近世代数试题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填

在题干的括号内。每小题3分，共15分)

1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域）

φ:a→10a?a∈A

则φ是从A到B的( )。

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。

A.x→10x

B.x→2x

C.x→|x|

D.x→-x

3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。

A.1

B.2

C.3

D.4

4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个

5.剩余类加群Z18的子群有( )。

A.3个

B.6个

C.9个

D.12个

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

2.n次对称群S n的阶是____________.

3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.

4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个.

5.除环的理想共有____________个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.

7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________.

8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元.

9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________.

三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)

1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.

2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？

3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？

四、证明题(每小题8分，共24分)

1.设a 、b 是群G 的元素，a 的阶为2，b 的阶为3，且ab=ba ，证明ab 的阶是6.

2.证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e.

3.设A=??????? ??c 0b a a 、b 、c ∈?

??

关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明 A 1=???????

??x 0

00

x ∈???是A 的子环，找出A 到A 1的一个同态满射f,求f 的核N.