文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 小学奥数之裂项

小学奥数之裂项

小学奥数之裂项
小学奥数之裂项

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:

(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

(5)n·n!=(n+1)!-n!

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)

1、分组法求数列的和:如an=2n+3n

2、错位相减法求和:如an=n·2^n

3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和:如an=n

5、求数列的最大、最小项的方法:

①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3

②(an>0)如an=

③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值.

(2)当a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值.

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。

1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3)

2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)

3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3)

4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3)

……

98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3)

99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3)

将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。

解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

=(99×100×101-0×1×2)÷3

=333300

计算之裂项习题1

计算之裂项习题2

奥数专题裂项法含答案

奥数专题一一裂项法(一) 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化 成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如3 1 £,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的 乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 或—1 1 — n(n 1) n n 1 F 面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。 分析与解答: 上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变 为0,这一来问题解起来就十分方便了。 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其 中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2.计算:1 — 1 … — 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (100) 公式的变式 当n 分别取1, 2, 3,……,100时,就有 例3.设符号( )、< > 代表不同的自然数,问算式 - — 中这 两个符号所代表的数的数的积是多少? 即1 丄 n n 1 1 n(n 1) 【典型例题】 例1.计算: 1 1 1985 1986 1986 1987 1 1987 1988 1 1994 1995

分析与解:减法是加法的逆运算,£ 1 ~) —,与 前面提到的等式1—1 n n 1 n(n 石相联系, 便可找到一组解,即 1 42 另外一种方法 设n、x、y都是自然数,且y,当1 1 1 丄1-时,利用上面的变加为减的想n x y 法,得算式以丄。 nx y 这里-是个单位分数,所以 y n 一定大于零,假定 x n t 0,则x nt, 代入上式得」1,即y n(n t) y 又因为y是自然数,所以t 一定能整除n2,即t是n2的约数, 有n个t就有n个 y,这一来我们便得到一个比盘更广泛的等式, 即当x nt, 2 y丨n,七是n2的约数时, 定有- n 上面指出当x n t是n2的约数时,一定有-,这里 y 2 ,n 36,36共有1, 2, 3 当t 1 时, x 7 , y 42 当t 2 时, x 8, y 24 当t 3 时, x 9, y 18 当t 4 时, x 10 , y 15 当t 6 时, x 12 , y 10 当t 9 时, x 15 , y 10 n 6 ,4,6,9,12,18,36 九个约数。

小学奥数教程之裂项综合

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣,更容易让学生体验成功,树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生,思 维更敏捷,考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心, 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功,发挥创新精神和创造力的最大空间。 学科培优数学 “裂项综合” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲知识点属于计算大板块内内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、 利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式 不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明 了。 知识梳理 一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111 ()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1 (1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) 11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2) 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 三、整数裂项

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a < b ,那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2222 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(3 1)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和:1 2)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?=n n n n S n

整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法 讲解

整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解 在小学奥数中有一些非常长的整数算式,仅仅用一般的运算法 则满足不了计算要求,这时候我们要找式子中各乘式之间的规律, 把各乘式裂项,前后抵消,从而简化计算。规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。 先看一道整数裂项的经典例题: 【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100 分析:题中计算式共有99个乘法式子相加,如果一个一个计算下来,恐怕一个下午就过去了,G老师告诉同学们,遇见这种复杂的计算式,一定是有规律的,数学重点考查的是思维。 能不能想办法把乘法式子换成两个数的差,再让其中一些项抵 消掉,就像分数裂项的形式,最后只剩下头和尾呢? 1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3; 2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3; 3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3; ……

99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3; 规律是不是找着了? 原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5- 2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3 =99x100x101÷3 =333300 整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式,这个差也 不是随便乘一个数,而是要根据题目中各项数字公差来确定的。 比如在例1中,1x2和2x3这两项,1与2,2与3的的差都是1,我们就在1x2这一项乘以(2+1),再减去(1-1)x1x2;2x3这一项,也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消,然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。 整数裂项法应用: 式中各项数字成等差数列,将各项后延一位,减去前伸一位, 再除以后延与前伸的差。 【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99

奥数裂项法(含答案)

奥数裂项法 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把 这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答: 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。

1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分 数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2. 计算:1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1,2,3,……,100时,就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() ()

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a <b ,那么有: )11(11 b a a b b a --=? (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: ???? ?? +?+-+?=+?+?)2()1(1)1(1 21)2()1(1 n n n n n n n ???? ?? +?+?+-+?+?=+?+?+?)3()2()1(1 )2()1(1 31)3()2()1(1n n n n n n n n n n 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 1 1+=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 22 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n

(2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--= ?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1( (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和:12)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?= n n n n S n 证:1 2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-= n n n n n S n 3.求和:13)13)(23(11071741411+=+-++?+?+?= n n n n S n 证:)1 31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n

(完整word版)小学奥数之裂项

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如: (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5)n·n!=(n+1)!-n! 公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构) 1、分组法求数列的和:如an=2n+3n 2、错位相减法求和:如an=n·2^n 3、裂项法求和:如an=1/n(n+1) 4、倒序相加法求和:如an=n 5、求数列的最大、最小项的方法: ①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3 ②(an>0)如an= ③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0) 6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值. 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。

奥数专题 裂项法 含答案

奥数专题——裂项法(一) 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的 乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… 分析与解答: 上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2. 计算:1 1 1 12 1 123 1 123100 + + + ++ ++ ++++ … … 公式的变式 当n分别取1,2,3,……,100时,就有 例3. 设符号()、< >代表不同的自然数,问算式1 6 11 =+ <> () 中这 两个符号所代表的数的数的积是多少?

分析与解:减法是加法的逆运算,16 11= + <> () 就变成16 11- = < > ( ) ,与 前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系,便可找到一组解,即16171 42 =+ 另外一种方法 设n x y 、、都是自然数,且x y ≠,当 111 n x y =+时,利用上面的变加为减的想法,得算式 x n nx y -=1。 这里1y 是个单位分数,所以x n -一定大于零,假定x n t -=>0,则x n t =+, 代入上式得 t n n t y ()+=1 ,即y n t n =+2。 又因为y 是自然数,所以t 一定能整除n 2,即t 是n 2的约数,有n 个t 就有n 个 y ,这一来我们便得到一个比 11111n n n n -+=+() 更广泛的等式,即当x n t =+,y n t n =+2,t 是n 2的约数时,一定有111n x y =+,即 上面指出当x n t =+,y n t n =+2,t 是n 2的约数时,一定有111 n x y =+,这里n n ==6362,,36共有1,2,3,4,6,9,12,18,36九个约数。 当t =1时,x =7,y =42 当t =2时,x =8,y =24 当t =3时,x =9,y =18 当t =4时,x =10,y =15 当t =6时,x =12,y =10 当t =9时,x =15,y =10

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a < b ,那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 1 1 +=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1)1(1 (541) 431 321 211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:111 1)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

奥数裂项法(含答案)

— 奥数裂项法 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积, 把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() : 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答:" 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =-? =-

上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。 11985198611986198711987198811995199611996199711997 ?+?+?++?+?+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2. 计算:1111211231123100 + ++++++++++…… : 公式的变式 11221+++=?-…n n n () 当n 分别取1,2,3,……,100时,就有 11212 112223 1123234 11234245 1121002100101 =?+=?++=?+++=?+++=? (111121123112100) 2122232342991002100101 21121231341991001100101 211212131314199110011001101 211101++++++++++=?+?+?++?+?=??+?+?++?+?=?-+-+-++-+-=?-……………()()()

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 、分数“裂差”型运算 1 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 —形式的,这里我们把较小的数写在前面, a b 即a v b ,那么有: 1 111、 ( ) a b baa b (2) 对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即有: 1 1 1 1 n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1) (n 2) 1 1 1 1 n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3) 、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: 裂和型运算与裂差型运算的对比: (1) a b a b ] 1 abababba (2) b 2 a 2 b 2 a b a b a b b a

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾”

分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或凑整三、整数裂项基本公式 1 (n 1) n (n 1)n(n 1) 3 ⑵ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 (n 2) (n 1) n 1 -(n 2)( n 1)n(n 1 ) 4 ⑶n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) Bn 3 1)n(n 1) n(n 1) r 2 n ⑷n(n 1)( n 2) 1 n(n 4 1)(n 2)(n 3) ^(n 4 1)n(n 1)( n 2) ⑸n n! (n 1)! n! 裂项求和部分基本公式 1.求和:S n 1 1 1 1 1 n 1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1 证 :S n 1 (1 2) 1 1 1 1 1 1 (2 1)(3 2 (1 1) 1 1 1 n ( )1 ' n n 1 n 1 n 1 2.求和:S n 1 3 3 5 5 7 7 9 (2n 1)( 2 n 1) 2n 1

奥数裂项

第一讲 裂 项 法(一) 同学们知道,在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 例如 ,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用 的等式: 1111(1)(1)11(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n +-=-++++-==++ 即1111(1) n n n n -=++ 或 111(1)1n n n n =-++ 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。 【例1】. 计算: 11119951996199619971997 +++?? 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 【课堂随练】 求 111 (101111125960) +++???的和。 【例2】. 计算: 【例3】. 请在( )、< >里填上适当的自然数,使得算式 成立

【例4】. 【课堂随练】计算 11111 577991111131315 ++++ ????? 【例5】. 计算: 裂项法(一)练习 1. 1111 1223344950 ++++ ???? =_________; 2. 计算: 3. 1111 133******** ++++ ???? =_________;

4. 求和: 5. 求和: 裂项法(二) 【例1】求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和 【例2】计算: 4444 ...... 135357939597959799 ++++ ???????? 【例3】计算: 333 ...... 1234234517181920 +++ ????????? 【例4】 9998971 12323434599100101 ++++ ???????? =_________;

小学奥数整数裂项

小学奥数--整数裂项 对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。 下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。 后延减前伸差数除以N 例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+…+98×99+99×100 分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。 1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3) 2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3) 3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3) 4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3) …… 98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3) 99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3) 将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。 解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100 =(99×100×101-0×1×2)÷3 =333300 例2、计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101 分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。 3×5=(3×5×7-1×3×5)÷(2×3) 5×7=(5×7×9-3×5×7)÷(2×3)

高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高

第十七讲 整数型计算综合提高 一、多位数计算 1. 凑整、凑9的思想; 2. 数字和问题:与一个小于它的数相乘,积的数字和是9×n . 二、等差数列 1. 等差数列的“配对”思想; 2. 求和公式: (1) ; (2) . 3. 项数公式:. 4. 第n 项:. 三、等比数列: 等比数列“错位相减”法求和,基本步骤是: (1)设等比数列的和为S ; (2)等式两边同时乘以公比(或者公比的倒数); (3)两式对应的项相减,消去同样的项,求出结果; 四、基本公式 1. 平方差公式 . 2. 平方求和 . 3. 立方求和 . 五、整数裂项 1. ; 2. . ()()()()() 123123234345124 n n n n n n n ?+?+?+??+??+??++?+?+= L ()()() 1212233413 n n n n n ?+?+?+?+?++?+= L ()2 333312312n n ++++=+++L L ()() 22221211236 n n n n ?+?+++++= L ()()22a b a b a b -=-+ ()1n +-?首项公差 ()1÷+末项-首项公差 ?中间项项数 ()2+?÷首项末项项数 9 9999n 个L 14243

一、 整数数列基本计算 1. 公式型计算; 2. 平方差公式的应用; 3. 整数裂项: (1) 基本裂项:例如1×2、1×2×3等; (2) 高等裂项:与阶乘或其它数列相关的裂项. 二、 计算技巧 1. 换元思想; 2. 分组思想; 3. 裂项思想; 4. 数论思想在计算中的应用; 例1. (1)228888888811111111-的计算结果是多少? (2)308 303 88883333?个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少? 「分析」(1)还记得平方差公式吗?(2)可以用凑整的思想计算出这个算式的结果,再算数字和. 练习1、999999999999999999?的计算结果的数字和是多少? 例2. 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…;小须把这些页码相加时,将其 中连续2个页码漏掉了,结果得到2013,那么这本书共有多少页?漏掉的2页是多少?「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少?确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了. 练习2、把从1开始的所有奇数进行分组,其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数,例如:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17,19,21,23,25),(27,29, L L ,79),(81,83,L L ),那么第8组中所有数的和是多少? 经典题型

小学数学分数裂项

小学数学分数裂项 考试要求 (1) 能熟练运算常规裂和型题目; (2) 复杂整数裂项运算; (3) 分子隐蔽的裂和型运算。 (4) 4、通项归纳 知识结构 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有 1111()a b b a a b =-?- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数,我们有: 1111 []()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111 []()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+ 3、 对于分子不是1的情况我们有: ?? ? ??+-=+k n n k n n k 11 )( ()11h h n n k k n n k ?? =- ?++?? ()()()()() 211 22k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 311 23223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()( )()()11 222h h n n k n k k n n k n k n k ??= -??+++++??

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总 It was last revised on January 2, 2021

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a < b ,那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2222 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1) )1()1(3 1)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

小学奥数六年级举一反三完整版

小学奥数六年级举一反 三 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

第一周定义新运算 专题简析: 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些特殊算式的一种运算。 解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、等,这是与四则运算中的“、、、·”不同的。 新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的。但它在没有转化前,是不适合于各种运算定律的。 例题1。 假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。 13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26 5*4=(5+4)+(5-4)=10 13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26 练习1 1..将新运算“*”定义为:a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。 2.设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。 3.设a*b=3a-×b,求(25*12)*(10*5)。 例题2。 设p、q是两个数,规定:p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6). 3△(4△6). =3△【4×6-(4+6)÷2】 =3△19 =4×19-(3+19)÷2 =76-11 =65 练习2 1.设p、q是两个数,规定p△q=4×q-(p+q)÷2,求5△(6△4)。 2.设p、q是两个数,规定p△q=p2+(p-q)×2。求30△(5△3)。 3.设M、N是两个数,规定M*N=+,求10*20-。 例题3。 如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333, 4*2=4+44。那么7*4=,210*2= 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420 练习3 1.如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333,…..那么,4*4=,18*3= 2.规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa……..a,那么8*5= (b-1)个a

小学奥数-整数裂项之欧阳光明创编

小学奥数--整数裂项 欧阳光明(2021.03.07) 对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。 下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。 后延减前伸差数除以N 例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+…+98×99+99×100 分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。 1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3) 2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)

4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3) …… 98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3) 99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3) 将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。 解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100 =(99×100×101-0×1×2)÷3 =333300 例2、计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101 分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。 3×5=(3×5×7-1×3×5)÷(2×3) 5×7=(5×7×9-3×5×7)÷(2×3)

小学奥数-裂项求和(一)

分数裂项求和 裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项求和法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)。 裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 例1 裂项 1 2×3= 1 2 - 1 3 = 1 6 1 3×4 = 1 3 - 1 4 = 1 12 1 6×7= 1 6 - 1 7 = 1 42 你发现了什么? 对于分母可以写作两个连续自然数的乘积,分子都是1的这种形 式的分数,即 1 a×b ,这里我们把较小的数a写在前面,即a < b, 那么有 1 a×b = 1 b - 1 a 。

练1 1 9×10 = - 199×100 = - 练2 2 2 ×3 = 2 - 2 = 2 (提示:分子不是1的,注意) 3 4 ×5 = 3 - 3 = 3 练3 2 11 ×12 = - = (提示:分子空缺,自己填写) 399 ×100 = - = 例2 深度讲解 11×2 + 12×3+ 13×4 + …… + 198×99+199×100 = (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14)+ …… +(1 98 - 199) + (199 - 1100) [此处为基础训练中的裂项] = 11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14+……+198 - 199 + 199 - 1 100 [去括号,括号外面是加号,去括号不变号] = 1 - 1100 [一加一减正好抵消,两两消去,只剩头尾] = 99100 [头减尾,既得最后答案]

相关文档
相关文档 最新文档