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无锡地区中考数学选择填空压轴题专题10:选择填空方法综述

专题10 选择填空方法综述

例1.如图1,E为矩形ABCD的边AD上一点,点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止,点Q从点B出发沿BC运动到点C停止,它们运动的速度都是1cm/s.若点P、点Q同时开始运动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2),已知y与t之间的函数图象如图2所示.

给出下列结论:①当0<t≤10时,△BPQ是等腰三角形;②S

△ABE

=48cm2;③当14<t<22时,y=110-5t;④在运动过程中,使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个;⑤△BPQ与△ABE相似时,t=14.5.其中正确结论的序号是___________.

同类题型1.1 如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,AD=5,CD=3,sin A=sin B=1

3,动点P自A点出

发,沿着边AB向点B匀速运动,同时动点Q自点A出发,沿着边AD-DC-CB匀速运动,速度均为每秒1个单位,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P运动t(秒)时,△APQ的面积为s,则s关于t的函数图象是()

A.B.C.D.

同类题型1.2 如图1.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,动点P从点B出发,沿B→C→D→A的方向运动,到达点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y与x的函数图象如图2所示,那么AB边的长度为____________.

同类题型1.3 如图1,有一正方形广场ABCD,图形中的线段均表示直行道路,⌒

BD表示一条以A为圆心,以AB为半径的圆弧形道路.如图2,在该广场的A处有一路灯,O是灯泡,夜晚小齐同学沿广场道路散步时,影子长度随行走路线的变化而变化,设他步行的路程为x(m)时,相应影子的长度为y(m),根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3,则他行走的路线是()

A.A→B→E→G B.A→E→D→C C.A→E→B→F D.A→B→D→C

例2.如图,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是()

A.

7

2B.

2 7

3C.

3 5

5D.

26

4

同类题型2.1 如图,已知菱形OABC的边OA在x轴上,点B的坐标为(8,4),点P是对角线OB上的一个动点,点D(0,2)在y轴上,当CP+DP最短时,点P的坐标为____________.

同类题型2.2 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=k

x(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC

的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是()

A.6 2 B.10 C.2 26 D.2 29

同类题型2.3

例3.如图,正方形ABCD中.点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形.连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H,若S

△EGH

=3,则S△ADF=()

A.6 B.4 C.3 D.2

同类题型3.1如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是___________(用含m 的代数式表示).

同类题型3.2 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2 2 ,点E是CD的中点,连接AE,将△ADE沿直线AE折叠,使点D落在点F处,则线段CF的长度是()

A.1 B.

2

2C.

2

3D.

2

3

同类题型3.3如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E,若AD=1,AB=CF,则AE =__________.

同类题型3.4 如图,正方形ABCD中,BC=2,点M是边AB的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点

E在DC上,点F在DP上,且∠DFE=45°.若PF=

5

6,则CE=_________.

例4.如图,正方形ABCD的边长为4,点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发,点E从点A向点D运动,点F从点D向点C运动,点E运动到D点时,E、F停止运动.连接BE、AF相交于点G,连接CG.有下列结论:①AF⊥BE;②点G随着点E、F的运动而运动,且点G的运动路径的长度为π;

③线段DG的最小值为2 5 -2;④当线段DG最小时,△BCG的面积S=8+8

5 5 .其中正确的命题有

____________.(填序号)

同类题型4.1 如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②tan∠CAD= 2 ;③DF=DC;④CF=2AF,正确的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

同类题型4.2 点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上,BE=DF,点P在边AB上,AP:PB=1:

n(n>1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S

1、S

2

的两部分,将△CDF分成面积为S

3

S

4

的两部分(如图),下列四个等式:

①S

1:S

3

=1:n

②S

1:S

4

=1:(2n+1)

③(S

1+S

4

):(S

2

+S

3

)=1:n

④(S

3-S

1

):(S

2

-S

4

)=n:(n+1)

其中成立的有()

A.①②④B.②③C.②③④D.③④

同类题型4.3 如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,点F是CD边上一点(不与点D重合).点P为DE上一动点,PE<PD,将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后,角的两边交射线DA于H,G 两点,有下列结论:①DH=DE;②DP=DG;③DG+DF= 2 DP;④DP﹒DE=DH﹒DC,其中一定正确的是()

A.①②B.②③C.①④D.③④

例5.如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线y=k

x(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左

侧,点A的横坐标为 2 ,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为______________.

同类题型5.1 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=1

x和y=

9

x

在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD⊥x轴于点D,交y=1

x的图象于点C,连结A C.若△ABC

是等腰三角形,则k的值是________.

专题10 选择填空方法综述

例1.如图1,E为矩形ABCD的边AD上一点,点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止,点Q从点B出发沿BC运动到点C停止,它们运动的速度都是1cm/s.若点P、点Q同时开始运动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2),已知y与t之间的函数图象如图2所示.

给出下列结论:①当0<t≤10时,△BPQ是等腰三角形;②S

△ABE

=48cm2;③当14<t<22时,y=110-5t;④在运动过程中,使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个;⑤△BPQ与△ABE相似时,t=14.5.其中正确结论的序号是___________.

解:由图象可以判定:BE=BC=10 cm.DE=4 cm,

当点P在ED上运动时,S

△BPQ =

1

2BC﹒AB=40cm

2,

∴AB=8 cm,

∴AE=6 cm,

∴当0<t≤10时,点P在BE上运动,BP=BQ,∴△BPQ是等腰三角形,

故①正确;

S△ABE=1

2AB﹒AE=24 cm

2,

故②错误;

当14<t<22时,点P在CD上运动,该段函数图象经过(14,40)和(22,0)两点,解析式为y=110-5t,

故③正确;

△ABP为等腰三角形需要分类讨论:当AB=AP时,ED上存在一个符号题意的P点,当BA=BO时,BE

上存在一个符合同意的P 点,当P A =PB 时,点P 在AB 垂直平分线上,所以BE 和CD 上各存在一个符号题意的P 点,共有4个点满足题意, 故④错误;

⑤△BPQ 与△ABE 相似时,只有;△BPQ ∽△BEA 这种情况,此时点Q 与点C 重合,即PC BC =AE AB =3

4

∴PC =7.5,即t =14.5. 故⑤正确.

综上所述,正确的结论的序号是①③⑤.

同类题型1.1 如图,在四边形ABCD 中,DC ∥AB ,AD =5,CD =3,sin A =sin B = 1

3

,动点P 自A 点出

发,沿着边AB 向点B 匀速运动,同时动点Q 自点A 出发,沿着边AD -DC -CB 匀速运动,速度均为每秒1个单位,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P 运动t (秒)时,△APQ 的面积为s ,则s 关于t 的函数图象是( )

A .

B .

C .

D . 解:过点Q 做QM ⊥AB 于点M .

当点Q 在线段AD 上时,如图1所示,

∵AP =AQ =t (0≤t ≤5),sin A =1

3

∴QM =1

3 t ,

∴s =12AP ﹒QM =16

t 2

当点Q 在线段CD 上时,如图2所示,

∵AP =t (5≤t ≤8),QM =AD ﹒sin A =5

3

∴s =12AP ﹒QM =5

6

t ;

当点Q 在线段CB 上时,如图3所示,

∵AP =t (8≤t ≤2023 +3(利用解直角三角形求出AB =2023 +3),BQ =5+3+5-t =13-t ,sin B =1

3

∴QM =1

3 (13-t ),

∴s =12AP ﹒QM =-16(t 2

-13t ),

∴s =-16(t 2 -13t )的对称轴为直线x =13

2

∵t <13, ∴s >0.

综上观察函数图象可知B 选项中的图象符合题意. 选B .

同类题型1.2 如图1.在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,动点P 从点B 出发,沿B →C →D →A 的方向运动,到达点A 停止,设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y ,如果y 与x 的函数图象如图2所示,那么AB 边的长度为____________. 解:根据题意,

当P 在BC 上时,三角形面积增大,结合图2可得,BC =4; 当P 在CD 上时,三角形面积不变,结合图2可得,CD =3; 当P 在DA 上时,三角形面积变小,结合图2可得,DA =5; 过D 作DE ⊥AB 于E , ∵AB ∥CD ,AB ⊥BC , ∴四边形DEBC 是矩形,

∴EB =CD =3,DE =BC =4,AE =AD 2-DE 2=52-42

=3, ∴AB =AE +EB =3+3=6.

同类题型1.3 如图1,有一正方形广场ABCD ,图形中的线段均表示直行道路,⌒

BD 表示一条以A 为圆心,以AB 为半径的圆弧形道路.如图2,在该广场的A 处有一路灯,O 是灯泡,夜晚小齐同学沿广场道路散步时,影子长度随行走路线的变化而变化,设他步行的路程为x (m )时,相应影子的长度为y (m ),根据他步行的路线得到y 与x 之间关系的大致图象如图3,则他行走的路线是( ) A .A →B →E →G B .A →E →D →C C .A →E →B →F D .A →B →D →C 解:根据图3可得,函数图象的中间一部分为水平方向的线段, 故影子的长度不变,即沿着弧形道路步行,

因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x 的范围相等,且均小于中间一段图象对应的x 的范围, 故中间一段图象对应的路径为⌒

BD ,

又因为第一段和第三段图象都从左往右上升,

所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB 或AD ,第三段函数图象对应的路径为BC 或DC , 故行走的路线是A →B →D →C (或A →D →B →C ), 选D .

同类题型1.4

例2.如图,菱形ABCD 的边长为6,∠ABC =120°,M 是BC 边的一个三等分点,P 是对角线AC 上的动点,当PB +PM 的值最小时,PM 的长是( )

A .72

B .2 73

C .3 55

D .264

解:如图,连接DP ,BD ,作DH ⊥BC 于H . ∵四边形ABCD 是菱形,

∴AC ⊥BD ,B 、D 关于AC 对称, ∴PB +PM =PD +PM ,

∴当D 、P 、M 共线时,P ′B +P ′M =DM 的值最小,

∵CM =1

3

BC =2,

∵∠ABC =120°,

∴∠DBC =∠ABD =60°,

∴△DBC 是等边三角形,∵BC =6, ∴CM =2,HM =1,DH =3 3 ,

在Rt △DMH 中,DM =DH 2

+HM 2

=(33)2

+12

=27 , ∵CM ∥AD ,

∴P ′M DP ′=CM AD =26=13

, ∴P ′M =14DM =7

2

选A .

同类题型2.1 如图,已知菱形OABC 的边OA 在x 轴上,点B 的坐标为(8,4),点P 是对角线OB 上的一个动点,点D (0,2)在y 轴上,当CP +DP 最短时,点P 的坐标为____________. 解:如图连接AC ,AD ,分别交OB 于G 、P ,作BK ⊥OA 于K . 在Rt △OBK 中,OB =BK 2

+OK 2

=82

+42

=4 5 , ∵四边形OABC 是菱形,

∴AC ⊥OB ,GC =AG ,OG =BG =2 5 ,

设OA =AB =x ,在Rt △ABK 中,∵AB 2=AK 2+BK 2

, ∴x 2=(8-x )2+42

, ∴x =5, ∴A (5,0),

∵A 、C 关于直线OB 对称, ∴PC +PD =P A +PD =DA , ∴此时PC +PD 最短,

∵直线OB 解析式为y =12 x ,直线AD 解析式为y =-2

5

x +2,

由???y =12x y =-25x +2 解得?

??x =209

y =

109

∴点P 坐标(209 ,10

9

).

同类题型2.2 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y = k

x

(x >0)的图象与边长是6的正方形OABC

的两边AB ,BC 分别相交于M ,N 两点.△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上,则PM +PN 的最小值是( ) A .6 2 B .10 C .2 26 D .2 29 解:∵正方形OABC 的边长是6,

∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6,

∴M (6,k 6 ),N (k

6 ,6),

∴BN =6-k 6 ,BM =6-k

6

∵△OMN 的面积为10,

∴6×6-12×6×k 6-12×6×k 6-12×(6-k 6

)2

=10,

∴k =24, ∴M (6,4),N (4,6),

作M 关于x 轴的对称点M ′,连接NM ′交x 轴于P ,则NM ′的长=PM +PN 的最小值, ∵AM =AM ′=4, ∴BM ′=10,BN =2,

∴NM ′=BM ′2+BN 2=102+22

=226 , 选C .

同类题型2.3 例3.如图,正方形ABCD 中.点E ,F 分别在BC ,CD 上,△AEF 是等边三角形.连接AC 交EF 于点G .过点G 作GH ⊥CE 于点H ,若S △EGH =3,则S △ADF =( ) A .6 B .4 C .3 D .2 解:∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB =BC =CD =AD ,∠B =∠BCD =∠D =∠BAD =90°. ∵△AEF 等边三角形,

∴AE =EF =AF ,∠EAF =60°. ∴∠BAE +∠DAF =30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中, ???AE =AF AB =AD

, ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL ), ∴BE =DF , ∵BC =CD ,

∴BC -BE =CD -DF ,即CE =CF , ∴△CEF 是等腰直角三角形, ∵AE =AF ,

∴AC 垂直平分EF , ∴EG =GF , ∵GH ⊥CE , ∴GH ∥CF ,

∴△EGH ∽△EFC , ∵S △EGH =3,

∴S △EFC =12,

∴CF =2 6 ,EF =4 3 , ∴AF =4 3 ,

设AD =x ,则DF =x -2 6 ,

∵AF 2=AD 2+DF 2

∴(43)2=x 2+(x -26)2

, ∴x =6+3 2 ,

∴AD =6+3 2 ,DF =32- 6 ,

∴S △ADF =1

2

AD ﹒DF =6.

选A .

同类题型3.1如图,在等腰Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =CB =2,点D 为AC 的中点,点E ,F 分别是线段AB ,CB 上的动点,且∠EDF =90°,若ED 的长为m ,则△BEF 的周长是___________(用含m 的代数式表示). 解:如图,

连接BD ,在等腰Rt △ABC 中,点D 是AC 的中点, ∴BD ⊥AC ,

∴BD =AD =CD ,∠DBC =∠A =45°,∠ADB =90°, ∵∠EDF =90°, ∴∠ADE =∠BDF ,

在△ADE 和△BDF 中,?????∠A =∠DBF

AD =BD ∠ADE =∠BDF

∴△ADE ≌△BDF (ASA ), ∴AE =BF ,DE =DF ,

在Rt △DEF 中,DF =DE =m . ∴EF =2DE = 2 m ,

∴△BEF 的周长为BE +BF +EF =BE +AE +EF =AB +EF =2+ 2 m .

同类题型3.2 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,AD =2 2 ,点E 是CD 的中点,连接AE ,将△ADE 沿直线AE 折叠,使点D 落在点F 处,则线段CF 的长度是( )

A .1

B .22

C .23

D .2

3

解:过点E 作EM ⊥CF 于点M ,如图所示.

在Rt △ADE 中,AD =2 2 ,DE =1

2 AB =1,

∴AE =AD 2

+DE 2

=3.

根据折叠的性质可知:ED =EF ,∠AED =∠AEF . ∵点E 是CD 的中点, ∴CE =DE =FE ,

∴∠FEM =∠CEM ,CM =FM .

∵∠DEA +∠AEF +∠FEM +∠MEC =180°,

∴∠AEF +∠FEM =1

2

×180°=90°.

又∵∠EAF +∠AEF =90°, ∴∠EAF =∠FEM .

∵∠AFE =∠EMF =90°, ∴△AFE ∽△EMF , ∴MF FE =FE EA ,即MF 1=13

, ∴MF =13 ,CF =2MF =2

3

选C .

同类题型3.3如图,在矩形ABCD 中,BE ⊥AC 分别交AC 、AD 于点F 、E ,若AD =1,AB =CF ,则AE =__________.

解:∵四边形ABCD 是矩形,

∴BC =AD =1,∠BAF =∠ABC =90°, ∴∠ABE +∠CBF =90°, ∵BE ⊥AC ,

∴∠BFC =90°,

∴∠BCF +∠CBF =90°, ∴∠ABE =∠FCB ,

在△ABE 和△FCB 中,?????∠EAB =∠BFC =90°

AB =CF ∠ABE =∠FCB

∴△ABE ≌△FCB ,

∴BF =AE ,BE =BC =1, ∵BE ⊥AC ,

∴∠BAF +∠ABF =90°, ∵∠ABF +∠AEB =90°, ∴∠BAF =∠AEB , ∵∠BAE =∠AFB , ∴△ABE ∽△FBA , ∴AB BF =BE AB , ∴AB AE =1

AB

, ∴AE =AB 2

在Rt △ABE 中,BE =1,根据勾股定理得,AB 2+AE 2=BE 2

=1,

∴AE +AE 2

=1, ∵AE >0,

∴AE =5-1

2

同类题型3.4 如图,正方形ABCD 中,BC =2,点M 是边AB 的中点,连接DM ,DM 与AC 交于点P ,点

E 在DC 上,点

F 在DP 上,且∠DFE =45°.若PF = 5

6

,则CE =_________.

解:如图,连接EF .

∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB =BC =CD =DA =2,∠DAB =90°,∠DCP =45°, ∴AM =BM =1,

在Rt △ADM 中,DM =AD 2

+AM 2

=22

+12

= 5 , ∵AM ∥CD , ∴AM DC =MP PD =12

, ∴DP =253 ,∵PF =5

6

∴DF =DP -PF =5

2

∵∠EDF =∠PDC ,∠DFE =∠DCP , ∴△DEF ∽△DPC , ∴DF DC =DE DP , ∴522=DE 25

3

∴DE =5

6

∴CE =CD -DE =2-56=7

6

例4.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 、F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发,点E 从点A 向点D 运动,点F 从点D 向点C 运动,点E 运动到D 点时,E 、F 停止运动.连接BE 、AF 相交于点G ,连接CG .有下列结论:①AF ⊥BE ;②点G 随着点E 、F 的运动而运动,且点G 的运动路径的长度为π;

③线段DG 的最小值为2 5 -2;④当线段DG 最小时,△BCG 的面积S =8+ 8

5

5 .其中正确的命题有

____________.(填序号)

解:∵点E 、F 分别同时从A 、D 出发以相同的速度运动, ∴AE =DF ,

∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB =DA ,∠BAE =∠D =90°, 在△BAE 和△ADF 中, ?

????AE =DE

∠BAE =∠ADF =90°AB =AD , ∴△BAE ≌△ADF (SAS ), ∴∠ABE =∠DAF ,

∵∠DAF +∠BAG =90°,

∴∠ABE +∠BAG =90°,即∠AGB =90°, ∴AF ⊥BE .故①正确; ∵∠AGB =90°,

∴点G 的运动路径是以AB 为直径的圆所在的圆弧的一部分, 由运动知,点E 运动到点D 时停止,同时点F 运动到点C ,

∴点G 的运动路径是以AB 为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°,

∴长度为90π×2

180

=π,故命题②正确;

如图,

设AB 的中点为点P ,连接PD ,

∵点G 是以点P 为圆心AB 为直径的圆弧上一点, ∴当点G 在PD 上时,DG 有最小值,

在Rt △ADP 中,AP =1

2

AB =2,AD =4,根据勾股定理得,PD =2 5 ,

∴DG 的最小值为2gh (5) -2,故③正确;

过点G 作BC 的垂线与AD 相交于点M ,与BC 相交于N , ∴GM ∥P A ,

∴△DMG ∽△DAP , ∴GM AP =DG DP

, ∴GM =10-25

5

∴△BCG 的高GN =4-GM =10+25

5

∴S △BCG =12×4×10+255=4+45

5

,故④错误,

∴正确的有①②③.

同类题型4.1 如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 边的中点,BE ⊥AC ,垂足为F ,连结DF ,下列四个结论:①△AEF ∽△CAB ;②tan ∠CAD = 2 ;③DF =DC ;④CF =2AF ,正确的是( ) A .①②③ B .②③④ C .①③④ D .①②④ 解:如图,过D 作DM ∥BE 交AC 于N , ∵四边形ABCD 是矩形,

∴AD ∥BC ,∠ABC =90°,AD =BC , ∵BE ⊥AC 于点F ,

∴∠EAC =∠ACB ,∠ABC =∠AFE =90°, ∴△AEF ∽△CAB ,故①正确; ∵AD ∥BC ,

∴△AEF ∽△CBF , ∴AE BC =AF CF

, ∵AE =12AD =1

2 BC ,

∴AF CF =12

, ∴CF =2AF ,故④正确; ∵DE ∥BM ,BE ∥DM ,

∴四边形BMDE 是平行四边形,

∴BM =DE =1

2

BC ,

∴BM =CM , ∴CN =NF ,

∵BE ⊥AC 于点F ,DM ∥BE , ∴DN ⊥CF ,

∴DM 垂直平分CF , ∴DF =DC ,故③正确;

设AE =a ,AB =b ,则AD =2a ,

由△BAE ∽△ADC ,有b a =2a

b

,即b = 2 a ,

∴tan ∠CAD =DC AD =b 2a =2

2

.故②不正确;

正确的有①③④, 选C .

同类题型4.2 点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上,BE =DF ,点P 在边AB 上,AP :PB =1:n (n >1),过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1

、S 2

的两部分,将△CDF 分成面积为S 3

、S 4

的两部分(如图),下列四个等式: ①S 1

:S 3

=1:n ②S 1

:S 4

=1:(2n +1) ③(S 1

+S 4

):(S 2

+S 3

)=1:n ④(S 3

-S 1

):(S 2

-S 4

)=n :(n +1) 其中成立的有( ) A .①②④ B .②③ C .②③④ D .③④ 解:由题意∵AP :PB =1:n (n >1),AD ∥l ∥BC ,

∴S 1

S 1

+S 2

=(1n +1)2

,S 3

=n 2

S 1

,S 3

S 3

+S 4

=(n n +1)2

, 整理得:S 2

=n (n +2)S 1

,S 4

=(2n +1)S 1

, ∴S 1

:S 4

=1:(2n +1),故①错误,②正确, ∴(S 1

+S 4

):(S 2

+S 3

)=[S 1+(2n +1)S 1

]:[n (n +2)S 1

+n 2

S 1

]=1:n ,故③正确, ∴(S 3

-S 1

):(S 2

-S 4

)=[n 2

S 1

-S 1

]:[n (n +2)S 1

-(2n +1)S 1

]=1:1,故④错误, 选B .

同类题型4.3 如图,在矩形ABCD 中,DE 平分∠ADC 交BC 于点E ,点F 是CD 边上一点(不与点D 重合).点P 为DE 上一动点,PE <PD ,将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后,角的两边交射线DA 于H ,G 两点,有下列结论:①DH =DE ;②DP =DG ;③DG +DF = 2 DP ;④DP ﹒DE =DH ﹒DC ,其中一定正确的是( ) A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 解:∵∠GPF =∠HPD =90°,∠ADC =90°,

∴∠GPH =∠FPD , ∵DE 平分∠ADC ,

∴∠PDF =∠ADP =45°, ∴△HPD 为等腰直角三角形, ∴∠DHP =∠PDF =45°, 在△HPG 和△DPF 中, ∵?????∠PHG =∠PDF PH =PD ∠GPH =∠FPD

, ∴△HPG ≌△DPF (ASA ), ∴PG =PF ;

∵△HPD 为等腰直角三角形, ∴HD = 2 DP ,HG =DF , ∴HD =HG +DG =DF +DG , ∴DG +DF = 2 DP ;故③正确,

∵DP ﹒DE =22 DH ﹒DE ,DC =2

2

DE ,

∴DP ﹒DE =DH ﹒DC ,故④正确, 由此即可判断选项D 正确, 选D .

例5.如图,在平面直角坐标系中,经过点A 的双曲线y = k

x

(x >0)同时经过点B ,且点A 在点B 的左

侧,点A 的横坐标为 2 ,∠AOB =∠OBA =45°,则k 的值为______________.

解:过A 作AM ⊥y 轴于M ,过B 作BD 选择x 轴于D ,直线BD 与AM 交于点N ,如图所示:

无锡地区中考数学选择填空压轴题专题10:选择填空方法综述

则OD =MN ,DN =OM ,∠AMO =∠BNA =90°, ∴∠AOM +∠OAM =90°, ∵∠AOB =∠OBA =45°, ∴OA =BA ,∠OAB =90°, ∴∠OAM +∠BAN =90°, ∴∠AOM =∠BAN ,

在△AOM 和△BAN 中,?

????∠AOM =∠BAN

∠AMO =∠BNA OA =BA ,

∴△AOM ≌△BAN (AAS ),

∴AM =BN = 2 ,OM =AN =k

2

∴OD =k 2+ 2 ,BD =k

2- 2 ,

∴B (k 2+ 2 ,k

2

- 2 ),

∴双曲线y =k

x

(x >0)同时经过点A 和B ,

∴(k 2+2)﹒(k

2

- 2 )=k ,

整理得:k 2

-2k -4=0,

解得:k =1± 5 (负值舍去), ∴k =1+ 5 .

同类题型5.1 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =kx (k >0)分别交反比例函数y = 1x 和y = 9

x

在第一象限的图象于点A ,B ,过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ,交y = 1

x

的图象于点C ,连结A C .若△ABC

是等腰三角形,则k 的值是________.

解:∵点B 是y =kx 和y =9x 的交点,y =kx =9

x

解得:x =3

k

,y =3k ,

∴点B 坐标为(3

k ,3gh (k ) ),

点A 是y =kx 和y =1x 的交点,y =kx =1

x

解得:x =1

k

,y =k ,

∴点A 坐标为(1

k

,k ),

∵BD ⊥x 轴,

∴点C 横坐标为3k

,纵坐标为13k

=k

3 ,

∴点C 坐标为(3k

,k

3 ),

∴BA ≠AC ,

若△ABC 是等腰三角形,

①AB =BC ,则(3k -1k

)2+(3k -k )2

=3k -k 3 ,

解得:k =37

7 ;

②AC =BC ,则(

3k -1k

)2+(k -k 3)2=3k -k 3 ,

解得:k =

15

5 ; 故k =377 或155