2011届高三文科数学会考试卷及答案
2011届金台区高三质量检测
文科数学参考答案2010.11
、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分把答案填在答
题卡中对应题号后的横线上
11、【答案】-6
（必做题11——14题，选做题15题）
12、【答案】9 13、【答案】4
扎1十2 3
14、【答案】（-3,，：）【解析】即并乜「3
2 2 2
15、选做题（考生只能从A、B、C题中选作一题）
A、（不等式证明选讲）【答案】（0, + ?）
B、（几何证明选讲）【答案】4cm
C （坐标系与参数方程）【答案】4 三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16、（本小题满分12分）
解：（I）设等差数列:a/?的公差为d,由a3 *5=8, S5 =15 ,
（印 2d）（印 4d） =8
5X4
5a< —d=15
4 3d =4 a1 - 2d -3 解得31
卫=1
a n二印亠〔n T d =1 （n -1） = n ,
故所求等差数列的通项公式为a*二n ...............................8?（「由（I）知bn = 2即=2n，由等比数列前n项和公式得T n = 2 2223... 2—如也=2n1-2
1 一2
??? T n=2n 1 -2 ..................... 12?
分
17、（本小题满分12分）
解：（I）：在ABC 中，5b2? 5c2-8bc=5a2
222
.b 十c —a 4…cosA
2bc 5
6 ?分3
又??? 0 A二,? sin A .
5
8 .分
又甲的标准差的平方(即方差)目=15, 乙的标准差的平方(即方差)S ： ”14.33, S
甲
S 2 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
3 4 (n)由(I)知 sin A , cosA -
5 5 ▼.. 兀 2兀
又?B , C
A 3
3
3 八1 .八3 43 cosA sinA 2 2
??? sinC 8 2 3 JI - A
10 12分
18、(本小题满分12分)
证明：(I)： AC 二 CB 二 PA 二 PB = 一 2 又0是AB 的中点，AB=2 ??? 0C 丄 AB , P0 丄 AB, 又 PO^OC =0
故AB 丄平面POC ................... 解: ( n ) ?/ AC 二 CB — 2 , 又0是AB 的中点，AB=2
? 0C 丄 AB , 0C =1，同理 P0 =1. 又 PC 二 2 ,
2 2 2
?- PC 2
=0C 2 P0=2
??? P0C =90：，即 P0丄 0C
1
…V p 4BC ■ S
P0C AB
3
6?分
12分
19、(本小题满分12分)
解：(I)由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为 ：
甲:82 81 79 88
乙:85 77 83 85
记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个 为(x, y),
用列举法表示如下：
(82.85) (82,77)(82,83)(82,85) (79.85) (79,77)(79,83)(79,85)
4
■甲的成绩比乙高的概率为
16 2.分
(81.85) (81,77)(81,83)(81,85) (88.85) (88,77)(88,83)(88,85) 4 分
4 (n)本小题的结论唯一但理由不唯一
合理解答即可得分.
(1)派乙参赛比较合适， 理由如下：
甲的平均分X 甲=82.5,乙的平均分X 乙
7 ?分
,只要考生从统计学的角度给出其
=82.5,甲乙平均分相同；
11分
.派乙去比较合适。............... 13?分
⑵派乙去比较合适,理由如下：
1
从统计学的角度看,甲获得85分以上（含85分）的概率R J
4
2 1
乙获得85分以上（含85分）的概率P2 =2 =丄，
4 2
甲的平均分X甲=82.5,乙的平均分X乙二82.5,平均分相同；
.派乙去比较合适.
⑶若学生或从得82分以上（含82分）去分析：
2 1
甲获得82分以上（含82分）的概率R = 2 =丄，
4 2
3
乙获得82分以上（含82分）的概率巳=3,
4
甲的平均分X甲= 82.5,乙的平均分＞乙-82.5,平均分相同；
.派乙去比较合适.（同样给此问的分）.
20、（本小题满分13分）
解：（I ）由已知f （x）的定义域为（1,+ ：：）,
f（X）= x -ax = x（x-a） ........................ 3 分当a_1时,在（1,+ 上f （x）0 ,则f （x）在（1,+ ：：）单调递增；
当a 1 时,在（1,a）上f （x）::: 0，在［a,：：）上f （x）0 , 所以f （x）在（1,a）单调递减，在⑻+血）上单调递增. ……7分
（n）当 a = 2 时，— , f（x） = x2-2x ........................................... 9 分
3
2 1
3 2
t
??? f （3）=3 -2 3=3, f（3） 3 -3 1 =1 .................. 11 分所以求曲线y=f（x）在点（3, f（3））处的切线方程为
y_1=3（x-3）即3x_y_8=0 .......................... 13 分21、（本小题满分14分）解：（I）设椭圆的半焦距为c,
由题意知—2,2 a ■ 2c = 4（、-2 ■ 1）
a 2
所以a = 22, c = 2，又a2 = b2? c2,因此b = 2
2 2
故椭圆的标准方程为—y = 1 ......................... 6?分
8 4
??? Ap[pB = 1 訂 Op^1, T
??? OAOB = (OP PA)jOp PB) =OP +OPcPB+PAOP+PA?B
=1+0+0-仁0,
即 X 1X 2 y 』2 0
将y = kx m 代入椭圆方程，得
(1 2k 2)x 2 4kmx (2m 2 -8) =0
2
4 km
2 m 8
由求根公式可得 x 1 x 2
2，
X 1X 2
2
1
2
1 +2k 2
1 2
1 +2k 2
0 = X 4X 2
y i y 2
= x 1
x 2
(kx 1
m)(kx 2
m)
=x 1
x 2
k 2x 1
x 2
km(x 1
x 2
) m 2
2 2
=(1 k )x 1
x 2
km(x 1
x 2
) m
因此(1 k 2)(2m 2 -8) -4k 2m 2 m 2(1 2k 2) = 0 将m 2二k 2 ? 1代入上式并化简得 k 2 - -1 , 即此时直线丨不存在；
............. 10?分
(ii)当丨垂直于X 轴时，满足|OP| = 1的直线丨的方程为X = 1或X = -1 , 当 X =1 时，A,B,P 的坐标分别为(1, —),(1, - 一),(1,0),
2 2
14 14
? AP 二(0, ), PB 二(0,
APdPB
(n)设 A ， B 两点的坐标分别为 (X t , y ,),( x 2, y 2)，
假设使
(i)当丨不垂直于x 轴时，设丨的方程为y 二kx ? m ,
由丨与n 垂直相交于P 点且|OP |=1得—1
m
1
—
=1,即m 2二k 2
? 1
1 + k 2
=1+0+0-1=0,
7
2
2
二AP P 踐彳式1
当x - -1斗同理可得AP D P ： = i ，矛盾，即此时直线丨不存在 综上可知，使 AP[]Pm =1成立的直线丨不存在. ................ 14分