫外线,紫外线照射到管内壁的

荧光寿命长(约为白炽灯的3倍)、源。

进产品,属于高气压(压强高达镇流器式高压汞灯(GGY 型), 制放汞蒸发,导致第一主电极与第弧光放电后,两主电极间的电压低于主电极与辅助电极间的弧光放电,汞逐渐汽化,灯泡受激,发出大量的日光似的可省,但启动时间较长,显色所示。它利用高气压

(压明。使住。因此,高汞钠灯是用氧化铝制成的

静触头自动分断,导致电路中电流突然中断。镇流器由于自感产生瞬时脉冲高压,与电源电压一起加在灯管已被预热的灯丝之间,使管内的惰性气体蒸汽电离,辐射出波长为253.7粉上激发出近似“日光色”的可见光。灯管放电后,电流从灯管通过,启辉器不再起作用。

日光灯具有发光效率高(约为白炽灯的4倍)、使用节能省电、光线柔和等优点,是一种应用十分广泛的冷光⑵高压汞灯的构造及工作原理

高压汞灯又称高压水银荧光灯,是普通荧光灯的改105帕以上)的汞蒸汽放电光源。按其结构可分为三类:①如图4-69所示。它主要由灯头、石英放电管和玻璃壳等

组成,是最常应用的照明光源之一。②自镇流式高压汞

灯(GYZ 型),它外形、构造和工作状况与镇流器式高

压汞灯基本相同,不同的是它串联了镇流用的钨丝来控

电管中的电流,以代替镇流器,是一种利用汞放电

管、白炽体和荧光质三种发光元素同时发光的复合光源,

所以又复合灯。③反射型高压汞灯(GYF 型),其结构

特点是采用部分玻壳内镀铝等反射层,使光线集中地均

匀地定向反射。 图4-69 镇流器式高压汞灯

高压汞灯不需启辉器预热灯丝,但它必须与相应功率的镇流器L 串联使用(自镇流式除外),其中工作原理如下:当电源开关闭合后,电压经镇流器加在电极之间,首先第一主电极与辅助电极(触发极)首先击穿辉光放电,使管内的二主电极击穿,发生弧光放电。由于辉光放电电压,因此辉光放电停止,随着主电极间的稳定工作,发出可见光和紫外线,使外层玻璃管壁的荧光粉见光。高压汞灯发光效率高,使用寿命长,耐震性能好,用电性较差。高压汞灯熄灭后要过5-10分钟后才能重新启动。

(2) 高压钠灯的构造及工作原理

高压钠灯的主要构造如图4-70强可达104Pa)的钠蒸汽放电发光,特点是光色为全白

色,红光成分十分丰富,其光谱集中在人眼较为敏感区域,

因此其光效比高压汞灯还高一倍,穿透云雾能力强,使用寿

命长,是一种新型光电照明灯,适用于道路和室外大面积照

用时要配用相应的镇流器。

由于高压钠灯内充满了金属蒸汽钠,腐蚀性极强,任何

透明玻璃都有耐受不

半透明陶瓷管来作灯管。这种陶瓷管既能耐高压高温,又能

抗腐蚀,虽不完全透明,但能有90%以上可见光透射出来。 图4-70高压钠灯

在进一步研究、改进、开发。

发光极类似平行板电容器结构,具有两个电极,其中一个电极涂有磷化镓、硫化锌、化*等发光体,另一个电极涂有透明的导电材料,当两电极加上电场后,这些荧光材料在场激发下,就能发光。用发光板照明具有光线柔和、亮度均匀、耗电省、寿命长、使用全等优点,可做飞机仪表照明,夜光瞄准器,暗室灯等。

缺点比较见表4-

在纯电阻电路中,电压与电流的大小关的大小等于什么?在纯电感电路中,电压与电流的大小关系和相位关系电容电路中,电压与电流的大小关系和相位关系功率?它是用来表示什么的?国际单位是什么?写出纯电感电路和纯电容电元件 总阻抗?它与电阻、感抗、容抗有什么关系?作出表达式;角形与阻抗三角形有什么关系?

相量?为什么?复阻抗的代数形式中实部什么?辐角表示什么? 有功功率、无功功率和视在功率?三者之间什么关系?功率三角形与电压三角形、阻抗三角形有什么联系?写出RLC 串联电路中有功功率、无功功率和视在功率公式及相应单位。

13.什么叫功率因素?提高功率因素有什么重要意义?

14.提高感性负载的功率因素常用什么方法?功率为P 的感性负载的功率因素由cos φ1,提高到cos φ 并联多大的电容C ?

目前又研制生产出低压钠灯,其外形、结构和特点与高压钠灯相似,利用其具有穿透云雾特点,常用于航线和机场跑道作指示灯,也可作光学仪器中的单色光源。

3. 场致发光光源

场致发光光源是八十年代初研制使用的新颖光源,目前仍之中。发光极照明即是其应用实例 氮电安各种电光源的优

思考与练习

1.电阻对交流电的电压与电流的相位有没有影响?系和相位关系各是怎样的?写出纯电阻电路的欧姆定律表达式和平均功率公式。

2.什么叫感抗?它各是怎样的?写出纯电感电路的欧姆定律表达式。

3.什么是容抗?它的大小等于什么?在纯各是怎样的?写出纯电容电路的欧姆定律表达式。

4.什么叫无功路无功功率公式。

*5.什么是纯电阻元件、纯电感元件和纯电容元件的相量模型?分别写出这三种基本的欧姆定律相量形式,作出相应相量图。

6.在RLC 串联电路中,什么叫电路的阻抗三角形。

7.在RLC 串联电路中,总电压与各元件端电压之间有什么关系?写出欧姆定律作出电流、各元件端电压和总电压的相量图。电压三8.什么叫感性电路?什么叫容性电路?什么叫谐振电路?

*9.写出KCL 、KVL 的相量表达式。

*10.什么是RLC 串联电路的复阻抗?它是不是表示什么?虚部表示什么?复阻抗的极坐标形式中模表示*11.写出RLC 串联电路的欧姆定律相量表达式。

12.什么叫正弦交流电路的瞬时功率?什么叫有如何计算将

关;掌握同频率正弦量相位比较。

转换。 转换。(说明:按教学大纲要求,正弦量的旋转矢量法与相量法可根据。 相量图,感抗、容抗,平均功念。

电路的分析,阻抗,电压三角形、阻抗三角形的概念。 时功率、有功功率、无功功率、视在功率、功率因素、功率三大小和方向都随时间按正弦规律变化的电动势、电压、电流的统称。它一般由交流发电机产生。

简单的交流发电机是矩形线圈绕对称轴,以角速度ω在匀强磁场中匀速转动,根据电磁感应原理,在线圈两端产生感应电动势е,对外输出正弦交流电压u;若电路闭合,则е=EmSin(ut+φe)

Sin(ωt+φi)

的曲线图称为Sin(ωt+φi)中,Um 称为电压的最大值或幅值,表示电压最大的瞬态;开始时刻(的最大值(有效值)、角频率(频率或周期)和初相称为正弦量的三要素。它

率互为倒数。

角频率、周期和频率都表示交流电变化的快慢,它们之间的关系是

本章小结一、 学习要求

1、了解简单交流发电机原理。

2、理解正弦量的解析式、波形图、三要素的概念;掌握正弦量的频率、角频率、周期的系。

3、理解正弦量有效值、平均值的概念;掌握它们与最大值的关系。

4、理解正弦量的初相、相位差的概念

5、了解正弦量的旋转矢量表示法,掌握正弦量解析式、波形图、矢量图的相互*

6、了解正弦量的相量表示法、相量的概念、相量图;掌握正弦量解析式、波形图、相量、相量图的相互实际情况重点掌握其中一种方法。)

7、 掌握R 、L 、C 元件电压与电流关系,感抗、容抗、平均功率、无功功率*8、理解R 、L 、C 元件相量模型,电压与电流相量关系与率、无功功率。

9、 掌握RL 、RC 串联电路的分析,阻抗,电压三角形、阻抗三角形的概10、掌握RLC 串联*11、理解RLC 串联电路的相量分析,复阻抗的概念。

12、理解正弦交流电路的瞬角形的概念;掌握有功功率、无功功率、视在功率、功率因素的计算。

二、 内容小结

1、正弦交流电是有正弦电流i。

u=UmSin(ut+φu)

i=Im 2、用三角函数表示正弦交流电随时间变化规律的表达式称正弦量的解析式或瞬时值表达式。

根据正弦量解析式计算的数据,在平面直角坐标系中用描点法(五点法)画出正弦量的波形图(参见图4-3)

在正弦电压解析式u=Um 时值;(ωt+φ)称为t 时刻的相位,,表示正弦量在某一时刻所处的状t =0)时的相位φ0叫初相;ω称角频率,表示正弦量每秒变化的电角度。 正弦量们可以确定一个正弦量。

周期(T )指交流电完成一次周期性变化所用的时间,单位是秒(S)。频率(f )指交流电每秒钟完成周期性变化的次数,单位是赫兹(H Z )。周期与频

ω=2π/T = 2πf 。 3、正弦量的有效值是指与交流电热效应相当的直流电的值。我们平时所说的交流电的值,交流电表所测量出的交流电的值都指有效值。最大值是有效值的 倍,有效值的最大值的1f

T T f 11==或2/ 即0.707倍。

示。它反映两个正弦量在变化过程中的步调情

大值的先后情况。两个同频率正正弦量i 1超前于i 2角φ=φ1-φ2 ,也可以说是i 2滞后于i 1角φ= 夹角水平正向夹角等于正弦量初相的矢量相量图。运用相量率的正弦量(复数)表示正弦量的方法称为相量法。

形式为A=r(cosθ+jsinθ),指数形

式为2正弦量的平均值是指交流电在半个周期内瞬时值的平均数,其大小等于最大值的0.637倍。

4、两个正弦量的相位之差叫相位差,用φ表况,,即它们的相位超前与滞后关系,或到达正(负)最弦量的相位差等于它们的初相之差。

φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2

相位差有超前、滞后、同相和反相四种不同情况(参见图4-8)。超前与滞后是相对的,若φ1>φ2,可以说是φ2-φ1.同相指两个正弦量变化步调一致,相位差为零;反相指两个正弦量变化步调正好相

交,相位差为1800。 5、正弦量有四种表示方法:解析式表示法和波形图表示法属于直接表示法;旋转矢量(相

量图)表示法和相量(复数)表示法属于间接表示法。用间接表示法进行正弦量的加、减运算比用直接表示法简便得多。

旋转矢量表示法指在直角坐标系中,用一个绕原点以角速度ω匀速旋转的矢量来表示正弦量的方法。该矢量的长度与正弦量的最大值成正比,矢量初始位置与横轴正向夹角等于初相φ,矢量旋转的角速度ω等于正弦量的角频率,矢量在任一时刻t 与横轴正向(ωt+φ0)等于该时刻正弦量的相位,则矢量在任一时刻在纵轴上投影等于该时刻正弦量的瞬时值。所以,旋转矢量可以把正弦量的三要素表示出来,即可以表示正弦量。 对于同频率正弦量,由于表示它们的旋转矢量的角速度ω相同,它们保持相对静止,所以只要它们的最大值和初相确定后,表示它们的矢量就确定了。在实际应用中,一般用一个长度与正弦量的最大值或有效值成正比,方向与来表示正弦量。为了与一般空间矢量区别,我们把表示正弦量的矢量称为相量,并用在大写字母上加黑点的符号来表示,如U、Em、I 等。

画在同一直角坐标系中,表示几个同频率正弦量的相量的图示,叫图进行正弦量加减运算时,遵从平行四边形法则,(参见图4- 14)。显然,不同频量不能在同一个相量图上表示,也不能用相量图进行加减运算。

*6、表示正弦量的复数称为相量。用相复数有多种表示形式:代数形式为A=a+jb,三角A=re iθ,极坐标形式为A=r/θ。

A= a +j b = r(cos θ+jsin θ)= re iθ= r/θ。

应用计算器可以直接将复数的代数形式和极坐标形式相互转化。

式,然后将它们的实部和虚部分别相加减。 A 1±A 加、复数的加减运算时,应先把复数都化为代数形

2 = (a 1±a 2)+j(b 1±b 2)

复数乘除运算时,应先把复数都化为极坐标形式,然后将它们的模相乘、除,辐角相减。 ,

正弦量的解析式与相量式之间的对应关系为

212121θθ?∠=r r A A 212121,θθ+∠×=×r r A A

()u u m U U t U u φφω∠=?+=?sin 用相量法进行正弦量的分析计算时,应先把正弦量的解析式转换为对应的相量式,再应用复数法则进行分析计算,最后把计算结果的相量式转换成对应的正弦量解析式。

纯电容电流关系见表4-1表4-1 单一参数的交流电路的比较

7.纯电阻、纯电感、电路中电压与及特性比较,

相量法分析RLC串联电路

要特别注意的是:只有纯电阻电路电压与电流同相,电压与电流的瞬时值才遵从欧姆定值关系不遵从欧姆定律。

路中电功率关系较;见表表4-2 常见的串联交流电路的比较

律,即u R =iR;纯电感和纯电容电路中,电压与电流都不同相,所以电压与电流的瞬时8.常见的串联交流电压与电流关系及其特性的比4-*所示

相量法分析RLC串联电路

复功率 = S /Q

串联交流jQ P I U S +==?*

~电路的性质由感抗X L 和容抗X C 的大小决定。若X L >X C ,则φ=φu >φi > 0,电压种状态称为串联的直角三角形。U 与U R 边的夹角φ即为电压与电流的相位差。

为直角边,以视在功率S 为斜边所组成的直角形的三条边同时乘以I 后得到的,所以电压三角形与阻抗三角形和功率三角形是相似形;阻抗角等于功率因素角,都等于电压与电流的相位差。

10.电路的有功功率P 率因素,用cos φ表示。

超前电流φ角,电路呈电感性;若X L <X C ,则φ=u -φi < 0,电压滞后电流φ角,电路呈电容性;若X L =X C ,则φ=φu -φI = 0,电压与电流同相,电路呈电阻性,这φ谐振。

9.电三角形是以电阻端电压 、电抗端电压 = U L -U C 为直角边,以总电压U 为斜边所组成R U ??X U 压 阻抗三角形是以电阻R 、电抗X=X L -X C 为直角边,以阻抗 为斜边所组成的直角三角形。 与R 边夹φ角叫阻抗角。阻抗三角形可看是由电压三角形的三条边同时除以I 后得到的。

功率三角形是以有功功率P 、无功功率Q Z Z 角三角形。S 与P 边的夹角φ叫功率因素角。功率三角形可看作是由电压三与视在功率S 的比值叫功Z

U S R ===

φcos R U P 功率因素是用来表征电源功率被利用程度的物理量。提高电源功率因素可提高电源利用率;在输送相同电压、相同功率情况下,可减小线路损耗。

常用提C ,将功率为P 的感性负载的功率因素由cos φ1C 可由以下公式求出

中P 为有功功率,单位是W;ω=2πf 为角频率,U 为端电压单位是V;φ1、φ分别是并因素角;C 为应并联的电容,单位是F。

4-1 150°)A ,求它的最大值、角频

i 的波形图。

4-2 并说明超前、滞后情况。

)V

高功率因素的方法是:在感性负载两端并联适当的电容,提高到cos φ时,应并联的电容)(12φφωtg tg U

P C ?==

式联电容前、后的功率

习题(第四章)

已知正弦电流i = 10 sin (200πt –率、频率、周、相位、初相,作出2期求下列各组正弦量的相位差,⑴ u 1 = 220 sin (ωt + 120° u 2 = 220 sin (ωt - 120°)V

⑵ i 1 = 10 sin (ωt - 30°)A

i 2 = 10 sin (ωt - 70°)A

⑶ u = 220 sin (100πt + 180°)A i = 10 sin (100πt - 180°)A

⑷ e 1 = 380 sin100πt V 22222

e 2 = 380 sin (100πt - 180°) V

4-3 V ,动力供电线路的电压是380V ,试问它们的有效

值各是多少?

4-4 ,初相是30°,

4-5 ,i 滞后于u 90°;

向。

45°)V ,在同一坐标系 上作4-8 (ωt + 30°)V 和u 2= 10sin (ωt - 60°)V 的波形图和相

4-10电炉接到 u = 220 sin (100πt - 60°)V 中电流的解析式

流的相量图。

4-1135H 的线圈,接到 u = 220 sin (100πt + 30°)V 的

流时感抗为100Ω电压与电流相位差是90°

电阻可忽略不计,当它接到220V 工频交流电路中通过的电流是

的电感L 。

4-14容器接到u (100πt - 30°)V 的电源上,试

⑶写出电流的解析式

照明电路的电压是220值、最大值和平均有一个工频交流电的最大值是10A 2⑴写出它的解析式,

⑵画出它的图象

⑶求t = 0.1s 时,电流的瞬时值。根据下列条件写出角频率都是ω的正弦量的解析式。

⑴ V = 220V ,φu = 120°;I m = 10A E m = 220 V ,φu =φe 。

⑵ I = 5A ,φi = -30°;U = 100V ,u 滞后于i 30°; E m = 100 V ,e 与u 反

4-6 某正弦电流i 的图象如图4-71所示,根据波形图求

它的最大值、有效值、周期、频率、角频率和初

相,并写出它的解析式。

4-7 已知u 1 = 220 sin (100πt – 45°)V , u 1 = 110 sin (100πt + 出它们的相量图。

用相量图法先求下列各组正弦量的和与差的相量,

再写出它们的解析式。

⑴ u 1 = 100sin (10t + 60°)V ,u 2 = 100 sin (10t – 60°)V

图4-71(习题4-6) ⑵ i 1 = 12sin (100πt – 150°)A ,i 2 = 5sin (100πt + 30°)A 。 4-9 作出 u 1 = 5sin 量图,并求它们的相位差。 把一个标有“220V 4.4KW ”的的电源上。

⑴写出流过电炉丝⑵画出电压与电 把一个电感L = 0.电源上,试求:

⑴线圈的感抗

⑵电流的有效值

⑶写出电流的解析式

⑷作出电压与电流的相量图

⑸电路的无功功率

4-12 已知某电感线圈通过50Hz 电求当频率升高到5KHz 时,其感抗是多大?电压与电流相位差是多少? 4-13 某电感10A ,求该线圈 把C = 10μF 的电= 220 sin 求:

⑴电容的容抗

⑵电流的有效值

22222

22

⑷作出电压与电流的相量图

⑸电路的无功功率

4-15 某电容器通过50Hz 的电流时,容抗为100Ω, 电流与电压的相位差是

A ,求该电容器的电容C 。

4-17由电阻R = 40Ω电感L = 223mA ,电容C = 80μF ,

压U L 、U R 、U C

相位差φ

功率S

4-18同上题,试用相量分析法求:

U L 、U R 、U C

4-19=60Ω,电感L =255mH 的实际电感线圈接到电压为220 上。求:

率P ,无功功率Q 和视在功率S

时,测得电流为0.5A ,求该线圈的参数R 和L 。 4-21的电阻与C=80μF 的电容器串后接到u = 220 sin100πt V

功功率和视在功率

⑹写出电流的解析式

⑺作出相量图。

90°,求当频率升高到5KHz 时容抗为多大?电流与电压的相位差是多大?

4-16 某电容器接在正弦电压u = 220 sin (100πt - 60°)V 上,通过的电流

为259m 在RLC 串联电路中,试求:

⑴电路中的总阻抗 ⑵电流I

⑶各元件的端电⑷电压与电流的⑸电路的性质

⑹作出相量图

2Z

⑺电路的有功功率P 、无功功率Q 和视在⑻电路的功率因素 电路参数⑴电路的复阻抗

⑵电流i

⑶各元件端电压⑷电路的功率因素

⑸电路的性质

⑹电路的复功率、有功功率、无功功率和视在功率

⑺作出相量图。

将一个电阻为R sin100πt V 的电源⑴电感的感抗

⑵该线圈的阻抗

⑶电路中的电流

⑷电路的有功功2

⑸功率因素cos φ

⑹作出相量图

4-20 把一个线圈接到20V 直流电源上,测得电流为0.4A ,当把它改接到65V 、

50Hz 的交流电源上 把一个R=30Ω电源上,试求:⑴电容的容抗

⑵电路的阻抗

⑶电路中的电流

⑷电路的有功功率、无⑸功率因素cos φ2

4-22 在电子放大电路中,常用RC 串联电路进行耦合,如图4-72所示,已知C =10μF ,R =1.5K Ω,输入电压U i = 5V ,f =100Hz ,试求U C 、 U 0各为多大?U C 与U 0之间的相位差是多少? 4-23 如图4--72是一个移相电路,如果C=0.01μF ,输入电压u i = sin2000πt V ,今欲使输出电压U 0在相位上向前移动60°,问应配多大的电阻R ?此时输出

电压U 0等于多大?试画出相量图进行分析计

算。

图4-72(习题4-22、23)电路图 2

图4-73(习题4-24)电路图 4-24 RC 移相电路如图4-73所示,输入电压 u i =10 sin1000πt V ,电容C =7.96μF ,现要使输出电压向落后方向移动60°,求:

⑴应选配多大电阻R ?

⑵写出输出电压的解析式

2

4-25 流过某负载的电流i = sin (πt + 15°)A

时,其端电压u = 220 sin (100πt - 45°)V 试问: ⑴该负载是感性还是容性?

22⑵该负载的电阻和电抗各为多大?

4-26 在RLC 串联电路中,R =40Ω,X C = 50Ω,U C =100V ,加在电路两端的正

弦电压为u = 100 sin100t V ,求电感L 的大小。 4-27 某发电机的容量是500KVA ,最多可安装多少台功率P =10KW ,cos φ =0.8

的电动机?若安装500台这样的电动机安全吗?为什么?

2

4-28 某功率P =10KW ,cos φ=0.6的感性负载,接到220V 、50Hz 的交流电路

中,现要使功率因素提高到0.9,应并联多大的电容器?

4-29 一台发动机的容量是10KVA ,若负载功率因素为0.5,能提供多少KW 的

有功功率?无功功率又是多少?

4-30 已知某负载需用功率为3000KW ,额定电压是10KV ,功率因素是0.6,输

电线电阻为1Ω,输电线损耗功率是多大?若将功率因素提高到0.9,输电线损耗功率又为多大?

4-31 为使标有“36V 、0.3A ”的灯泡接在220V 、50Hz 的交流电源上正常使

用,应串联一个多大的电容进行分压限流?

4-32 某交流电路端电压u=282.8sin ωt V ,通过的电流i =2.828sin(ωt – 60°)A ,

求:电路的功率因素,有功功率和无功率和视在功率。

4-33 某单相异步电动机的输入功率为2.42KW ,接在220V 交流电电源上通过电

流为22A ,求该电动机的因素。

4-34 为求得某一电感线圈的参数,把该线圈接在220V 、50Hz 的交流电源上,

用电流表测得通过它的电流为5A ,用功率表测得它消耗的功率为940W ,求该线圈的电阻R 和电感L 。

*4-35已知i 1 = 30sin ωt ,i 2 = 40sin(ωt +90°),试用相量法求 i 1 + i 2和i 1 - i 2 *4-36已知电流相量 = 100/30°, 试求: ⑴它的有效值,初相和解析式

?I ⑵当它通过复阻抗Z = -2 + j 2Ω的负载时产生的电压相量,并写出电压的解析式。

*4-37两个复阻抗Z = 50+ j 50Ω,Z = 50 – j 50Ω试求:

⑴它们串联时的等效复阻抗

⑵它们并联时的等效复阻抗

*4-38已知u 1 = 220 sin100πt V ,u 2 = 220 sin (100πt – 120°)V , 及u 2 = 220 sin (100πt + 120°)V 试用相量法求u 1 + u 2 + u 3的值,并画出相应的波形图和相量图。

222*4-39两个复阻抗Z = 30+ j 40Ω,Z = 30 – j 20Ω的负载,串联后接在 u = 220 sin ωt V 的电源上,试求:

⑴电路中电流的解析式

2 ⑵各负载端电压的解析式。 *4-40某负载两端的电压相量为 =120–j 50V ,通过的电流相量为 =8 –j 6A ,试求:

?U ?I ⑴电压和电流的有效值及它们的相位差

⑵负载的复阻抗、阻抗、电阻和电抗。

⑶电路的有功功率、无功功率、视在功率和功率因素。 ⑷作出电压、电流的相量图。