第二部分 代数 ????
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?????模拟练习典型例题
内容综述
基本内容样题考试要求代数
[考试要求]
代数式和不等式的变换和计算。
包括:实数和复数;乘方和开方;代数表达式和因式分解;方程的解法;不等式;数学归纳法,数列;二项式定理,排列,组合等。 [样题]
1.))3
(arccos(sin π
-的值为[ ]
(A)π32 (B)π61- (C)π65 (D) π61
2.4名学生和2名教师排成一排照相,两位教师不在两端,且要相邻的排法共[ ]种。
(A)72 (B)108 (C)144 (D)288 3.求阶乘不超过200的最大整数[ ] (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
4.设函数1)(-=x x
x f ,1,0≠≠x x ,则=))
(1(
x f f [ ] (A)x -1 (B)x 11-
(C)1
-x x
(D)1-x 5.设30≤≤x ,则函数2)2(2--=x y 的最大值为[ ]
(A)2- (B)1- (C)2 (D)3
6.##袋中有3个黄球,2个红球,1个篮球,每次取一个球,取出后不放回,任取两次,取的红球的概率是[ ] (A)
151 (B)3011 (C)31 (D)3
2
7.现有三张密封的奖券,其中一张有奖,共有三个人按顺序且每人只能抓走一张,问谁抓到奖的概率最大?[ ] (A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人 (D)一样大 8.比较 6.04.0与4.06.0谁大?[ ]
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定
9.)1110sin(。
的值为[ ] (A)21 (B)21- (C)23 (D)23-
10.函数)1ln()(2x x x f ++=是[ ] (A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数
11.当 )2,0(π∈x 时,确定x
x
tan sin 与1的大小关系[ ]
(A)前者大 (B)后者大 (C)一样大 (D)无法确定
12.在连乘式)5)(4)(3)(2)(1(+++++x x x x x 展开式中,4x 前面的系数为[ ]
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16
[重要问题]
样题中问题类型:
排列组合(2)、函数求值(4)、二次函数(5)、三角函数(1,9,11)、简单概率问题(6,7)、幂函数与指数函数(8)、函数奇偶性(10)、代数式运算(12)。
已考问题类型:
二次函数(单调区间)、函数图像(对称性)、乘方开方运算、简单概率问题、比赛场次。
[内容综述]
一、数和代数式
1.实数的运算
(1)四则运算及其运算律
(2)乘方与开方(乘积与分式的方根,根式的乘方与化简)
(3)绝对值
2.复数
(1)基本概念(虚数单位、复数、实部、虚部、模、辅角)
(2)基本形式(代数形式、三角形式、指数形式)
(3)复数的运算及其几何意义
3.代数式
(1)几个常用公式(和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等)
(2)简单代数式的因式分解
二、集合、映射和函数(微积分)
1.集合
(1)概念(集合、空集、表示法)
(2)包含关系(子集、真子集、相等)
(3)运算(交集、并集、补集、全集)
2.函数
(1)概念(定义、两要素、图形、反函数)
(2)简单性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)
(3)幂、指、对函数(含义、性质、常用公式)
三、代数方程和简单的超越方程
1.一元二次方程
(1)求根公式
(2)根与系数的关系
(3)二次函数的图像
注代数基本定理
2.简单的指数方程和对数方程
四、不等式
(1)不等式的基本性质及基本不等式(算术平均数与几何平均数、绝对值不等式)
(2)几种常见不等式的解法
绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、简单无理不等式、指数不等式、对数不等式等
五、数列(微积分)、(数学归纳法)
1.数列的概念(数列、通项、前n 项的和、各项的和) 2.等差数列
(1)概念(定义、通项、前n 项的和) (2)简单性质 3.等比数列
(1)概念(定义、通项、前n 项的和) (2)简单性质
注 已知}{n a 是等差数列,}{n b 是等比数列,求∑=n
k k k b a 1。
六、排列、组合、二项式定理 1.加法原理与乘法原理 2.排列与排列数 (1)定义 (2)公式 注 阶乘
3.组合与组合数 (1)定义 (2)公式 (3)基本性质
n
n
k k n m n m n m n m n n m n C C C C C C 2
,,0
11=+==∑=-+-
4.二项式定理 注 常见问题
七、古典概率问题 1.基本概念
样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、 互不相容事件、对立事件 2.概率的概念与性质
(1)定义(非负性、规范性、可加性) (2)性质
1)(0≤≤A P ,0)(=ΦP ,)()()()(B A P B P A P B A P -+= 3.几种特殊事件发生的概率 (1)等可能事件(古典概型)n
m
A P =)( (2)互不相容事件
)()()(B P A P B A P += , 对立事件 1)()(=+B P A P
(3)相互独立事件 )()()(B P A P B A P = (4)独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为p ,那么在n 此独立重复
试验中这个事件恰好发生k 次的概率为 k n k
k n
n p p C k P --=)1()(。 [典型例题] 一、数和代数式
1.已知实数x 和y 满足条件1)(999-=+y x 和1)(1000=-y x ,则1
1
y x +的值是 。 A .1-。
B .0。
C .1。
D .2。
2.若C z ∈且122=-+i z ,则i z 22--的最小值是[ B ] (A)2
(B)3
(C)4
(D)5
3.已知3)(i x +是一个实数,则实数=x [ B ] (A)32± (B)33± (C)3±
(D)2
3±
(例2.3.1)
4.如果)1(+x 整除1223-++ax x a x ,则实数=a [ D ] (A)0
(B)-1
(C)2
(D) 2或-1
(例 2.3.5) 5.设i 2
3
2
1+
-=ω,则1的三次方根是[ B ]
(A)ωω-,,1 (B)2,,1ωω (C)2,,1ωω-
(D)ωω+-1,1,1
(例2.3.6)
6.复平面上一等腰三角形的3个顶点按逆时针方向依次为O (原点)、
1Z 和2Z ,2
21π
=
∠OZ Z ,若1Z 对应复数i z 311+-=,则2Z 对应复数
=2z [ D ]
(A)i 31-- (B)i 31- (C)i +3 (D)i --3
(例2.3.7.)
二、集合、映射和函数
1.设B A ,是两个非空实数集,f 是定义在B A ,上的函数,是讨论集合)(B A f
与)(),(B f A f 及)()(B f A f 的关系。 2.已知}30{},11{≤≤=<<-=x x B x x A , 求))((,,B A C B A B A B A R -
---。
3.已知0≠a ,函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像关于原点对称的充分必要条件是[ D ]
(A)0=b (B)0=c (C)0=d (D)0==d b (例3.3.6)
4.函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图形关于 。 A .直线1=x 对称。 B .直线1-=x 对称。
C .0=x 轴对称。
D .0=y 轴对称。
5.设0,0<
1
ln b a [ B ]
(A))ln (ln 21b a + (B))ln(21ab
(C))ln (ln 3
1
b a +
(D))ln(3
1
ab
(例3.3.10)
三、代数方程和简单的超越方程
1.设0≠c ,若21,x x 是方程02=++c bx x 的两个根,求
2
112212221,x x x x x x x x +-+,,3
2
31x x +。(例4.4.4) 2.函数)0(2≠++=a c bx ax y 在]0,(-∞上单调减的充要条件是 。 A .0a ,且0≥b 。
D .0>a ,且0≤b 。
3.一个容器中盛有浓度为0075盐酸500ml ,第一次倒出若干,再用水加至500ml ,第二次倒出同样多的溶液,再用水加至500ml ,这是容器中盐酸浓度为0027。问每次倒出的溶液为多少?(例 4.4.5)
4.指数方程组?????==6
321624y x y x 的解[ A ]
(A)只有一组 (B)只有两组 (C)有无穷多组 (D)不存在 (例 4.6.3) 四、不等式
1.已知集合}32{<-=x x A ,集合}0)1({2<--+=a x a x x B ,若A B ?,求a 得取值范围。 2.解不等式
24
4
5≤+-x x 。]4,4(-(例5.5.1)
3.解不等式x x 28
3312-->?
?
?
??。)4,2(-(例5.7.1)
五、数列(微积分)、(数学归纳法)
1.已知数列}{n a 是等差数列,且12,23211=++=a a a a 。 (1)求数列}{n a 的通项;
(2)求数列}{n n b a 前n 项和的公式,其中b 是任意实数。
2.设}{n a 是一等差数列,且64111032=+++a a a a ,求76a a +和12S 。 (例6.2.2) 3.记数列}2
1000{lg 2n
-
?的前
n 项和为n S ,问n 为何值时n S 最大?
(19=n )(例6.2.4)
4.设}{n a 是一等比数列,且48,1253==a a ,求101,a a 和62a a 。(例 6.3.1) 5.设}{n a 是一等比数列,且252645342=++a a a a a a ,求53a a +的值。 (例6.3.2)
六、排列、组合、二项式定理
1.5个男生和2个女生拍成一排照相。 (1)共有多少种排法?(77P )
(2)男生甲必须站在一端,且两女生必须相邻,有多少种排法?()(225522P P P )
(3)男生甲必须站在中间,且两女生必须相邻,有多少种排法?()(445522P P P -)(例7.1.4)
2.100件产品中,只有3件次品,从中任取3件,
(1)恰有一件次品的取法有多少种?29713C C
(2)至少有一件次品的取法有多少种? 3
97
3100C C - (3)至多有两件次品的取法有多少种?33
3100C C -(例7.1.5) 3.某篮球队共10人,其中7人善打锋位,4人善打卫位,现按队员特点派5人出场(左、中、右锋和左、右卫),共有多少种派法?
3622133723P P C P P +
4.求9)21(x +展开式中所有无理项系数之和。(例7.2.3)
9
9
97975953931922222C C C C C S ++++= 七、古典概率问题
1.在100件产品中,只有5件次品。从中任取两件, (1)两件都是合格品的概率是多少?2100
2
95C C
(2)两件都是次品的概率是多少?
2100
25C C
(3)一件是合格品,一件是次品的概率是多少?2100
19515C C C (例7.3.2)
2.一批产品的次品率为1.0,每件检测后放回,在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 。 A .271.0。
B .729.0。
C .001.0。
D .081.0。
3.办公室有40支笔,其中30支是黑笔,10支是红笔。从中任取4支,其中至少有一支是红笔的概率是多少?440
4301C C -
(例7.3.4)
4.甲、乙两人各投篮一次,如果两人投中的概率分别是6.0和5.0。 (1)两人都投中的概率是多少?5.06.0?
(2)恰有一人投中的概率是多少?5.04.05.06.0?+?
(3)至少有一人投中的概率是多少?5.04.01?- (例7.3.5) [模拟练习]
1.已知集合},{},2,1,1{2A x x y y B A ∈==-=,则B A 是[ D ] (A)}4,2,1{
(B)}4,1(
(C)}1{
(D)空集
2.设},2{},,{2R x y y Q R x x y y P x ∈==∈==,则[ B ] (A)P Q =
(B)P Q ? (C)}4,2{=P Q
(D) )}4,2{(=P Q
3.函数x
x y --=2)1(log 2的定义域是[B ]
(A)]2,1(
(B))2,1(
(C)),2(+∞
(D))2,(-∞
4.若b a ,是任意实数,且b a >,则[ B ] (A)2
2
b a >
(B)b
a ??
? ???? ??2121 (C)0)lg(>-b a