高考数学前四个大题专项训练Word版
高考数学前四个大题专项训练
1.（本题12分）.已知(sin ,cos )a θθ=与(3,1)b =，其中(0,
)2
π
θ∈
（1）若//a b ，求sin cos θθ与的值； （2）若2
()()f a b θ=+，求()f θ的值域。
2.（本题12分）已知集合{}
(,)[1,2],[1,1]x y x y ∈∈-
（1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率。
3.（本题14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=4，DC=3，E
是PC 的中点。
（1）证明：PA//平面BDE ；
（2）求△PAD 以PA 为轴旋转所围成的几何体的体积。
4.（本题14分）.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点（n ，S n ）在二次函数f(x)=x 2
+c
的图象上。 （1）求c ，a n ； （2）若2
n
n n a k
，求数列{k n }前n 项和T n 。
P E C B
A
D
附加1.（本题14分）.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且曲线过点1,2? ??
， （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点不在圆2
2
5
9
x y +=内，求m 的取值范围。
附加2.（本题14分）设函数3211()232f x x x x =
-+，21
()(2)2
g x ax a x =--， （1）对于任意实数[]1,2x ∈-，()f x m '≤恒成立，求m 的最小值；
（2）若方程()()f x g x =在区间(-1,+∞)有三个不同的实数根,求a 的取值范围.
前四个大题专项训练（一）答案
16、解：（1）∵//a b ，∴sin 3cos 0θθ-=∴tan 3θ=∵(0,
)2
π
θ∈，∴3
π
θ=
∴31
sin ,cos 2
θθ=
=。 （2）2
()()f a b θ=+222a a b b =+?+12(3sin cos )4θθ=+++4sin()56
π
θ=+
+
∵2(0,
)(,)2
663π
π
ππθθ∈?+
∈ ∴1
sin()(,1]62
πθ+∈ ∴()f θ的值域为(7，9]。 17、解：（1）若x 、y ∈Z ，则集合{(x,y)|x ∈[0，2]，y ∈[-1，1]}表示的点有：
（0，-1）、（1，-1）、（2，-1）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、 （0，1）、（1，1）、（2，1），一共9个点，而满足条件x+y ≥0 的点有除（0，-1）以外的其它8个点， ∴所求的概率为P=
89
（2）若x 、y ∈R ，则集合{(x,y)|x ∈[0，2]，y ∈[-1，1]}表示的平面区域如图所示，
是一个边长为2的正方形。
而满足条件x+y ≥0的点所构成的区域为图中的阴影部分。
∴由几何概型的计算公式可得：P=22112114722248
-??-
== ∴所求的概率为7
8
。
18、证明：（1）连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE 。 则O 为AC 中点，又E 为PC 中点，
∴OE//PA 。
∵OE 在平面BDE 内，而PA 不在平面BDE 内， ∴PA//平面BDE 。
（2）将△PAD 以PA 为轴旋转所围成的几何体是一个
以AD 的长为底面圆的半径，以PD 的长为高的圆锥。
∴根据圆锥体的体积公式可得213V AD PD π=
???21
343
π=???12π=
19、解：（1）依题意，有2222
22
21
12
221211b a a b a b ?-=???=?????
??=? ???
???+=??，∴所求椭圆C 的方程为：2212x y +=。 （2）由22
22
y x m
x y =+??
+=?消去y ，得22
342(1)0x mx m ++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2
2
16432(1)0m m ?=-??->，得2
3m <，（1）
由韦达定理得：124,3
m
x x +=-
， 设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则120223x x m x +==-，00233
m m
y x m m =+=-+=
即点2,33m m M ??
-
???
，又点M 不在2259x y +=内，∴22225()()1339m m m -+≥?≥
∴2
1311m m m ≤
的取值范围是()()1
1,3-。
20、解：（1）设等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2
+Bn ，
依题意，S n =n 2+c 对任意的n ∈N *都成立，即：An 2+Bn=n 2+c 对任意的n ∈N *
都成立， 比较两边的系数，可知：A=1，B=0，c=0。
从而，S n =n 2
，
∴当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n 2-（n-1）2
=2n-1， 又n=1时，a 1=1，也符合上式， ∴a n =2n-1。
（2）∵2122n n n n a n k -=
=，∴2313521
2222n n
n T -=+++???+ ∴234111352321222222
n n n n n T +--=+++???++， ∴234111111
121
22
222222
n n n n T +-??=
++++???+- ???∴2332n n
n T +=-。 21、解：（1）∵32
11()232
f x x x x =
-+ ∴2
2
177()2,4244f x x x x m ?
???'=-+=-+∈≤ ????
???，∴4m ≥，m 的最小值为4。
（2）设()3211
()()()132
h x f x g x x a x ax =-=
-++，则()()()2()11h x x a x a x x a '=-++=-- 当a =1时，()2()10h x x '=-≥，32
1()3
h x x x x =-+在R 上是单调递增函数，
∴()0h x =最多只有一个实数根，与题设矛盾。 ∴a ≠1，此时()3211
()132
h x x a x ax =
-++有两个极点，x=1和x=a ， 依题意，必有2
011311(1)()03(31)(3)06
6a a a h h a a a a >?>-??
??<
?
??
。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）