2011届高三数学下册高考冲刺检测试题4

高考数学最后冲刺必读题解析（4）

19. （本题满分14分）

已知点()

P a b n n n ，满足：a a b b b a n N n n n n n n

+++==

-∈1112

1·，，，且已知P 01323，?? ?

?? （1）求过点P P 01，的直线l 的方程；

（2）判断点()P n n ≥2与直线l 的位置关系，并证明你的结论；

（3）求点P n 的极限位置。 解：（1）由a b 00132

3

=

=，，得： b a 12

12

311334133414=-?? ?

?

?==?=， 显然直线l 的方程为x y +=1………………3分 （2）由a b 11143

4

=

=，，得： b a 22

23

411445144515=-?? ?

?

?==?=， ∴点P l 2∈，猜想点()P n n ≥2在直线l 上，以下用数学归纳法证明： 当n ＝2时，点P l 2∈

假设当n k k =≥()2时，点P l k ∈，即a b k k +=1 当n k =+1时，

a b a b b k k k k k +++++=+1111·

()()

=+=+-=-=+11111

1

2

a b a b a b a k k k k k

k

k ∴点P l k +∈1

综上，点()P l n n ∈≥2………………8分 （3）由a a b b b a a b n n n n n

n

n n +++==

-+=1112

11·，，，得：

()a a b a a a a a a a a a n n n n n n n

n

n n n n

++=-=--=+≠∴

=+122

11111011

1·

·

∴数列1a n ??

????是以1

30

a =为首项，公差为1的等差数列 ∴

=+=+=-=-+=

++=+==++=+

+=→∞→∞→∞→∞→∞1313

11132

3

13

0231213

1a n a n b a n n n a n b n n n n

n n n n n n

n n n n n ， lim lim lim lim lim

()

∴?

→?P P n 01， 即点P n 的极限位置为点P （0，1）………………14分

20. （本题满分14分）

已知直线l y mx ：=+1与曲线()

C ax y m a R ：，22

2+=∈交于两点A 、B 。

（1）设OP OA OB →=→+→

，当a =-2时，求点P 的轨迹方程；

（2）是否存在常数a ，对任意m R ∈，都有OA OB →→

=-·2？如果存在，求出a 的值；

如果不存在，说明理由。

（3）是否存在常数m ，对任意a R ∈+

，都有OA OB →→

·为常数？如果存在，求出m 的

值；如果不存在，说明理由。

解：（1）设()()

A x y

B x y 1122，，，，则

()OP OA OB x x y y →=→+→

=++1212，

由y mx x y =+-+=??

?120

2

2

消去y ，得：

()

m x mx 22

2210

1-+-=<>

依题意有()()

m m m 222

20

2420

-≠=+->??????解得： m 2

1>且m 2

2≠，即m <-1或m >1且m ≠±2

()x x m m x x m y y mx mx m x x m 12212

2

1212122

221

21124

2+=

-=-+=+++=++=

-，

∴点P 的坐标为：x m m y m =-=

-?????

??22422

2消去m ，得：

2202

2

x y y -+=，即()y x --=112

12

2

由y m =

-422，得m y y

2

24=-

∴->-≠????

???24

1242y y y y

，解得y <0或y >4

∴点P 的轨迹方程为()y x --=12

12

2

（y <0或y >4）………………5分 （2）假设存在这样的常数a

由y mx ax y =++=???12

22

消去y 得：

()

m

a x mx x x m m a x x m a

2

2122122

210

221++-=<>

+=-+=-+，

OA OB x x y y →→

=+·1212

()()()

()=+++=++++x x mx mx m x x m x x 12122

12121111

·

()

=+-++-++=--++=-m m a m m

m a

m m a 22222

112131

12

·

·

解得：a =13

当a =

13时，m 2

13

0+≠，且方程<2>判别式 ?=++?

?

??

?>441302

2

m m

∴对任意m R ∈，A 、B 两点总存在，故当a =

1

3

时，对任意m R ∈，都有OA OB →→

=-·2………………10分

（3）假设这样的常数m 存在，对任意的a R ∈+

，使OA OB →→

·为一常数M 。

即OA OB x x y y M →→

=+=·1212

即

--++=31

122m m a

M 化简，得：()()1212-=++M a M m ∵a 为任意正实数

()∴-=++=???10210

2

M M m ，即3102

m +=，矛盾。 故这样的常数m 不存在。………………14分 20．（本小题满分12分）

数列}{n a ，设S n 是数列的前n 项和，并且满足.24,111+==+n n a S a

（Ⅰ）令}{),3,2,1(21n n n n b n a a b 证明 =-=+是等比数列，并求{b n }的通项公式； （Ⅱ）令.lim ,}log log 1

{,31

222n n n n n n n T n C C T b C ∞→++?=

求项和的前为数列

解：（Ⅰ）.)(23)(2ab x b a x x f ++-='

依题意知，s 、t 是二次方程0)(='x f 的两个实根.

∵,0)()(,0)()(,0)0(22>-=-='<-=-='>='a b b ab b b f b a a ab a a f ab f ……2分 ∴0)(='x f 在区间（0，a ）与（a ，b ）内分别有一个实根. ∵.0,b t a s t s <<<<∴< …………4分 （Ⅱ）由s 、t 是0)(='x f 的两个实根，知.3

,3)(2ab

st b a t s =+=

+ ∴)(3

2

)(274)())(()()()(32233b a ab b a t s ab t s b a t s t f s f +++-=++++-+=+…6分 ∵)),()((2

1

)(31)(272)3()2(

3t f s f b a ab b a b a f t s f +=+++-=+=+ 故AB 的中点C （)2

(,2t

s f t s ++）在曲线y=f(x)上. ……8分 （Ⅲ）过曲线上点),(11y x 的切线方程为).]()(23[112

11x x ab x b a x y y -++-=-

∵)()(1111b x a x x y -?-=，又切线过原点.

∴].)(23[))((12

11111ab x b a x x b x a x x ++--=--- 解得1x =0，或.2

1b

a x +=

当1x =0时，切线的斜率为a b ；当21b a x +=时，切线的斜率为.)(412ab b a ++-……10分

∵,22,0,0<+>>b a b a ∴两斜率之积

.11)1(2)()(4

1

)(])(41[22222-≥--=->?+-=?++-ab ab ab ab b a ab ab ab b a 故两切线不垂直. ………………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数.0),)(()(b a b x a x x x f <<--=其中

（Ⅰ）设t x s x x f ==及在)(处取到极值，其中;0:,b t a s t s <<<<<求证 （Ⅱ）设)),(,()),(,(t f t B s f s A 求证：线段AB 的中点C 在曲线y=f(x)上； （Ⅲ）若22<+b a ，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直. 解：（Ⅰ）以线段AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，

作CD ⊥AB 于D ， 由题知：||2

1

AB AC AB =? ① 而A AC AB AC AB cos ||||??=? ② 由①②.2

1

||,21cos ==?A 即 ………………2分 同理，2||,2

3

||==

则 ∴A （－1，0）、B （1，0）……4分 设双曲线方程),(),,21

(),0,0(1112222y x E h c b a b

y a x ->>=-

由???

????

===.52,5

2,2311h y x 得 …………6分

因为E 、C 两点在双曲线上，所以???

?

?????=+==-=-112542541

412222

2

222

2b a c b h a b h a

………………8分 解得???

????=

=767

122b a ，∴双曲线方程为1767122=-y x …………10分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ∵2022

22

012

1)()(|,|||x x y x x y TN TM -+=

-+∴=

∴)(2)()()(210212

22012022

221x x x x x x x x x y y -+-=---=- ①

又M 、N 在双曲线上，满足)(6,16

77,16772

22122212222212

1x x y y y x y x -=-∴=-=-

② 将②代入①，)(2)(72102

22

1x x x x x -=-

∵021212)(7,x x x x x =+∴≠ …………………………12分 又,7)(2

7

,77221021>+=∴>

+x x x x x ∴0x 取值范围为（+∞,7） ………………14分

21. （12分）已知定点A （0，1），B （0，－1），C （1，0），动点P 满足AP BP k PC →→=→·||2

（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。

（2）当k AP BP =→+→

2时，求的最大值和最小值。||

解：（1）设p(x ，y)

则AP x y BP x y PC x y →

=-→

=+→

=--()()()，，，111

由AP BP k PC →→=→·||2

得

x y k x y 222211+-=-+[()] 3分

整理得()()k x kx k y k --+-++=2121102（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k ≠1时，*式化为()()x k k y k -

-+=-211122

表示心(

)||

k k k --101

1，为圆，为半径的圆 6分 （2）当k=2时，*式化为()[]x y x -+=∈211322，，

此时，||AP BP x y x →+→=+=-224322

∴其最小值为2，最大值为6 12分

22. （14分）△ABC 中，|AB|=|AC|=1，AB AC →→=·12，P 1为AB 边上的一点，

BP AB 123

≠，从P 1向BC 作垂线，垂足是Q 1；从Q 1向CA 作垂线，垂足是R 1；从R 1向AB 作垂线，垂

足是P 2，再由P 2开始重复上述作法，依次得Q 2，R 2，P 3；Q 3，R 3，P 4……

（1）令BP n 为x n ，寻求BP n 与BP n +1（即x x n n 与+1）之间的关系。

（2）点列P P P P P n 1234，，，……是否一定趋向于某一个定点P 0？说明理由； （3）若||||AB BP ==

11

3

1，，则是否存在正整数m ，使点P 0与P m 之间的距离小于0.001？若存在，求m 的最小值。

解：（1）由|AB|=|AC|=1，AB AC BAC →→==·，∴∠°1

2

60

从而△ABC 为边长为1的正三角形 2分

则BP x BP x n n n n ==++，则11，于是BQ BP x n n n ==·°cos6012

∴CQ x n n =-

11

2

3分 同样 CR CQ x n n n ==-·°cos ()6012112

AR x x n n n =-

-=+112112121

4

() 4分 又AP AR x n n n +==+16012121

4

·°cos ()

BP x x n n n +=-+=-11121214341

8()

即x x n n +=-1341

8

5分

（2）由（1）可得：x x n n +-=--123182

3

()

∴{}x x x n ---2323231

811，当≠时，是以为首项，公比为的等比数列

∴x x n n =+---232318

11

()() 7分

当n x n →+∞→时，2

3

∴点P n 趋向点P 0，其中P 0在AB 上，且BP 0=2

3

9分

（3）P P x x m m m m 0111

2323181318=-=-=--||||()

() 11分 由||.().P P m m m 011000118000381000

3<<>--得，∴ 当m m =>-4810003

1时，

∴m m ≥4，的最小值为4 14分