离散数学复习纲要二
201209学期《离散数学》复习纲要二
一、单项选择题
1．命题“小张不是跳高运动员”，可以符号化为（ ）。设():M x x 是跳高运动员；C:小张。 A.()M c B.()M x ? C.()M c ?
D.()M x
2．设{}
2
16A x x x =<是整数且，下面哪个命题为假？（ ） A.A ??
B.{}3,2,1A ---?
C.{}4x x x A
D.{}0,1,2,4A ? 3．任意两个不同小项的合取式为（ ）。
A.永假式
B.永真式
C.可满足式
D.重言式
4．谓词公式()()()()()()x P x y R y Q x ?∨?→中变元x 是（ ）。
A.自由变元
B.约束变元
C.既不是自由变元，也不是约束变元
D.既是自由变元，也是约束变元
5．下列各式中判断自由变元和约束变元不正确的是（ ）。
A.()()()()()()()()x P x R x S x x P x Q x ?∨∧→?∧,其中x 是约束出现
B.()()()()x Q x P x R y ?→∧,其中x 是约束出现，而y 是自由出现
C.()()()()x y P x Q x S y ???→∧, 其中x 和y 都是约束出现
D.()()(),x P x yR x y ?∧?, 其中x 和y 都是约束出现 6．设{}{},,4,A B B A =?=?= 则（ ）。
A.?
B.E
C.B
D.{4}
7．设S A B ??,下列各式中（ ）是正确的。
A.domS B ?
B.domS A ?
C.ranS A ?
D.domS ranS S =
8．给定{}1,3,1,4,2,3
,1,2,3,4,2,4,3,4A A R R ????
==?
????
?
上的关系为，则R 满足的性质是（ ）
。A.自反的 B.对称的
C.传递的
D.不可传递的
9．设,A B A ≤?是偏序集，,下面结论正确的是（ ）。
A.B b B ∈的极大元是唯一
B.B b A ∈的极大元是不唯一
C.B b A ∈的上确界是唯一
D.B b B ∈的上确界是不唯一
10．集合｛a,b,c ｝到集合｛0,1｝可定义的特征函数的个数为（ ）。
A.3
B.6
C.8
D.9
11．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的，对于任意,a b N ∈。
A.()max ,a b a b *=
B.a b a b *=-
C.5a b a b *=+
D.a b a b *=- 12．三阶群中不同构的有（ ）个。
A.1
B.2
C.3
D.4
13．设12,,,V R V R +=+=*，其中R 为实数集合，R +为正实数集合，+和*分别表示普通的加法和乘法，令():,x
R R x e ??+
→=，下面四个命题中为真的是（ ）。
A.12
V V ?是到的自同态
B.12
V V ?是到的自同构
C.1
2
V V ?是到的同构
D.1
2
V V ?是到的映射，但A,B,C 都不是
14．设,V N =+，其中N 为自然数集合，+为普通加法，令():,2N N x x ??→=，下面四个命题为真的是（ ）。
A.?是满同态
B.?是单自同态
C.?是自同构
D.?是V 到自身的映射，但A,B,C 都不是 15．任意具有多个等幂元的半群，它（ ）。
A.不能构成群
B.不一定能构成群
C.不能构成交换群
D.能构成交换群
16．在整数集合Z 上定义二元运算:2a b a b **=++，则Z 上关于*的幺元（即单位元）是（ ）。 A.1 B.2 C.-1
D.-2
17．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度结点有6个，其余结点的度数均小于3，则G 中
结点数至少是（ ）。 A.6
B.8
C.9
D.12
18．完全图K 4是可平面图， K 4的面数为（ ）。
A.3
B.4
C.5
D.6 19．任何图中必定有偶数个（ ）。
A.度数为偶数的结点
B.入度为奇数的结点
C.度数为奇数的结点
D.出度为奇数的结点 20．n 阶有向完全图的边数为（ ）。
A.n
B.()1n n -
C.1n -
D.()12
n n -
二、判断题（正确填“T ”，错误填“F ”） 1．一阶逻辑公式()()(),x F x G x y ?→是闭式。
（ ）
2．设12,,,n p p p 是不同的命题变元，关于12,,,n p p p 的极大项是简单析取式，但简单析取式不一定是极大项。
（ ） 3．A,B 是集合，A B φ⊕=,当且仅当A=B 。
（ ） 4．设A 为任意一个集合，则()A A A φ⊕-=。
（ ） 5．设A,B,C,D 都是集合，如果,A B C D A C B D ?????则有和。 （ ） 6．设{}{}1,2,3,1,1,2,3,1,3
A k ==则是一个函数。
（ ） 7．任何群G 都至少有两个平凡子群。
（ ）
三、填空题
1．原子Q 既可说成是______范式，也可说成是______范式。
2．如果把可达性看成是有向图结点集上的一个二元关系，那么它具有______和______性质。 3．设*为集合A 上二元运算，若A 中一个元素e ，它既是______，又是______，则称e 是A 中关于*的幺元。
4．设代数系统,,,,,V Q Q x y Q x y x y xy =**?∈*=+-其中是有理数集合，表示对有则Q *上关于的幺元（或称单位元）是______。
四、综合题
构造下面命题推理的证明：
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
201209学期《离散数学》复习纲要二答案一、单项选择题
CDADC ABCCD AACBA BCDCD
二、判断题（正确填“T”，错误填“F”）
FTFTF FT
三、填空题
1、合取析取
2、自反性传递性
3、左幺元右幺元
4、0
四、综合题
解：p：今天是星期三。
q：我有一次英语测验。
r：我有一次数学测验。
s：数学老师有事。
前提：p→(q∨r) , s→?r , p∧s
结论：q
证明：①p∧s 前提引入
②p ①化简
③p→(q∨r) 前提引入
④q∨r ②③假言推理
⑤s ①化简
⑥s→?r 前提引入
⑦?r ⑤⑥假言推理
⑧q ④⑦析取三段论
推理正确。
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）
广工2013年数值计算方法期末试卷
广工2013年数值计算方法期末试卷
1、舍入误差是( )产生的误差。 A 只取有限位数 B 模型准确值与用数值方法求得的准确值 C 观察与测量 D 数学模型准确值与实际值 2、设求方程()0=x f 的根的牛顿迭代收敛，则它具有_ __收敛。 A 线性 B 至少平方 C 平方 D 三次 3、用1+3x 近似表示3 1x +所产生的误差是( )误差。 A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 4、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 5、用选主元法解方程组b AX =，是为了_ ___。 A 提高运算速度 B 减少舍入误差 C 增加有效数字 D 方便计算 6、求解线性方程组Ax =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( )。 A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 广东工业大学考试试卷 ( A ) 课程名称: 数值计算方法 试卷满分 100 分 考试时间: 年 月 日 (第 周 星期 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一、 单项选择题（每题3分，共45分）
A y=?(x)与x 轴交点的横坐标 B y=x 与y=?(x)交点的横坐标 C y=x 与x 轴的交点的横坐标 D y=x 与y=?(x)的交点 8、用列主元消去法解线性方程组?? ? ??-=+--=-+-=+-1 340921 43321321321x x x x x x x x x ，第1次消元，选择 主元为( ) 。 A －4 B 3 C 4 D －9 9、采用全主元消去法解线性方程组，程序结束后，得到的跟踪数组为：z(1)=3, z(2)=2, z(3)=1; 解为：c x b x a x ===321,,。那么该方程组的最终解3 21,,x x x 分别为（ ） A c b a ,, B a c b ,, C b a c ,, D a b c ,, 10、为求方程x 3－x 2－1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。 A 1 1:,1 1 12 -=-= +k k x x x x 迭代公式 B 2 121 1:,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 C 3 /1212 3 )1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 D 1:,12 2 3 +==-k x x x x 迭代公式
屈婉玲版离散数学课后习题答案【2】
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 第一章，0命题逻辑 素数 = 质数，合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式 (┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值 第二章，命题逻辑等值演算 （1）双重否定律??A?A （2）等幂律 A∧A?A ； A∨A?A （3）交换律 A∧B?B∧A ； A∨B?B∨A （4）结合律（A∧B）∧C?A∧（B∧C）；（A∨B）∨C?A∨（B∨C） （5）分配律（A∧B）∨C?（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C?（A∧C）∨（B∧C） （6）德·摩根律?（A∨B）??A∧?B ；?（A∧B）??A∨?B （7）吸收律 A∨（A∧B）?A；A∧（A∨B）?A （8）零一律 A∨1?1 ； A∧0?0 （9）同一律 A∨0?A ； A∧1?A （10）排中律 A∨?A?1 （11）矛盾律 A∧?A?0 （12）蕴涵等值式 A→B??A∨B （13）假言易位 A→B??B→?A （14）等价等值式 A?B?（A→B）∧（B→A） （15）等价否定等值式 A?B??A??B??B??A （16）归缪式（A→B）∧（A→?B）??A A i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真，∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*） = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下： ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式， 00，01，10，11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式 《数学模型》课程教学大纲 Mathematics Modeling 课程编号：课程性质：专业基础理论课/ 选修 适用专业：信息安全、统计开课学期：4 学时数：56 学分数：3.5 编写年月：2006年6月修订年月：2007年1月 执笔者：陈学松 一、课程的性质、目的及任务 随着科学技术和计算机的迅速发展，数学向各个领域的广泛渗透已日趋明显，数学不仅在传统的物理学、电子学和工程技术领域继续发挥着重要的作用，而且在经济、人文、体育等社会科学领域也成为必不可少的解决问题工具。“数学建模”课是培养学生在实际问题中的数学应用意识、训练学生把科技、社会等领域中的实际问题按照既定的目标归结为数学形式，以便于用数学方法求解得出更深刻的规律和属性，提高学生数学建模素质的一门数学应用类课程。因此，设立数学建模课程的意义在于：提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力，大力培养应用型人才。本课程是沟通实际问题与数学工具之间联系的必不可少的桥梁。是一门充分应用其它各数学分支的应用类课程，其主要任务不是“学数学”，而是学着“用数学”，是为培养善于运用数学知识建立实际问题的数学模型，从而善于解决实际问题的应用型数学人材服务的。通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，培养学生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。 二.课程教学基本要求 通过本课程的学习，使学生了解数学建模是利用数学知识构造刻划客观事物原型的数学模型，利用计算机解决实际问题的一种科学方法。掌握数学建模的基本步骤，即从实际问题出发，遵循“实践——认识——实践”的辨证唯物主义认识规律，紧紧围绕建模的目的，运用观察力、想象力和逻辑思维，对实际问题进行抽象、简化、反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。会利用数学知识和计算机解决问题，并能够撰写符合要求的数学建模论文。 三．课程教学基本内容、重点和难点 本课程的目的不是向学生传授系统的数学知识，而是将已学过的知识灵活运用到实际问题当中。其教学要求是逐步培养学生能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，然后再解释实际现象，继而应用于实际的思想方法，最终提高学生的数学素质和应用数学知识 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。 数据库原理实验报告 学院计算机学院 专业计算机科学与技术班级2011 级7 班 学号3111XXXX 姓名XXX 指导教师明俊峰 （2013 年11 月） 计算机学院计算机专业2011（7）班学号：3111 姓名：协作者：________ 教师评定： 实验__一__题目__ 数据库及基本表的建立 _ 实验__二__题目__ 设计数据完整性 __ 实验__三__题目__ 查询数据库 __ 实验平台：SQL Server 2005 计算机学院计算机专业2011（7）班学号：3111 姓名：协作者：________ 教师评定： 实验题目一、数据库及基本表的建立 一、实验目的 1、掌握SQL SERVER的查询分析器和企业管理器的使用； 2、掌握创建数据库和表的操作； 二、实验内容和要求 1、分别使用SQL语句、企业管理器（Enterprise Manager）创建数据库； 2、使用SQL语句、企业管理器（Enterprise Manager）创建数据库表； 三、实验主要仪器设备和材料 1．计算机及操作系统：PC机，Windows 2000/xp； 2．数据库管理系统：SQL sever 2000/2003/2005； 四、实验方法、步骤及结果测试 创建一个教学管理数据库SC，其描述的信息有：学生信息、课程信息、教师信息、学生选课成绩、授课信息、班级信息、系部信息、专业信息。 创建：student表(学生信息表)、course表（课程信息表)、teacher表（教师信息表)、student _course表（学生选课成绩表)、teacher_course表（教师上课课表）等。 1、创建数据库： 确定数据库名称；数据库用于学生管理，命名为SC 确定数据库的位置；要求：数据文件和日志文件分别存储在E盘自己的目录下。 确定数据库的大小；根据实际的数据量确定数据文件的初始大小为30MB，日志文件的初始大小为3MB。 确定数据库的增长；根据实际情况，确定数据文件按20%增长，日志文件按1MB增长。（1）、利用查询分析器（Query Analyzer），使用SQL语句指定参数创建数据库； 1 离散数学笔记（特级教师精心整理） 第一章命题逻辑 内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点： 1．命题的概念及判断 2．联结词，命题的翻译 3．主析（合）取范式的求法 4．逻辑推理 教学难点： 1．主析（合）取范式的求法 2．逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。R：我是一名大学生。 1.2命题联结词 （1） P↑P?﹁（P∧P）?﹁P； （2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 （1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P； （2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q； （3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如，下面的符号串都是公式： （（（（﹁P）∧Q）→R）∨S） （（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R 以下符号串都不是公式： （（P∨Q）?（∧Q））（∧Q） 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为：（?P→Q）∧（P→（R∨S））。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1，P2，…，P n是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定P1，P2，…，P n的一组真值，称这组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I下的真值记作T I（G）。 例如， 是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即T I（G）=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。 构造真值表的方法如下： （1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…，P n。 自动化学院自动化专业班学号 姓名实验时间2011.3.14 教师评定 实验题目数据定义 实验报告一 一、实验目的与要求 目的：使用SQL语言实现数据库的创建、删除；基本表的创建、删除、更新工作；以及索引的创建、删除工作。 要求：1、在SQL SERVER 2000查询分析器中，利用SQL语言中CREATE、DROP 命令实现数据库的创建及删除工作。 2、在SQL SERVER 2000查询分析器中，利用SQL语言中CREATE、ALTER及DROP命令进行基本表的创建、更新、删除工作，并实现基本表中各类完整性约束条件的限定。 3、在SQL SERVER 2000查询分析器中，利用SQL语言中CREATE、ALTER及DROP命令进行基本表中索引的创建、更新、删除工作。 4、完成上述工作后，在SQL SERVER 2000企业管理器中，查看是否成功创建实验所要求数据库、基本表、各类完整性约束条件及索引等内容。 二、实验方案 所有实验内容必须在SQL Server 2000的查询分析器中完成，设置查询分析器的结果区为Standard Execute（标准执行）或Executed Grid(网格执行)方式．发布执行命令．并在结果区中查看查询结果，如果结果不正确则需要进行修改，直到正确为止。要求完成如下内容： 1．定义数据库 定义一个借阅数据库，要求所定义的数据库大小为1M，且数据库名称为Labery_学号。 2．定义下列数据库基本表 在所定义的借阅数据库Labery_学号中，按要求定义如下数据库表： 1）书（book） 列名别名类型及长度是否可为空书号bno char(8)否 类别category varchar(10)否 书名title varchar(40)否 出版社press varchar(30)是 年份book_year Int否 作者author char(20)是 价格price decimal(7,2)否 总藏书量book_total Int否 2）借书证（card） 列名别名类型及长度是否可为空卡号cno char(7)否 姓名name char(8)否 单位department varchar(40)是 类别type char(1)否 3）借书记录（borrow） 列名别名类型及长度是否可为空卡号cno char(7)否 书号bno char(8)否 借书日期borrow_date smalldatetime否 还书日期return_date smalldatetime是 3．完整性约束条件： 主要内容为： 1）确定各基本表的主码； 2）确定各基本表的外码； 3）要求在定义各基本表的同时，确定如下完整性约束条件 1、定义各基本表主码，并且要求主属性不能为空； 2、如果有外码，定义各基本表外码； 3、要求检查借书证中属性Type的值是否为('T','G','U','F'))； 4、借书记录borrow基本表中borrow_date默认日期为当前时间。4）确定各基本表哪些字段需要建立索引。 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项； 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法 (=>) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取 ^; 3.既有存在又有全称量，先消存在量，再消全称量； 第四章集合 1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ??，不包括 0； 2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3.集：定集合 A，以集合 A 的所有子集元素成的集合，P(A) ； 4.若集合 A 有 n 个元素，集 P(A) 有2 n个元素， |P(A)|= 2| A| = 2 n； 5.集合的分划： (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合； ② 几个子集相交空，相并全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比： 分划：每个元素均出且出一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出，没有要求只出一次； 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，笛卡 A×B 的基数mn， A 到 B 上可以定2mn种不同的关系； 2.若集合 A 有 n 个元素， |A ×A|= n2，A 上有2n2个不同的关系； 3.全关系的性：自反性，称性，性； 空关系的性：反自反性，反称性，性； 广东工业大学试卷用纸，共 6 页，第 1 页 广东工业大学试卷用纸，共 6 页，第2 页 课程名称: 离散数学B卷标准答案 考试时间:第 21 周星期五 ( 2007年1月 26日) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 二、填空题(本大题共8小题，每空3分，共24分) 1.重言、永假 2. (P ∧￢Q) ∨ (￢P∧ Q) 3. ?,{?} 4. P(x) ∨ (?y)R(y) 5. 6 6. {?,{a}, {b}, {a, b}} 7. { 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={离散数学重点笔记
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