基于MATLAB的单缝衍射

本科毕业论文(设计)

题目基于matlab的单缝衍射

和双缝干涉可视化模拟

学生姓名

学号

系别物理学与电子信息工程系年级08级

专业物理学

指导教师

职称

完成日期

闽江学院毕业论文（设计）诚信声明书

本人郑重声明：

兹提交的毕业论文（设计）《基于matlab的单缝衍射和双缝干涉可视化模拟》，是本人在指导老师许鸿鹤，李玉良的指导下独立研究、撰写的成果；论文（设计）未剽窃、抄袭他人的学术观点、思想和成果，未篡改研究数据，论文（设计）中所引用的文字、研究成果均已在论文（设计）中以明确的方式标明；在毕业论文（设计）工作过程中，本人恪守学术规范，遵守学校有关规定，依法享有和承担由此论文（设计）产生的权利和责任。

声明人（签名）：

2012年05月10日

基于matlab的单缝衍射和双缝干涉可视化模拟

摘要：使用matlab处理复杂数学方程并模拟物理图像的方法极大的丰富了物理的教学手段和学习方式，其中夫琅禾费单缝衍射和双缝干涉就属于物理光学中较为抽象的规律，本文通过对这两种实验在不同条件下的光强曲线和条纹分布的变化情况进行matlab仿真，并生成一系列的模拟图像。借此帮助学习者能够较好的理解夫琅禾费单缝衍射和双缝干涉，也有利于对实验的指导。

关键词：matlab；物理图像；夫琅禾费单缝和双缝干涉

Abstract：the use of matlab to deal with complex mathematical equation and simulation method of physical image s greatly enriched the physics teaching method and way to learn. Fraunhofer's single-slit diffraction and the double-slit interference will belong to physical optics rather abstract rules, this article according to the two experiments' changes of the light's strength and stripes under different conditions used the matlab simulation to produce a series of images.I hope it can not only to help students to better understand the Fraunhofer's single slit diffraction and the double-slit interference, but also to the guidance of the experiment.

Key word：matlab; physical images ;Fraunhofer's single-slit and the double-slit interference experiment

目录

1 引言 (2)

2 夫琅禾费单缝衍射 (4)

2.1实验分析 (4)

2.1.1夫琅禾费单缝衍射条纹与光强分布 (4)

2.1.2不同缝宽与入射光对结果的影响 (7)

2.2实验模拟 (10)

2.2.1夫琅禾费单缝衍射条纹与光强图样 (10)

2.2.2不同缝宽下的条纹与光强图样 (13)

2.2.3不同入射光下的条纹与光强图样 (14)

3 杨氏双缝干涉 (15)

3.1实验分析 (15)

3.1.1双缝干涉条纹与光强分布 (15)

3.1.2不同缝间距下对结果的影响 (19)

3.1.3单缝衍射调制下的干涉条纹与光强分布 (20)

3.2实验模拟 (22)

3.2.1双缝干涉条纹与光强图样 (22)

3.2.2不同缝间距下条纹与光强图样 (23)

3.2.3单缝衍射调制下的干涉条纹图样 (25)

4 结论 (30)

参考文献 (31)

致谢 (32)

1 引言

由于ma tla b具有极其丰富的特点和作用，因此被广泛的应用于国内外高校进行辅助教学和科学研究。在物理学中的应用也很广泛，例如在量子力学中的研究【1-2】,经典力学中的研究【3-4】,以及在物理实验中也应用广泛【5-15】。而在中国知网中能查阅到matlab 在物理教学中的应用有40多篇，因此，对于师范类的教师学习matlab，尤其是从事物理教学的教师而言学习matlab不仅可以改进教学手段，增强教学效果，还能提供形象化的材料激发学生的学习兴趣，并能强化学生对授课内容的理解【5】【8】【15】。而现在问题的关键是怎样将它应用范围拓宽，尤其对于在中学阶段matlab的应用鲜有，又由于教学任务和时间的矛盾以及经费的问题，导致中学阶段的实验又偏少，因此学生对物理的感性认识严重不足，使学生普遍感到物理学习的困难，而在中学一般都配有多媒体的设施，这就使matlab的应用成为可能。所以，利用matlab进行辅助中学物理的教学是一条既经济有实用的方法，既能提高和丰富教师的教学水平又可以促进学生的学习，从而获得可观的教学效果。

通过阅读《基于matlab的大学物理实验模拟》【 6】《物理图像的可视化研究》【8】，《物理模型可视化与物理教学》【15】等利用matlab 进行物理教学的论文和期刊，以及参考《光学实验的计算机模拟》【10】和《matlab应用数学工具箱级数手册》【17】模拟了光的双缝干涉实验和牛顿环条纹分布模拟图样。由于夫琅禾费单缝衍射和杨氏双缝干涉包含着光的衍与干涉现象诸多重要特征，于是本文通过matlab对夫琅禾费单缝衍射与杨氏双缝干涉进行可视化为例，来证明matlab对丰富物理教学以及促进学生学习有着重要的辅助作用。通过对夫琅禾费单缝与杨氏双缝干涉实验的实验结果进行理论分析，讨论在相同入射光波长条件下改变缝宽与在相同缝宽条件下改变入射光波长对单缝衍射条纹的影响，以及在杨氏双缝干涉实验中讨论不同的缝宽下或在单缝衍射调制下的干涉对条纹分布的影响。并利用matlab进行可视化，绘制出在相应的不同条件下夫琅禾费单缝衍射的衍射条纹图样和双缝干涉图像，并对图像进行简要的分析。由于从公式中对如何影响衍射

条纹的各个因素的理解较为抽象，导致难以形成具体的直观认知，因此通过利用matlab使各个因素与条纹变化情况相互之间的联系用图像表示出来，形象地描绘出具体的变化情况，由此可以使学生听讲时在对夫琅禾费单缝及杨氏双缝干涉的理解起到促进加深的作用，也可对实验有一定的指导。

matlab自身拥有许多的优点，例如内部提供非常丰富，简洁的库函数，其以矩阵为基本的数据结构，代替了c繁重琐碎的子函数编写程序，并且还可以根据使用者的需要编写新的函数或者对源程序进行修改来构建新的工具箱，不仅丰富了mat lab的库函数，还使使用更加便捷与人性化。除此之外，matlab还具有强大的图形和符号功能，其自身带有许多绘图的库函数，可以绘制多种多样的二维和三维图形，同时还能利用图形界面对图形进行相应的编辑处理，因此能够处理许多抽象复杂的数据使其形象化。具有丰富、灵活实用的运算符。由于matlab是由c语言编写而成的，一次具有与c语言一样快捷实用的运算符，如果能够灵活使用m atlab的运算符就会编制出非常简洁、实用的计算程序。matlab对程序语法的语法限制相对c而言不是非常严格，因此利用matlab程序编写的自由度很大。ma tlab具有实用价值并且功效显著的工具箱。其包含两个部分，其一是重点的部分，其二是供多种挑选的工具箱。重点部分由数百个关键的内置函数组成。工具箱分为两个部分，其一是功效性质的工具箱，其二是学科性质的工具箱。这些工具箱具有重要的功效，使用它们能够对不同的学科领域进行研究。譬如在处理物理问题中常用matlab自带的GUI用户图形处理界面。

2 夫琅禾费单缝衍射

2.1实验分析

2.1.1夫琅禾费单缝衍射条纹与光强分布

无论是水波、声波或光波，当其波阵面的一部分以某种方式受到阻碍时，就会发生偏离直线传播的衍射现象。越过障碍物的波阵面的各部分因干涉而特定的波的强度分布叫做衍射图样。

单缝衍射实验装置如下图（2-1-1）所示，当一束平行光垂直照射宽度可与光的波长比较的狭缝时，会绕过缝的边缘向阴影区衍射，衍射光线经透镜会聚到焦平面处的屏幕P 上，形成衍射条纹。

单缝衍射条纹的分布：近似判断方法 — 菲涅耳波带法。

如图（2-1-1）所示，单色平行光垂直照射宽度为b 的狭缝AB （图中把缝宽放大约百倍），按惠更斯原理，AB 面上各子波波源的球面波向各方向传播，在出发处相位相等。其中沿入射方向传播的，经透镜L 会聚于P O 处时，相位仍然相等，故加强为中央亮线；与入射线成?角方向传播的，经透镜会聚于P k ，其明暗取决于各光线间的光程差。从A 点作AC 线垂直于BC ，从AC 线到达点P k 的所有光线都是等光程的，因而沿缝宽的各光线之间的光程差取决于从AB 到AC 之间的行进路程，而最大光程差?sin b BC =,设想用相距为λ/2的若干平行于AC 的平面分割BC ，同时也就把狭缝上的波阵面分成一些等面积的部分，即菲涅耳半波带，从两个相邻半波带的对应点发出的光线到达AC 面时的光程差均为λ/2，相位差为π，经透镜会聚后相位差仍为π，故强度互相抵

图

2-1-1-1 夫琅禾费单缝衍射

消。据此可以推测：对应某确定的?方向，若单缝波阵面可分成偶数个半波带时，P k 处为暗条纹；若单缝波阵面可分为奇数个半波带时，P k 处将有明条纹；若半波带数为非整数，P k 处于明暗之间。总之，当?适合

?sin b BC =＝k λ（ｋ＝±1，

±2，…） （1） 时则产生暗条纹，当?适合 ?sin b BC =＝（2k ＋1）λ／2（ｋ＝±1，±2，…） （2） 时则产生明条纹。

对于强度的计算，为了清晰起见，图中狭缝的宽度AB 已经放大。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝的平面重合，将缝分割为一组平行于缝长的窄带，次波将由每一条这样的窄带发出，其振幅正比于窄带的宽度dx 。若设光的初相位为0，b 为缝AB 的宽度，Ao 则为所有的窄缝所射出的次波的合振幅，并且是在?=0的方向上。窄缝上的单位宽度的振幅为Ao/b,而次波，即由宽度为dx 的窄带所发出的，其振幅为Aodx/b,则各窄带（即狭缝处）所发次波的振动可用下式表示

t b Aodx

dEo ωcos =

（1） 这些次波都类似等同是球面波，并不断向前移动。现在，首先对与射入方向成?角（ 称为衍射角）的传播方向的全部的次波进行研究。在射入光束的平行波面AB 上各个次波都有相等的相位，通过透镜L 的光叠加在焦平面F 上的同一位置P 处。对于Pk 点的合振幅的计算，各次波的相位关系务必要代入,其由各窄带到P k 点的光程所决定。现在作垂直于衍射方向BC 的平面AC ，要确定在P k 点相遇的各次波的相位关系必须根据BC 面上的各个点的相位分布关系。利用从平面BC 上沿衍射方向的各个点通过透镜至P k 的光程都一样，从而只要计算出从平面BC 到平面AB 的各平行直线段的光程差即可。在图1-1中，MK 为衍射角等于?的任一条光线。令AM=x,则MK=xsin ?,这就是所要求的光程差，即分别从M 和A 两点射出的次波沿着与Mk 平行的方向到达平面AC 说产生的。综上，可得AC 面上K 点的光的振动表达式 )sin 2cos(t x b dx A dE o ω?λ

π

-= （2）

)

sin 2(t x i o e b

dx A dE ω?λ

π

-= （3）

则复振幅为

?

λ

π

sin 2x i o e b

dx A dE = （4）

为计算方便，公式中设到达Pk 点的各次波有相同的振幅（即光程与振幅成反比的关系和倾斜因子是不考虑的）。依据惠更斯-菲涅尔的理论，将公式对总的缝宽（从x=0到x=b ）进行积分。最后可得在观察点Pk 叠加起来的衍射为?的所有次波合振幅

?

λ

π?λπsin )

sin sin(b

b

Ao A p = （5） 令λ

?πo b U sin =，故Pk 的光强为u c I u u I I o o p 2

2

2sin sin == （6）

衍射图样的光强分布

不同的衍射角对应于光屏上不同的观察点，首先来决定衍射图样中光强最大值和最小值的位置，即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

0)sin cos (sin 2)sin (322

=-=u

u u u u u u du d 将上式对u 求导，得：0sin =u u u tan = 分别解以上两式，可得出所有的极值点。

图 2-1-1-2 夫琅禾费单缝衍射光强分布推导

由0sin =u ,解得满足λ

?πo

b Uo sin =的那个方向，即

0sin =o ?（中央最大值的位置） （2）单缝衍射最小值的位置

由0sin =u ,解得满足U k =λ

?πk

b sin 的一些衍射方向，即

b

k

k λ

?=sin (k=+1,+2,+3,...) (最小值位置)

（3）单缝衍射次级最大的位置

这些最大值通过解u=tanu 可求,利用图解法求得u 的值。作直线y=u 和正切曲线y=tanu,它们之间的交点即是这个超越方程的解：U k =1.4303π,2.459π,3.4709π,...

即次最大条纹的中心位置，代入相对光强分布方程得到次最大光强的大小。

2.1.2缝宽及入射光波长对条纹的影响 根据单缝衍射图像的特点

（1）各级亮条纹最大值的光的强度是不相等的。其中央最大值光的强度最强，中央亮条纹的最大值都远大于次级亮条纹的最大值，并伴随着级数k 的减小而很快地增大，即便是第一级次条纹光强最大值也不

图 2-1-1-3 夫琅禾费单缝衍射超越方程

（3）透镜的中心到各级亮条纹所张的角度称为角宽度，中央亮条纹的

角宽度等于b λ

2，即等于其他各级亮条纹角宽度的2倍。这个结论可如

下证明：屏上各级最小值到中心的角宽度满足b

k k λ

?=sin 。在?很小时，

它可近似写成 b

k

λ

?=? ，由于在最小值的位置公式中，k 可取所有不为零的正负整数，而中央亮条纹以k=+1的最小值位置为分界，故公式近似地为

b

λ

?2

2=?

若任意的两相邻暗纹之间为亮纹，故两侧亮纹的角宽度为

b b k b k λ

λλ?=-+=?)1(

（3）根据b

k

k λ

?=sin ，可知最小处形成的每一侧的暗纹是等间距的，而

次最大值彼此则间距是不会相等，不过随着级数k 增大，次最大值也就越接近于间距相等。

（4）上述只对单色光进行分析，若光源是白光，由于衍射图样中的明

暗条纹位置与波长λ有关，则条纹的角宽度正比于b

λ

，因此，除中央

最大值，衍射是由不同的波长所产生的图样将相互分开。于是观察到的衍射图样的中央亮纹的中心能是白色的，中央亮条纹的边缘部分将有彩色现象，其他各级彩色条纹则依次交叠展开。

（5）以下讨论一下缝宽b 衍射图样的影响。中央最大值的半角宽度??与波长λ成正比，与缝宽b 成反比，即 b

λ

?=

? （6）随着缝的宽度加大，λ和b 的比值减小。在b 》λ的极限情况下，

0→??，这里可认为衍射图样压缩成为一条亮线。由此可见，障碍物

使光强分布偏离几何光学规律的程度，可以用中央最大值的半角宽度来衡量。（3）式表明，只有在λ《b,衍射现象才可忽略不计；反之，λ越大或b 越小，衍射现象就愈显著。 由b

λ

?=

? 可得波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽,衍射现象就越明显。 若b 一定,改变λ对同一级(k 值定)条纹 λ↑，?↑,反之, λ↓，?↓ 若λ一定,改变b 对同一级(k 值定)条纹 b ↓，?↑缝越细，衍射越明显；b ↑，?↓缝宽到一定程度，无衍射现象，为直线传播。

2.2实验模拟

2.2.1 夫琅禾费单缝衍射条纹和光强图样

1.程序

clear; % 清除变量

x0=[]; % 建立空矩阵

f=inline('x-tan(x)');% 定义函数解超越方程

x0=[fzero(f,0),fzero(f,4),fzero(f,7)]% 解赋予空矩阵

x0 = 0 4.4934 7.7252

n1=3;% 解的个数

xm=(n1+1)*pi;% 自变量的最大值

xx=linspace(0,xm,1000);% 建立自变量向量

y=xx;% 建立正比列函数

figure % 创建图形窗口

hold on % 保持

plot(xx,tan(xx),'LineWidth',2) % 画曲线

plot(xx,y,'r -','LineWidth',2) % 画曲线

grid on % 加网格

axis([0,xm,-20,20]) % 设置曲线范围

fs=16;% 字体大小

title('超越方程\itu\rm=tan\itu\rm的解','FontSize',fs) % 标题

u=-8:0.1:8;% 中间变量

u(u==0)=eps;% 为零时变最小量

i=(sin(u)./u).^2;% 光强公式

figure % 创建图形窗口

plot(u,i,'r -','LineWidth',2)% 绘制曲线

xlabel('衍射角fai','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 定义横坐标

ylabel('相对光强i','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 定义纵坐标

title('夫琅禾费单缝衍射光的强度分布

','FontSize',19,'Fontname','黑体')%标题

text(3.6,0.85,'Single-slit diffraction');% 标记 grid on % 绘制网格 c=255;% 颜色大小 figure % 创建图形窗口 image(i*1000) % 画图像

ColorMap(gray(c))% 形成线性灰度色图 axis off % 隐轴

title('夫琅禾费单缝衍射条纹分布','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标题 2.图像

分析：每两个相邻暗条纹之间有一最大值（即次最大），这些最大值的位置可由超越方程u=tanu 解得。模拟图中通过交点可清晰准确的看出u 的值，由此得出次最大的位置，代入相对光强分布方程便可得到次最大光强的大小。

图 2-2-1-1 单缝衍射超越方程模拟图

分析：通过模拟图可得知单缝衍射光的强度分布中央最宽亮度最亮，两侧排列着宽度强度较小的亮条纹，相邻的亮条纹之间有一条暗条纹，并且从图中看出中央亮条纹是第一级亮条纹宽的两倍，第一级次最大值也不到中央最大值的5%。图像基本符合理论。 2.2.2不同缝宽下的条纹和光强分布 1.程序

clear;% 清除标量 l=710e-9;% 红光波长

d=[0.5,0.1,0.05]*1e-3;% 设置缝宽矩阵

图 2-2-1-3 单缝衍射条纹分布

图 2-2-1-2 单缝衍射光的强度分布

n=-1:0.0001:1;% 自变量向量

fai=n*pi/180;% 角度向量

[FAI,D]=meshgrid(fai,d);% 绘制三维网格，建立矩阵

u=2*pi*D.*sin(FAI)/l;% 中间变量

u(u==0)=eps;% 若零改为小量

i=(sin(u)./u).^2;% 光强

figure% 创建图形窗口

plot(fai,i,'-','LineWidth',2) % 画曲线

title('单缝夫琅禾费衍射不同缝宽的光强曲线

','FontSize',19,'Fontname','黑体')%标题

xlabel('衍射角fai','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标记横坐标

ylabel('相对光强i','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标记纵坐标

text(0.012,0.93,'红线representd=0.05');% 标注

text(0.012,0.83,'绿线representd=0.1');% 标注

text(0.012,0.73,'蓝线representd=0.5');% 标注

grid on% 绘制网格

c=255;% 颜色大小

figure% 创建图形窗口

image(i*1000) % 画图

ColorMap(gray(c))% 形成线性灰度色图

title('单缝夫琅禾费衍射不同缝宽下的条纹分布

','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标题

xlabel('至上而下：d=0.5 d=0.1 d=0.05','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标注

2.图像

分析：由模拟图像得知不同缝宽下衍射光强和条纹图像会改变，得知缝宽是影响其变化的要素之一，而从图中可观察到，随着缝宽的越来越窄，条纹间距就越大，光的强度就越明显，衍射现象就越显著。 2.2.3不同波长下的条纹和光强图像 1.程序

clear;% 清除变量 k=3;% 解的个数

图 2-2-2-1 不同缝宽下的衍射条纹分布模拟

图

2-2-2-2 不同缝宽下的衍射光强模拟图

d=0.1e-3;% 缝宽

l=[700,550,400]*1e-9;% 建立波长矩阵

n=-1:0.001:1;% ; 建立自变量向量

fai=n*pi/180;% 角度向量

[FAI,L]=meshgrid(fai,l);% 建立三维网格矩阵

u=2*pi*d*sin(FAI)./L;% 中间变量

u(u==0)=eps;% 若为零改小量

i=(sin(u)./u).^2;% 光强

plot(fai,i,'-','LineWidth',2) % 画曲线

plot(fai,i(1,:),'r ',fai,i(2,:),'g ',fai,i(3,:),'b ','LineWidth',2)% 画曲线title('单缝夫琅禾费衍射不同波长下的光强曲线

','FontSize',19,'Fontname','黑体')%

xlabel('衍射角fai','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标记横坐标ylabel('相对光强i','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标记纵坐标grid on% 保持

cm1=[0,0,0;0,0,0;1,0,0];% 颜色矩阵

cm2=[0,0,0;0,0,0;0,1,0];% 颜色矩阵

cm3=[0,0,0;0,0,0;0,0,1];% 颜色矩阵

figure% 创建图形窗口

m1=[];% 空矩阵

m2=[];% 空矩阵

m3=[];% 空矩阵

m1=i(1,:)% 取第一个波长对应的光强分布

image(m1*1000)% 画图

colorMap(cm1) % 形成图形

axis off % 隐轴

figure% 创建图形窗口

m2=i(2,:)% 取第二个波长对应的光强分布

image(m2*1000) % 画图

colorMap(cm2)% 形成图形

axis off % 隐轴

figure% 创建图形窗口

m3=i(3,:)% 取第三个波长对应的光强分布 image(m3*1000)% 画图 colorMap(cm3)% 形成图形 axis off% 隐轴

title('单缝夫琅禾费衍射不同波长下的条纹分布','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 2.图像

图 2-2-3-1 不同波长下的衍射光强分布模拟图

图 2-2-3-2 不同波长下的条纹分布模拟图

分析：由模拟图像得知不同波长下衍射光强和条纹图像会改变，得知波长是影响其变化的要素之一，而从图中可观察到，随着波长的越来越大，条纹间距就越大，光的强度就越明显，衍射现象就越显著。

3 杨氏双缝干涉

3.1实验分析

3.1.1双缝干涉条纹和光强分布

1801年，杨氏巧妙地设计了一种把单个波阵面分解为两个波阵面以确定两个光源之间的相位差的方法来研究光的干涉现象。杨氏用叠加原理解释了干涉现象，在历史上第一次测定了光的波长，为光的波动学说的确立奠定了基础。

图3-1-1-1 杨氏双缝干涉

杨氏利用了惠更斯对光的传播所提出的次波假设解释了这个实验。惠更斯认为波面上的任一一点都可看成是新的振源，并发出次波，光向前传播的原因就是所有这些次波相互叠加的结果。在杨氏实验装置中，S1和S2可看作是两个次波的波源，因为他们都是从同一个光源S 而来的，所以又恒定不变的相同相位。在杨氏的干涉实验装置中，

S,S1,S2都足够小，S1和S2就成为两个相干光源。