【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲(11
月15日)
1.(本小题15分)(2013·山东烟台二模)设数列{a n }的各项都为正数,其前n 项和为S n ,已知对任意n ∈N *
,S n 是a 2
n 和a n 的等差中项.
(1)证明数列{a n }为等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)证明1S 1+1S 2+…+1
S n
<2.
解 (1)由已知得,2S n =a 2
n +a n ,且a n >0, 当n =1时,2a 1=a 2
1+a 1,解得a 1=1(a 1=0舍去); 当n ≥2时,有2S n -1=a 2
n -1+a n -1. 于是2S n -2S n -1=a 2
n -a 2n -1+a n -a n -1, 即2a n =a 2
n -a 2
n -1+a n -a n -1.
于是a 2
n -a 2n -1=a n +a n -1,即(a n +a n -1)(a n -a n -1)=a n +a n -1. 因为a n +a n -1>0,所以a n -a n -1=1(n ≥2). 故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列. 所以数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)证明:因为a n =n ,则S n =n n +
2
,
1S n =
2n
n +
=2? ??
??1
n -1n +1,
所以1S 1+1S 2+…+1S n
=2??????? ????1-12+? ????12-13+…+? ????1
n -1n +1=2? ??
??1-1n +1<2. 2.(本小题15分)(2013·福建福州二模)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的右焦点为F ,
上顶点为A ,P 为C 1上任一点,MN 是圆C 2:x 2
+(y -3)2
=1的一条直径,若与AF 平行且在y 轴上的截距为3-2的直线l 恰好与圆C 2相切.
(1)求椭圆C 1的离心率;
(2)若PM →·PN →
的最大值为49,求椭圆C 1的方程.
解 (1)由题意可知直线l 的方程为bx +cy -(3-2)c =0,因为直线l 与圆C 2:x 2
+(y -3)2
=1相切,所以d =
|3c -3c +2c |
b 2+
c 2
=1,即a 2=2c 2
,从而e =
22
.
(2)设P (x ,y ),圆C 2的圆心记为C 2,则x 2
2c +y
2
c =1(c >0),又PM →·PN →=(PC 2→+C 2M →)·(PC 2
→
+C 2N →
)=PC 2
2→
-C 2N 2
→
=x 2
+(y -3)2
-1=-(y +3)2
+2c 2
+17(-c ≤y ≤c ).
①当c ≥3时,(PM →·PN →
)max =17+2c 2
=49, 解得c =4,此时椭圆方程为
x 232+y 2
16
=1;
②当0 )max =-(-c +3)2 +17+2c 2 =49,解得c =±52-3但c =-52-3<0,且c =52-3>3,故舍去. 综上所述,椭圆C 1的方程为x 232+y 2 16 =1. 3.(本小题15分)(2013·湖南卷)过抛物线E :x 2 =2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1, k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2.l 1与E 相交于点A ,B ,l 2与E 相交于点C ,D ,以AB ,CD 为直径的圆M ,圆N (M ,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l . (1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM → ·FN → <2p 2 ; (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为75 5,求抛物线E 的方程. 解 (1)由题意,抛物线E 的焦点为F ? ? ??? 0,p 2, 直线l 1的方程为y =k 1x +p 2 . 由??? ?? y =k 1x +p 2,x 2=2py 得x 2-2pk 1x -p 2 =0. 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实数根.从而x 1+x 2=2pk 1,y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p =2pk 2 1+p . 所以点M 的坐标为? ? ??? pk 1,pk 2 1+p 2,FM → =(pk 1,pk 2 1). 同理可得点N 的坐标为? ? ??? pk 2,pk 2 2+p 2,FN → =(pk 2,pk 2 2). 于是FM → ·FN → =p 2 (k 1k 2+k 21k 2 2). 由题设,k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2,所以0 ??k 1+k 222=1. 故FM →·FN → (1+12 )=2p 2 . (2)由抛物线的定义得|FA |=y 1+p 2,|FB |=y 2+p 2 , 所以|AB |=y 1+y 2+p =2pk 21+2p ,从而圆M 的半径r 1=pk 2 1+p . 故圆M 的方程为(x -pk 1)2 +? ? ???y -pk 2 1-p 22 =(pk 21+p )2 , 化简得x 2+y 2-2pk 1x -p (2k 2 1+1)y -34 p 2=0. 同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x -p (2k 2 2+1)y -34 p 2=0. 于是圆M ,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x +(k 2 2-k 2 1)y =0. 又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2,则l 的方程为x +2y =0. 因为p >0,所以点M 到直线l 的距离 d =|2pk 2 1+pk 1+p |5=p |2k 2 1+k 1+1|5 = p ???? ? ? 2? ????k 1+142+78 5 . 故当k 1=-14时,d 取最小值7p 85. 由题设,7p 85=75 5,解得p =8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2 =16y . 4.(本小题15分)(2013·福建卷)已知函数f (x )=x -1+a e x (a ∈R ,e 为自然对数的底 数). (1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数f (x )的极值; (3)当a =1时,若直线l :y =kx -1与曲线y =f (x )没有公共点,求k 的最大值. 解 (1)由f (x )=x -1+a e x ,得f ′(x )=1-a e x . 又曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴, 得f ′(1)=0,即1-a e =0,解得a =e. (2)f ′(x )=1-a e x , ①当a ≤0时,f ′(x )>0,f (x )为(-∞,+∞)上的增函数,∴函数f (x )无极值. ②当a >0时,令f ′(x )=0,得e x =a ,x =ln a . x ∈(-∞,ln a ),f ′(x )<0,x ∈(ln a ,+∞),f ′(x )>0, ∴f (x )在(-∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,+∞)上单调递增, 故f (x )在x =ln a 处取得极小值,且极小值为f (ln a )=ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值; 当a >0时,f (x )在x =ln a 处取得极小值ln a ,无极大值. (3)当a =1时,f (x )=x -1+1 e x . 令g (x )=f (x )-(kx -1)=(1-k )x +1 e x , 则直线l :y =x -1与曲线y =f (x )没有公共点, 等价于方程g (x )=0在R 上没有实数解. 假设k >1,此时g (0)=1>0,g ? ?? ??1k -1=-1+1e 1k -1 <0, 又函数g (x )的图象连续不断,由零点存在定理,可知g (x )=0在R 上至少有一解,与“方程g (x )=0在R 上没有实数解”矛盾,故k ≤1. 又k =1时,g (x )=1 e x >0,知方程g (x )=0在R 上没有实数解. ∴k 的最大值为1. 5.(本小题15分)(2013·陕西卷)已知函数f (x )=e x ,x ∈R . (1)若直线y =kx +1与f (x )的反函数的图象相切,求实数k 的值; (2)设x >0,讨论曲线y =f (x )与曲线y =mx 2 (m >0)公共点的个数; (3)设a f a +f b 2 与 f b -f a b -a 的大小,并说明理由. 解 (1)f (x )的反函数为g (x )=ln x . 设直线y =kx +1与g (x )=ln x 的图象在P (x 0,y 0)处相切, 则有y 0=kx 0+1=ln x 0,k =g ′(x 0)=1 x 0 , 解得x 0=e 2 ,k =1e 2. (2)曲线y =e x 与y =mx 2 的公共点个数等于曲线y =e x x 2与y =m 的公共点个数. 令φ(x )=e x x 2,则φ′(x )= e x x -x 3 ,∴φ′(2)=0. 当x ∈(0,2)时,φ′(x )<0,φ(x )在(0, 2)上单调递减; 当x ∈(2,+∞)时,φ′(x )>0,φ(x )在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x )在(0,+∞)上的最小值为φ(2)=e 2 4. 当0 4时,曲线y =e x x 2与y =m 无公共点; 当m =e 24时,曲线y =e x x 2与y =m 恰有一个公共点; 当m >e 24时,在区间(0,2)内存在x 1=1m ,使得φ(x 1)>m ,在(2,+∞)内存在x 2=m e 2 , 使得φ(x 2)>m .由φ(x )的单调性知,曲线y =e x x 2与y =m 在(0,+∞)上恰有两个公共点. 综上所述,当x >0时, 若0 4,曲线y =f (x )与y =mx 2 没有公共点; 若m =e 24,曲线y =f (x )与y =mx 2 有一个公共点; 若m >e 24,曲线y =f (x )与y =mx 2 有两个公共点. (3)可以证明 f a +f b 2 > f b -f a b -a .事实上, f a +f b 2>f b -f a b -a ?e a +e b 2>e b -e a b -a ?b -a 2>e b -e a e b +e a ? b -a 2>1-2e a e b +e a ? b -a 2 >1- 2 e b -a +1 (b >a ).(*) 令ψ(x )=x 2+2 e x +1 -1(x ≥0), 则ψ′(x )=1 2- 2e x x + 2 = x + 2 -4e x x + 2 = x -2x + 2 ≥0(仅当x =0时等号成 立), ∴ψ(x )在[0,+∞)上单调递增. ∴x >0时,ψ(x )>ψ(0)=0. 令x =b -a ,即得(*)式,结论得证.