高考数学易错题解析

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高考易错题解析
运算的等价性 高中数学中有许多题目，求解的思 路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨 论，却很容易被忽略．或者是在转化过程 中，没有注意转化的等价性，会经常出现 错误．本课件通过几个例子，剖析致错原 因，希望能对同学们的学习有所帮助．加 强思维的严密性训练．
【例1】已知实数
x, y
2
满足
3x 2 + 2 y 2 = 6 x
，则
x 2 + y 2 的最大值是．
【错解】由
2 2 2 1 x 2 = ? 1 ( x ? 3) 2 + 9 x + y = 3x ? 2 2 2 2 2 9 从而 x + y 的最大值为 . 2
3x + 2 y = 6 x
2
得 y 2 = 3 x ? 3 x 2 ，所以
【评注】在运用公式、定理时，一定要注意变量的取值范围． 【正解】(注意变量 x 的取值范围) 由
y 2 = 3x ? 3 x 2 得 2 解得 0 ≤ x ≤ 2
3x ? 3 x 2 ≥ 0 2
所以
x 2 + y 2 的最大值为 4 ．
【例2】已知 f ( x) = ax + b ，若 ? 3 ≤ f (1) ≤ 0, 3 ≤ f ( 2) ≤ 6, 】
x 求 f (3) 的范围． ?? 3 ≤ a + b ≤ 0 ① ? 【错解】由条件得 ? b ?3 ≤ 2a + 2 ≤ 6 ② ? 6 ≤ a ≤ 15 ②×2－① 得 8 b 2 ? ≤ ≤? ①×2－②得 3 3 3
③
④
10 b 43 10 43 ≤ 3a + ≤ , 即 ≤ f (3) ≤ . ③+④得 3 3 3 3 3 【评注】这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
取最大（小）值时， b 不一定取最大（小）值，因而整个解题 思路是错误的．忽视等价性变形，导致错误．
f ( x) = ax + b ，其值是同时受 a和b 制约的．当 a x
【例2】已知 f ( x) = ax + b ，若 ? 3 ≤ f (1) ≤ 0, 3 ≤ f ( 2) ≤ 6, 】
x
求 f (3) 的范围． 【正解】思路一：将 f (3) 表示成 f (1) 和 f (2) 的线性组合.
b (1)方程的思想，解 a ， 用 f (1) 和 f (2) 表示.
f (1) = a + b ? 由题意有 ? b ? f ( 2) = 2 a + 2 ? 1 2 解得： a = [ 2 f ( 2) ? f (1)], b = [ 2 f (1) ? f ( 2)], 3 3
b 16 5 ∴ f (3) = 3a + = f ( 2) ? f (1). 3 9 9
16 37 ≤ f (3) ≤ . 把 f (1) 和 f ( 2) 的范围代入得 3 3
【例2】已知 f ( x) = ax + b ，若 ? 3 ≤ f (1) ≤ 0, 3 ≤ f ( 2) ≤ 6, 】
x
求 f (3) 的范围． (2)待定系数法．设
f (3) = λ f (1) + μ f (2) ，则
整理得 所以
3a + b = λ ( a + b ) + μ 2a + b 3 2 μ 1? ? ( λ + 2 μ ? 3) a + ? λ + ? ? b = 0
λ + 2 μ ? 3 = 0 ? ? μ 1 ?λ + 2 ? 3 = 0 ?
(
)
9 9
2
3?
，解之得
λ = ? 5 , μ = 16
所以 把
f (3) = ? 5 f (1) + 16 f (2) 9 9
16 37 ≤ f (3) ≤ . f (1) 和 f ( 2) 的范围代入得 3 3
【例2】已知 f ( x) = ax + b ，若 ? 3 ≤ f (1) ≤ 0, 3 ≤ f ( 2) ≤ 6, 】
x
求 f (3) 的范围． 思路二：数形结合

，用线性规划. 将
3 ≤ a + b ≤ 0 ? ? b ?3 ≤ 2a + 2 ≤ 6 ?
看作关于 a , b
约束条件，
z = f (3) = 3a + b 看作目标函数，用线性规划知识即可求解(略) 3
uuu uuur r 【例3】（07湖北）已知 △ ABC的面积为 3 ，且满足 0 ≤ AB AC ≤ 6 , 】 uuu r uuur 设 AB 和 AC 的夹角为 θ . （I）求 θ 的取值范围；（II）求函数 ? 2? π f (θ ) = 2sin ? + θ ? ? 3 cos 2θ 的最大值与最小值． ?4 ? 解：（Ⅰ）设 △ ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ,
1 则由 bc sin θ = 3 , 0 ≤ bc cos θ ≤ 6 ，可得 2
π π? ∴θ ∈ ? ， ? 0 ≤ cot θ ≤ 1 ?4 2? ?π ? 【错解】（Ⅱ）f (θ ) = 2 sin 2 ? + θ ? ? 3 cos 2θ ?4 ?
?π ?? = ?1 ? cos ? + 2θ ? ? ? 3 cos 2θ ?2 ?? ?
= (1 + sin 2θ ) ? 3 cos 2θ
π ? 【错解】（Ⅱ） f (θ ) = 2sin 2 ? + θ ? ? 3 cos 2θ ?4 ? ? ?π ?? = ?1 ? cos ? + 2θ ? ? ? 3 cos 2θ ?2 ?? ?
= (1 + sin 2θ ) ? 3 cos 2θ
π? ? = sin 2θ ? 3 cos 2θ + 1 = 2 sin ? 2θ ? ? + 1 3? ? π? π? ? ? Q ?1 ≤ sin ? 2θ ? ? ≤ 1 ∴ ?1 ≤ 2sin ? 2θ ? ? + 1 ≤ 3 3? 3? ? ? 【评注】忽视变量 θ 的取值范围． ? π π ? 所以 π ≤ 2θ ? π ≤ 2π , 【正解】因为 θ ∈ ? ， ? , 6 3 3 ?4 2?
1 π? ? ≤ sin ? 2θ ? ? ≤ 1, 2 3? ?
从而 2 ≤ 2sin ? 2θ ?
?
π? ? +1 ≤ 3 3?
【例4】已知： a 】 求
(
> 0, b > 0, a + b = 1. 2 2 a + 1 + b + 1 的最小值. a b
2 2 2 2
【错解】
) ( ) a + 1 ) + (b + 1 ) = a + b + 1 + 1 + 4 ( a b a b
2 2
≥ 2ab + 2 + 4 ≥ 4 ab ? 1 + 4 = 8. ab ab 2 2 1 + b + 1 的最小值是8． ∴ a+ a b
(
) ( )
【评注】忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误．上面的 解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的 条件是a=b=1/2 ，第二次等号成立的条件是ab=1/ab ，显然，这 两个条件是不能同时成立的．因此，8不是最小值．
【例4】已知： a 】 求
【正解】由
(
> 0, b > 0, a + b = 1. 2 2 a + 1 + b + 1 的最小值. a b
a + b = 1, a + b ≥ 2 ab 知
) ( )
ab ≤ 1 ,∴ 1 ≥ 4 4 ab
思路一：展开(均值思想) 2 1 + b+ 1 a+ a b
(
) ( )
2
= a 2 + 12 + b 2 + 12 + 4 a b
= a 2 + 1 2 + b 2 + 1 2 + 15 2 + 15 2 + 4 16a 16b 16a 16b 2 152 + 4 1 + 2 b2 ? 1 + 2 ≥2 a ? 16a 2 16b 2 162 a 2b 2
= 5 + 15 ≥ 5 + 15 × 4 = 25 8 2 8ab
所以
(
a+ 1 a
) ( )
2
+ b+ 1 b
2
最小值为
25 2
．
思路二：高次化低次(均值思想)
(
a+ 1 a
) ( ) (
2
+ b+ 1 b
2
) () ( ) () ≥ 2 ? 5 ? ( a + 1 ) + 2 ? 5 ? ( b + 1 ) ? 25 2 a 2 b 2
= a+ 1 a
2
+ 5 2
2
+ b+ 1 b
2
+ 5 2
2
25 2
= 5 ( a + b ) + 5 + 5 ? 25 a b 2
≥ 2 25 ? 15 ≥ 20 ? 15 = 25 ab 2 2 2
所以
(
a+ 1 a

) ( )
2
+ b+ 1 b
2
最小值为
25 2
．
【例5】求过点 (0,1) 的直线，使它与抛物线 y = 2 x 仅有一个交点． 】
2
【错解】 设所求的过点 (0,1) 的直线为 y = kx + 1 , ? y = kx + 1 则它与抛物线的交点满足 ? 2 ? y = 2x 消去 y ,整理得 k x + (2k ? 2) x + 1 = 0 因为直线与抛物线仅有一个交点，∴ ?
2 2
= 0,
1 解得 k = . ∴ 所求直线为 y = 1 x + 1 2 2
【评注】 此处解法共有三处错误： 第一，设所求直线时，没有考虑斜率不存在的情形． 第二，对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关 系理解不透． 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得的方程在没有讨论 是否是一个一元二次方程时，考虑它的判别式，是不全面的．
【例5】求过点 (0,1) 的直线，使它与抛物线 y = 2 x 仅有一个交点． 】
2
【正解】满足条件的直线为：
1 y = 1, x = 0, y = x + 1. 2
【例6】如图，一个地区分为5个行 】 政区域，现给地图着色，要求相邻 2 5 区域不得使用同一颜色，现有4种颜 1 3 色可供选择，则不同的着色方法共 4 有 种. 【错解】先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，
1 2 即有一种颜色涂相对的两块区域，有 C 3 ? 2 ? A2 = 12 种.
4 由乘法原理共有： × 12 = 48 种. 【评注】据统计，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看 清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用， 用3种也可以完成任务.
用四种颜色
涂 第 一 块 域 区 一 个 三 对 择 色 选 一 块
用三种颜色
四 涂 第
【正解】72种.
1 1 3 3 1 2 C4 ? C2 选 ? A3 + C4 ? C3 ? A2 = 48 + 24 = 72 相
【小结】在解题中，认真审题，注意隐含条件，避免以偏概全； 注意变量的范围，如偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函 数ax>0，以及题目中变量的隐含范围等；注意公式使用的条件， 如直线的点斜式要求斜率存在，公式
a1 (1 ? q ) Sn = 1? q
n
中要求q
≠ 1， an = S n ? S n ?1 要求 n ≥ 2
连续使用不等式求最值时要注意公式取“=”时字母取值的一致 性等，就可以减少错误的发生．

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