暨南大学线性代数线性代数B卷

暨 南 大 学 考 试 试 卷

1．行列式0

111011

10---=ij a 中元素21a 的代数余子式为 ( )

(a) -2 (b) -1 (c) 1 (d) 2 2．设n 阶矩阵,,A B C 可逆且满足ABC I =，则1B -为 ( ) (a) 11A C -- (b) 11C A -- (c) AC (d ) CA 3．设A 为n 阶矩阵, 若3A O =, 则下面陈述正确的是 ( ) (a) I A -不可逆, I A +不可逆 (b) I A -不可逆, I A +可逆 (c) I A -可逆, I A +不可逆 (d) I A -可逆, I A +可逆

4．设12,λλ是矩阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为12,αα, 则1α，

12()A αα+线性无关的充分必要条件是 ( ) (a) 10λ≠ (b) 10λ= (c) 20λ≠ (d) 20λ= 5．设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则下面向量组中，可

以作为0Ax =的基础解系的是 ( ) (a) 1212,,αααα+ (b) 1212,,αααα- (c) 122331,,αααααα+++ (d) 122331,,αααααα--- 6．设 n 阶矩阵A 满足|23|0A I -=, 则A 必有特征值为 ( ) (a) -3/2 (b) -2/3 (c) 2/3 (d) 3/2

7．设,A B 为2阶矩阵，若||2,||3A B ==, 则分块矩阵O A B O ?? ???

的伴随矩阵为( )

(a) 32O B A O **?? ? ??? (b) 23O B A O **?? ? ??? (c) 32O A B O **?? ? ???

(d) 23O A B O **??

? ??? 8．设矩阵211100121,010112000A B --????

? ?

=--= ? ? ? ?--????

, 则A 与B ( )

(a) 合同且相似 (b) 合同但不相似

(c) 不合同但相似 (d) 既不合同也不相似

9．设向量组1234,,,αααα线性相关，则下面陈述正确的是 ( )

(a) 必有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

(b) 必有两个向量可以表示为其余向量的线性组合 (c) 必有三个向量可以表示为其余向量的线性组合 (d) 每个向量可以表示为其余向量的线性组合 10．设,A B 均是m n ?矩阵, 现有４个命题

① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()r A r B ≥

② 若()()r A r B ≥, 则0Ax =的解均是0Bx =的解 ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则()()r A r B = ④ 若()()r A r B =, 则0Ax =与0Bx =同解

以上命题中正确的是 ( ) (a) ① ② (b) ① ③ (c) ② ④ (d) ② ③

二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

1．已知3阶矩阵A 的特征值为0, -2, 3, 且矩阵A 与B 相似， 则||B I += ． 2．若3维列向量,αβ满足2T αβ=，则矩阵T βα的非零特征值为 ．

3．设1210A ??= ?-??

, 则22A A I -+=

．

4．若齐次线性方程12312312

3000

ax x x x ax x x x ax ++=??

++=??++=?有非零解，则a 的值为 ．

5．设2阶实对称矩阵A 的特征值为1, 2．若向量(1,2)T 是A 对应于特征值1的特征向量, 则A 对应于特征值2的全部特征向量为 ．

6．设矩阵2112A ??

= ?-??, 矩阵B 满足2BA B I =+, 则||B = .

7．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的-2倍加到第１列得到矩阵B ． 若1234B ??

= ???

, 则

A =

．

8．设矩阵010001000A ?? ?

= ? ???

, 则3()r A = ．

9．设123,,ααα为3维列向量，记矩阵

123(,,)A ααα=, 123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++．

若||1A =, 则||B = ．

10.设对称矩阵2112A ??

= ???

, 则与A 对应的二次型12(,)f x x = ．

三、计算题（共4小题，每小题8分，共32分）

1．求矩阵143120223A ?? ?

=-- ? ???

的逆矩阵．

2．求向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,4),(2,6,10,2)T T T T αααα==--=-=--的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示．

3．求一非退化线性变换，化二次型

12312132(,,)422f x x x x x x x x x =-++ 为标准型.

4．.计算行列式1

11111111

1111111a a a a ++++．

四、计算题（共2小题，每小题11分，共22分）

.

123412341234

21422221x x x x x x x x x x x x +-+=??

+-+=??+--=?

2．设矩阵

101

020

101

A

??

?

= ?

?

??

，求正交矩阵Q, 使1

Q AQ

-为对角矩阵.

五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）

1．设,αβ是n 维列向量, 矩阵T T A αββα=+. 证明A 的列向量组可由,αβ线性

表示．