周末作业15
高二数学周末作业15
姓名_______________ 成绩___________________ 2017.12.17
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.抛物线24y x =的准线方程为 ．
2.若方程22
113x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为 ．
3.抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离是5，则点P 的横坐标为 ．
4.已知α,β为平面,m ,n 为直线,下列命题：其中是真命题的个数为 ．
①若m ∥n ,n ∥α,则m ∥α； ②若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β；
③若α∩β=n ,m ∥α, m ∥β,则m ∥n ； ④若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n 。
5.已知l ,m 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题：
①若l β?,且αβ⊥,则l α⊥； ②若l β⊥,且//αβ,则l α⊥；
③若l β⊥,且αβ⊥,则//l α； ④若m αβ= ,且//l m ,则//l α。
则所有正确命题的序号是 ．
6.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ．
7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为 ．
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
9.曲线x y e =在1x =处的切线方程为 ．
10.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，
O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则
12V V 的值为 ．
1
A
11.在平面直角坐标系xOy 中，若直线1y x b e
=+（e 是自然对数的底数）是曲线y= ln x 的一条切线，则实数b 的值为 ．
12.设函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A (2，1)，且在点A 处的切线方程为2x －y + a = 0，则a + b + c = ．
13.如图所示，B A ,分别是椭圆的右、上顶点，C 是AB 的三等分点（靠近点B ），F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OA MF ⊥，则椭圆的离心率为________．
14.分别在曲线x y e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．
15．已知2
:01x p x -≤+, 22:210 (0)q x x m m -+-≤>,若p ?是q ?的必要不充分条件,求实
数m 的取值范围.
16. （1）若1,1x y <<，证明：11x y xy
-<- （2）某高级中学共有2013名学生, 他们毕业于10所不同的初级中学,证明:该高级中学
至少有202名学生毕业于同一所初级中学.
17．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．
（1）求证：BF ∥平面A 1EC ；（2）求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1．
18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ．
A B
C A 1 B 1
C
F
E
率e =，12F F 、为椭圆的左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设圆T 的圆心(0,)T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点．点P 为椭圆C 上的一动点，PQ 与圆T 相切于点Q ．
①当1
1(,)22
Q --时，求直线PQ 的方程；
②当PQ T 方程．
20. 已知a ∈R ，函数()ln f x ax x =-，1()(4)ln g x a x x
=-+
. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；
（2）若存在正数a ，使得函数()f x 在(0，e]上的最小值是3（其中e 为自然对数的底数），
试求a 的值；
（3）（选做）求函数2()()y f x g x =+的单调区间．
周末作业15参考答案
1.116y =-；
2.(1,2)；
3.3；
4.3；
5. ② ；7.12π；8.1∶8 ；9.ex y =；10.12
11.0； 12.0； 13.55；14.21e
+ 15. 解： p 的真值集合为(1,2]P =-,……3分
q 的真值集合为[1,1]Q m m =-+,……6分
由p ?是q ?的必要不充分条件，q 是p 的必要不充分条件，……9分
P ∴是Q 的真子集……11分 1112
m m -≤-?∴?+≥?，解得m ≥2. ……14分
【说明】本题考查命题和简易逻辑、不等式的解法、集合运算；考查转化思想.
16. 证明：（1）由1,1x y <<得10xy ->，0x y -≥,……1分
要证 11x y xy
-<-，只要证1x y xy -<-，……3分 只要证22()(1)x y xy -<-，即22221x y x y +<+，……4分
只要证22(1)(1)0x y -->①，……6分 由1,1x y <<，从而①式成立，故原不等式成立.……8分
（2）假设该高级中学的学生中，毕业于同一所初级中学的学生数都不超过201人，…10分
则总人数102012010≤?=，……12分 与共有2013名学生矛盾！……13分
故假设不成立，即原命题成立.……14分
【说明】本题分析法和反证法的证明书写步骤.
17．证：（1）连1AC 交1AC 于点O ， F 为AC 中点， ∴111//=2
OF CC OF CC 且， E 为1BB 中点，∴111//=2
BE CC BE CC 且， ∴//=BE OF BE OF 且，∴四边形BEOF 是平行四边形，……4分
∴//BF OE ，又BF ?平面1A EC ，OE ?平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC .………7分
（2）由（1）知//BF OE ， AB CB =，F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，
所以OE AC ⊥，…………9分又因为1AA ⊥底面ABC ，而BF ?底面ABC ，所以
1AA BC
⊥， 则由//BF OE ，得1OE AA ⊥，而1,AA AC ?平面11ACC A ，且1AA AC A = ，
所以OE ⊥面11ACC A ， …………12分
又OE ?平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . …………14分
18．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．
因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． ………4分
因为AP /?平面BDE ，OE ?平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． ……………………7分
（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ．…9分
因为AP ?平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ?平面PBC ， 所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………13分
因为BE ?平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ?平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ．………………………16分
19.（1）∵c a a c e 222=?==∴c c a b =-=22
∵椭圆C 过点)22,
1(M ，∴11212112112222=?=+?=+c c c b a ∴1,2==b a ；∴椭圆C 的标准方程1
222
=+y x
（2）圆T 半径12+=t r ，圆T 方程为
)0(1)(222>+=-+t t t y x ∵PQ 与圆T 相切于点Q ∴PQ QT ⊥
①把
)21,21(--Q 代入圆T 方程，解得21=t ，求得2=Q T k ，∴直线PQ 的方程为4321--=x y
（3）设),(00y x P )11(0≤≤-y
∵PQ QT ⊥，∴
)1()(22020222+--+=-=t t y x QT PT PQ 又122020=+y x ，∴
)1()(2202+++-=t t y PQ 当1≥t 时，且当10-=y 时，2PQ 的最大值为t 2，则8545)25(22=?==t t （舍）
当10< 214512=?=+t t （合） 20. 解：(1) 当1a =时，函数()ln f x x x =-， 所以11()1x f x x x -'=-=，且函数()f x 的定义域为(0,)+∞；……1分 ∴当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 单调递增． ∴()f x 的极小值为(1)1f =，无极大值.……4分 (2)由已知，(0,)a ?∈+∞，使得函数()ln f x ax x =-在(0，e]上的最小值是3. 因为11()ax f x a x x -'=- =，其中0a >，所以 ①当10e a <<时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,e]a 上单调递增， 所以min ()1ln 3f x a =+=，解得2e a =；……7分 ②当1e a ≥时，()f x 在(0，e]上单调递减，min ()e 13f x a =-=，解得4e a =，不符合1e a ≥，故此时a 不存在．……9分 综上，所求实数2e a =.……10分 (3)由已知，12()()(2)ln 2y f x g x a x ax x =+=-++，所以2212a y a x x -'=-+ 222 2(2)1(21)(1)ax a x x ax x x +---+== (0x >)．……12分 ①当0a ≥时，2()()y f x g x =+在1(0,)2上是减函数，在1(,)2+∞上是增函数； ②当20a -<<时，2()()y f x g x =+在1(0,)2和1(,)a -+∞上是减函数，在11(,)2a -上是增函数； ③当2a =-时，2()()y f x g x =+在(0,)+∞上是减函数； ④当2a <-时，2()()y f x g x =+在1(0,)a -和1(,)2+∞上是减函数，在11(,)2 a -上是增函数． ……16分 【说明】本题考查导数的综合应用；考查等价转化思想；考查运算能力、分析问题解决问题的能力．