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第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数
全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材:
矩阵论与数值分析----理论及其工程应用
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第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数
邱启荣
华北电力大学数理系QQIR@https://www.wendangku.net/doc/2f17594832.html,
第三章矩阵的Jordan 标准型
与矩阵函数
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第 2 章范数理论及其应用 2.1向量范数及I p范数 定义:如果V 是数域K 上的线性空间,且对于 V的任一向量x,对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件: 1)非负性:||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2)齐次性:iikxii=iki iixii,k K; 3)三角不等式:||x+y|| ||x||+||y||. 则称||x|为V上向量x的范数,简称为向量范数。 可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。注意:2)中|k|当K为实数时为绝对值, 当K 为复数域时为复数的模。 虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的,但是由于前面的讨论,我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复(或实)列向量空间就足够了下面讨论如下:1?设||||为线性空间V n的范数,任取它的一个 基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为 x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n 其中,(1, 2,…,n)T为X的坐标。 由此定义C n(或R n)中的范数如下: || ||C = () = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n|| 则容易验证|| ||C确实为C n中的范数. 2?反之,若|| |C为C n中的范数,定义V n的范数如下:||X||= (X)=|| ||c 其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。 则容易验证(X)确实为V n的范数。 这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维 复(或实)列向量空间的范数之间的关系。这也是为我们只讨论n 维复(或实)列向量空间的范数的理由. 范数首先是一个函数,它将线性空间的任意向量映射为非负实数。 范数与函数 性质 1. 范数是凸函数, 即|| (1 )X+ y|| (1 )||X||+ ||y|| 其中0