2.7二次根式(二)
2.7二次根式（二）2014.10.9
一、教学目标:
学习内容
学习层级
例题及变式
检测题
了解 识记
理解 掌握
运用
知识 技能 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．
√
2.在探究、合作活动中，发展学生探究
能力和合作意识．
√ 例3 练习1、
3. 通过对公式的逆运用，感受数学的严谨
性以及数学结论的确定性
√
例4 2
数学
思考
在有理数范围内我内我们都学过哪些运算
问题
解决
实数的运算律
情感
态度 从具体实例出发，通过类比把有理数的运算律推广到实数范围
二、重难点：
教学重点： 利用化简对实数进行简单的四运算 教学难点： 实数的四则运算
三、学生分析：
在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b
a b a ?=?
（a ≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。
四、教学方法：导、学、练。 五、教具准备：ppt ； 六、教学流程：
七、教学过程设计
第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课
题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。
第二环节：知识探究
1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算：
明晰概念 探究新知 知识巩固 知识拓展
课时小结
随堂练习
布置作业，课外延伸
面积8
面积2
（1）326?
；（2）2
36?；（3）52。 解：
（1）略 （2）
236?＝
2
36?＝
2
3
6?＝9＝3 （3）
5
2＝＝
5
2＝5552??=510
说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．
第三环节：巩固练习
例4 计算：
（1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-
；
（6）2
188+。 解：（1）3322?=32??32?=66；
（2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-
51613633
1312=-=-=?-?=； （6）
2188+532942
1828=+=+=+=。 意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。本例
还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力。
例5 计算：
（1）483+；（2）515-
；（3）4
(
3)63
+?。 解：（1）483+＝1633?+＝1633?+＝433+＝53；
（2）515-
＝2555-＝25
5
5-＝555-＝554； （3）4(
3)63+?4
6368182232523
=?+?=+=+=。 课堂练习1：
1.化简：（1）18；（2）
25；（3）7533-；（4）2
1
12-．（5）6)334(?+ 第四环节：知识拓展
﹡课堂练习2：
化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+； （4）
325092-+； （5）5145203--； （6）3
2
23+
． 解：（1）2828264264128=?=?=?=；
（2）1030103010900109009000=?=?=?=； （3）48122+
＝34322316342316342?+??=?+??=?+?
383434=+=； （4）
32509
2
-+ ＝
23
4242532216225322162259
2=-+=?-?+=
?-?+； （5）5
145203-
- ＝551455535625
55954325559543=--=-?-??=-
?-?； （6）
665
36269
64696463223=+=+=+=+． 第五环节：课堂小结
在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？
反思：
本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．
二次根式教案第一课时.doc
二次根式教案第一课时 【篇一：二次根式第一课时教案】 16.1 二次根式（一） 骆诗龙 学习目标：1、知道什么叫二次根式，理解被开方数是非负数； 2、掌握二次根式在实数范围内有、无意义的条件。 学习重点：二次根式的概念 学习难点：确定二次根式中字母的取值范围． 学习过程 一、引入新课： 提问：（1）、3 的算术平方根是多少？ （2）、面积为 a 的正方形的边长是多少？ （3）、直角三角形的两直角边是 1 和2，则斜边是多少？ 大家很容易知道答案分别是、 a 和，像这样的式子就是我们本章要 学习的二次根式。今天我们先来认识一下什么是二次根式。 二、展示目标，自主学习： 自学指导认真阅读课本第 2 页——3 页内容，完成下列任务： 1、用带有根号的式子完成第 2 页“思考”填空，看看写出的结果有什 么特点。 2、开平方时，被开方数只能是和，为什么？ 3、一般的，我们把形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号。 4、结合例 1 回答： 二次根式在实数范围内有意义的条件是。 二次根式在实数范围内无意义的条件是。 5 、完成第 3 页的“思考”和练习并和同伴互相找毛病。（11 分钟） 三、检测反馈 1、师生共同解决“自学指导”中的问题。 2、找同学演板 3 页练习1、2. 四、课堂小结： 本节课你有哪些收获？ （1）什么叫二次根式？ （2）二次根式在实数范围内有、无意义的条件是什么？ 五、布置作业： 1、正式作业：课本第 5 页习题第1 题
外延伸 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） a ．-x-2 b ．x c ．x2+2 d ．x2-2 2．在 a ，a2，4，x+2 ，2，x2-1 中，一定是二次根式的有： 。 3．若2二次根m ） a ．m ≤ 2b ．m ＜2c ．m ≥ 2 d ．m ＞2 4 x 是 ______________________ 。 5．当x ______，式子 x-3+1 -x 。 6．求使下列各式的字母： （1）x-4（2）m2+4 （3）- （4） 1 x-x2 （5）32x+1 （6）x-1 2x+1 【篇二： 16.1 二次根式时教案】 数学教案 序号： 1 ： 16.1 二次根式（型：执桂琴 ： 月 日： 教程 16.1 二次根式二次根： 课后反思： 【篇三：二次根式时教案】 26.1 二次根式（第 一、教与技能 1、了解二次根式的概念； 2、掌握二次根式中被开方数和二次根 式 . 过程与方法 使学生理解二次根式被开方数的重要性 度观 培养学生根据题的能力二、点 重 点 1、二次根式的概念； 2、二次根式的字论 . 确定二次根式中字 母。
二次根式计算乘除法化简
二次根式乘除法 1·一般地，对于二次根式的乘法有：=?b a 2·化简：（1 ；（2= 3·计算：=?y xy 82 ，=?2712 = 2b a 2 ·a b 8= 4·对于b a b a ?= ?成立的条件是 5·下列计算正确的是（ ）A 、563224=? B 、653525=? 6C 、363332=? D 、15153553=? 7用含a,b ,则下列表示正确的是( ) (A)0.3ab. (B)3ab. (C)0.1ab 2. (D)0.1a 2b. 8·对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+ B. a b =+ C. 22 a b =+ D. a b =+ 9·计算：（1 ()2
()(() 30,0a b -≥≥ （4） 10·如果 )3(3-?=-?x x x x ，那么x 的取值围是（ ） A 、x 0≥ B 、3≥x C 、03≤≤x D 、x 为一切实数 11·下列计算正确的是（ ） A 、2122423=? B 、632)3(323 2=?-=- C 、 259)25()9(-?-=-?-)3(-=15)5(=-? D 、 5)1213)(1213(12132 2=-+=- 12·若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3 cm 。 13·下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 14·化简：7 7 7-= ； =>>÷)0,0(43b a a b a 15·下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a
21.1 二次根式 第一课时
21．1 二次根式第一课时 教学内容 二次根式的概念及其使用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（，）． 问题2：由勾股定理得AB= 问题3：由方差的概念得S= .
二、探索新知 很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．所以，一般地，我们把形如（a≥0）?的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？ 老师点评：（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、- 、、（x≥0，y ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、- 、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，? 才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥ 时，在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x是多少时，+ 在实数范围内有意义？ 分析：要使+ 在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
二次根式(第1课时)
21.1二次根式（第1课时） 教学任务分析 教学目标知识技能 1．了解二次根式的概念． 2．了解二次根式的基本性质． 数学思考 经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的 归纳概括能力． 解决问题 通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳 表达能力． 情感态度 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充 满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识． 重点二次根式的概念和基本性质． 难点二次根式的基本性质的灵活运用． 教学流程安排 活动流程图活动内容和目的活动1 二次根式的概念 活动 2 探究0) a≥是一个非 负数 活动3 探究2(0) a a =≥ 活动4 (0) a a =≥ 活动5 小结，课后作业 由一组式子观察、归纳二次根式的概念． 通过计算、抽象、概括得出二次根式的基本性质． 回顾梳理，进一步认识理解二次根式的概念和基本性质．学生巩固、提高、发展．
教学过程设计 问题与情境师生行为设计意图活动1 问题 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？ （2）平方根的性质是什么？ （3）如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？ 例1当x是怎样的实数 时， 义？ 例 2 当x是怎样的实数 教师演示课件，给出题 目． 学生根据所学知识回 答问题． 教师提出问题（1），注 意学生是否能深入地观察， 并发现和总结这组式子的 特点； 教师提出问题（2），检 查学生对所学知识的掌握 情况，并引导学生将所学知 识与新知识相联系； 教师提出问题（3），不 同层次的学生会有不同的 回答，学生可能遇到的困 难：是否能够想到用字母表 示数；是否能总结出0 a≥ 这一条件．教师帮助学生解 决这些困难． 学生总结出二次根式的 概念． 在本次活动中，教师应 重点关注： （1）学生是否掌握了二 次根式有意义的条件； 由实际问题入 手，设置情境问题， 激发学生的兴趣，让 学生从不同的式子中 探寻规律，为二次根 式的引入作好铺垫． 注重新旧知识的 连贯性，使学生有一 个由浅入深的学习过 程，并体会到学习的 内容是融会贯通的． 为学生提供练习 的时间和空间，调动 学生的主观能动性， 激发好奇心和求知 欲． 通过题目的练
22.2二次根式的乘除(第二课时)教案
22．2 二次根式的乘除 第2课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____． （1 ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
二次根式第一课时教学设计
第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质
八年级数学上册27二次根式试题新题新版北师大版96
2.7二次根式 专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列. 若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ） ** B.2 C. D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 322322=+，验证：228222223333 ?+===． 333388+=，验证：2327333338888 ?+===． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15 44+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证； （3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2 +2mn 2, ∴a=m 2+2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、 b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2； （3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式2 2a a a 的结果是（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-． 答案：
二次根式的乘除(第一课时)学案
二次根式的乘除（第一课时）学案 第一课时 教学内容 a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕及其运用． 教学目标 〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕，并利用它 们进行运算和化简 教学过程 一、复习引入 1．填空 〔1=______； 〔2=_______． 〔3． 参考上面的结果，用〝>、<或＝〞填空． ×_____，×_____，× 2．利用运算器运算填空 〔1，〔2 〔3〔4， 〔5． 二、探究新知 〔学生活动〕让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：〔1〕被开方数差不多上正数； 〔2〕两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?同时把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一样地，对二次根式的乘法规定为 反过来: 例1．运算 〔1〔2〔3〔4
分析：a≥0，b≥0〕运算即可． 解：〔1 〔2 〔3 〔4 例2 化简 〔1〔2〔3 〔4〔5 〔a≥0，b≥0〕直截了当化简即可． 解：〔1×4=12 〔2×9=36 〔3×10=90 〔4 〔5 三、巩固练习 〔1〕运算〔学生练习，老师点评〕 ①②×2 (2) 化简:; 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判定以下各式是否正确，不正确的请予以改正： 〔1 〔2=4
解：〔1〕不正确． ×3=6 〔2〕不正确． 五、归纳小结 本节课应把握：〔1＝〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b ≥0〕及其运用． 六、布置作业 1．课本P151，4，5，6．〔1〕〔2〕． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1，?那么此直角三角形斜边长是〔〕． A．cm B．C．9cm D．27cm 2．化简〕． A B． D． 311 x-=〕 A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．以下各等式成立的是〔〕． A．． C．× D．× 二、填空题 1． 2．自由落体的公式为S=1 2 gt2〔g为重力加速度，它的值为10m/s2〕，假设物体下落的 高度为720m，那么下落的时刻是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为
(完整word版)二次根式乘除计算练习
二次根式乘除计算练习 一．选择题（共7小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A． B． C．D． 2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②?=1，③÷=﹣b，其中正确的是（） A．①②B．②③C．①③D．①②③ 3．下列等式不一定成立的是（） A．=（b≠0）B．a3?a﹣5=（a≠0） C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6 4．使式子成立的条件是（） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 5．若，且x+y=5，则x的取值范围是（） A．x＞B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7 6．下列计算正确的是（） A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5?2a3=6a6 7．化简的结果是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 8．若和都是最简二次根式，则m=，n=． 三．解答题（共32小题） 9．．
10．（1）÷3×5； （2）﹙﹣﹚÷（）． 11．． 12．2×÷5． 13．计算：． 14．（1） （2） （3）． 15．（1）化简：?（﹣4）÷ （2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值． 16．计算：2×． 17．计算：（2+4）× 18．． 19．计算：2÷?． 20．计算：4÷（﹣）×． 21．（1）计算：?（÷）； （2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值． 22．． 23．计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1． 24．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．25．计算：． 26．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，
27.平方根和二次根式
1 （一）平方根 知识点1：平方根的认识 1、先填写下面的空： ______的平方等于9，______的平方等于169 ，_____的平方等于0，______的平方等于9-， _______的平方等于2 5，______的平方等于()25-，______的平方等于2 316。 例1：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有说明理由。 ()()()2322322973634,,259a a - ---，，，1，-5，4，，-a , 0 总结：1、________有平方跟，________没有平方根； 的平方根是0； 2、2a a == 举例：25= ()25-= 3、只要找到一个数的平方根，肯定是一个正一个负成双成对出现的，切记； 练习4： 2a 等于（ ） A ．a B ．－a C ．±a D ．以上答案都不对 知识点2、算术平方根的认识： 算术平方根的概念：一般地，一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 就叫作a 的算术 平方根，特别的0的平方根是0.非负数a 的算术平方根表示为 a ，读作根号 a ，例如：42=16,16的算术平方根是4，表示为 16=4 算术平方根的性质：1、正数a 的算术平方根为 ； 0的算术平方根为 ； 负数的算术平方根为 ； 2、算术平方根具有双重非负性 (1) ;(2) . 例2：求下列各数的算术平方根：()22257121 31449-，1，，2，15，，a 练习5：下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 练习6：36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ．6 计算规律大总结： 1、 25= 26= 28= 2a =
二次根式教学设计新部编版(第一课时)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
二次根式第1课时二次根式的概念教案
16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且
人教版八年级数学下教案 二次根式第二课时
16.1二次根式 第2课时 教学目标 【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并 理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点 【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， 猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的 理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题.
探究 （1）填空： （2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.） 三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1）2；（2）（ 2
27二次根式(1)
第课时课题:二次根式（1） 学习目标： 1.理解二次根式的概念，理解a(a≥o)的意义； 2.理解二次根式的性质，并能利用性质进行计算； 3.理解最简二次根式的概念，并能利用最简二次根式进行二次根式 的化简计算； 重点：二次根式的运算 难点：最简二次根式的化简计算 自主学习，思考问题 一．探究新知：备注 活动1：忆一忆 1.一个正数的平方是________;一个负数 的平方是_______;0的平方是______；所 以正数和______平方根； 2. 81 16的平方根是_________；算术平方根 是_______；16的算术平方根是_______； 活动2：算一算 1.在Rt⊿ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2, 那么AB边的长是________；2.面积为S的正方形的边长为________； 3.要修建一个面积为6.28平方米的圆形 喷水池，它的半径为_______米； 活动3：说一说 填空： (1)______; 9 4 _______, 9 4= ? = ? (2)__; __________ 25 16 , __________ 25 16= ? = ? (3); __________ 36 100 ________, 36 100= ? = ? 参考上面的结果，用“﹥，﹤或=”填空 (1);9 4 _______ 9 4? ? (2);25 16 ________ 25 16? ? (3);36 100 ________ 36 100? ? 我的疑惑？ 二．新知梳理：备注知识点一：二次根式的定义 一般地，形如a（a≥0）的式子叫做 二次根式，a叫做被开方数； 知识点二：二次根式的性质
人教版21.1二次根式第一课时教学设计
《二次根式》教学设计 教学目标： 1.了解二次根式的有关概念。 2.能熟练由二次根式确定被开方数中字母的取值范围。 教学重点、难点 二次根式的定义及确定被开方数字母的取值范围。 教学过程 一、复习导入 1.平方根与算术平方根的意义 4的平方根是（），它的算术平方根是（）； 0的平方根（），它的算术平方根（）； -16的平方根是（） 2.用带根号的式子填空（题卡第一组题目） ⑴直角三角形的两直角边分别是7cm与4cm，它的斜边是（）； ⑵面积为S的正方形的边长是（）； ⑶面积为6.28cm2的圆形喷水池，它的半径是（）； ⑷一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单 位：秒）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=（）。 （答案：） 二、探究新知 1.探究二次根式的定义
上面这些式子有什么共同点？ 学生通过观察、比较，得出结论：都是一些正数的算术平方根？那么，什么样的数有算术平方根？（非负数） 二次根式的定义： （1）语言描述：非负数的算术平方根叫做二次根式。（2）数学符号表示 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“” 叫二次根号。上面的式子叫做二次根号a，也可简读做根a. 小结：判断二次根式的两个条件：一是含有二次根号；二是被开方数（或式）是非负数。 2.巩固新知：判断下列各式是不是二次根式？ 学生看题卡：第二组 3.（题卡第三组题目）二次根式意义的延伸：探究求二次根 式中字母取值范围的方法 1）例1，是二次根式吗？当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义。 不一定是二次根式，根据二次根式的意义，只有x-2≥0时，才是二次根式。这样，求根式中字母的取值范围，就转化成解不等式的问题。 x-2≥0, x≥2
二次根式第一课时教案
二次根式第一课时教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第1节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 a≥0）的意义解答具体题目。 （二）能力目标 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。 （三）情感态度及价值观 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论发展学生观察、分析、发现问题的能力。 二、教学重点 a≥0）的式子叫做二次根式的概念。 三、教学难点 a≥0）”解决具体问题。 四、知识考点 a≥0）”解决具体问题。 五、教学过程 （一）复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是 ___________。 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________。
A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________。 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 。 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 （二）新课探究 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a≥0）?的式子叫做二次根式， （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1 、 1 x （x>0） 、 -、 1 x y + （x≥0，y?≥0）。 分析 ：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“；第二，被开方数是正数或0。 x>0） 、 （x≥0，y≥0）；不是二次
(完整版)二次根式的乘除法练习题
5.4 二次根式的乘除法 第二课时 教学内容 a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化 简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计 算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1； =________； （2 ； （3 （4 =________． 3．利用计算器计算填空:
（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________． 。 （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． （2（3÷（4 例1．计算：（1 分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（1=2 （2== （3==2 （4 例2．化简： （1（2（3（4 （a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1= （2 8 3 b a = （3 8y = （4 13y = 三、巩固练习 教材P135 练习2． 四、应用拓展 例3．=，且x为偶数，求（1+x的值． 分析： a≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即6
新-21.二次根式的运算及化简求值
二次根式的运算及化简求值 一、最简二次根式 二、同类二次根式 三、二次根式的运算 题型一：加减运算 题型二：乘除运算 题型三：混合运算 题型四：巧算 四、二次根式的化简求值 五、二次根式的应用 六、比较大小 一、最简二次根式 1.【易】（广州市育才中学2011学年第一学期）下列根式中不是最简二次根式的是 （） B C D A 2.【易】（2013年上海市中考数学试卷）下列式子中，属于最简二次根式的是（） 【答案】B 3.【易】（北京市西城区南区2012学年度第一学期期末）下列二次根式中，最简二次根 式是（） A B C D 【答案】A 4.【易】（北大附中2012 式，结果为（） A B C D 【答案】C 5.【易】（天津市河西区2010学年度第二学期八年级期末阶段性质量调查数学试卷）下 列根式中属于最简二次根式的是（） A B C D 【答案】A 6.【易】（2010广州天河期中考试）下列各式中是最简二次根式的是（）
B C D A 7.【易】（2010年北京五中期中）下列各式不是最简二次根式的是（） A B C D 【答案】B 8.【易】（2010年北京北师大期中）下列二次根式中，最简二次根式是（） B C D A 9.【易】（2010年北京怀柔区期末）下列各式中属于最简二次根式的是（） A B C D 10.【易】（北京市朝阳区2013年初二期末统考数学）下列二次根式中，最简二次根式是 （） A B C D 【答案】B 11.【易】（2010 中，是最 12.【中】 最简二次根式有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 13.【中】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（） ．A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 二、同类二次根式 14.【易】（2013年广西崇左市中考数学试卷）下列根式中，与是同类二次根式的是 （） 【答案】B 15.【易】（清华附中2013 （）
二次根式教学设计(第一课时)
二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
九年级数学上册 21.1《二次根式》(第1课时)教案 新人教版
21.1 二次根式教案 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2 a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标 是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ，所以 ）．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根
a ≥0）?的式子叫做二 次根式， （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评:（略） 例1、1x （x>0）、 、1x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析；第二，被开方数是正数或0． x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次 1x 、1x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 13 当x ≥13 三、巩固练习 教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 11x +在实数范围内有意义？ 分析11 x +0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010 x x +≥??+≠?
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）
黑龙江省虎林市九年级数学上册 二次根式(第二课时)教案 新人教版
黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式（第二课时）教 案新人教版 第二课时 教学内容 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）． 教学目标 a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． a≥0）是一个非负数，用具体 2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0叫什么？当a<0 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空： 2 =_______；）2 =_______；2 =______；2 =_______； 2=______；2=_______；）2 =_______． 是4是一个平方等于4的 ）2 =4． 同理可得：2=2，2=9，2 =3，2=1 3，）2=72，） 2 =0，所以 例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．（2）2 ）2 =a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32 ，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=5 6，（2）2=22 724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 2 ）2 （ 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4． 2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2=x+1 （2）∵a2≥02=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）． 六、布置作业 1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1、 的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．1