期末复习
《电磁波与天线技术》复习参考题
1． 在直角坐标系中，矢量场x x y y z z A A e A e A e =++
，写出该矢量场的
散度、旋度表达式。
2． 在柱坐标系中，矢量场r r z z A A e A e A e φφ=++
，写出该矢量场的散
度、旋度表达式。
3． 在球坐标系中，矢量场r r A A e A e A e φφθθ=++
，写出该矢量场的散
度、旋度表达式。
4． 直角坐标系中，标量场(),,x y z ?，写出此函数的梯度表达式，写
出此标量场的拉普拉斯方程，泊松方程
5． 柱坐标系中，标量场(),,r z ?φ，写出此函数的梯度表达式，写出
此标量场的拉普拉斯方程，泊松方程
6． 球坐标系中，标量场(),,r ?φθ，写出此函数的梯度表达式，写出
此标量场的拉普拉斯方程，泊松方程
7． 证明标量函数的梯度的旋度为0， 即()0????=
8． 证明矢量场的旋度的散度为0， 即()0A ???=
9．
已知21R a R R R ??
=?=- ???
证明
10． 已知,D D ds q ρ?==??
求证
11． 写出高斯定理和斯托克斯定理的数学表达式
12． 写出静电场的散度、旋度的微分和积分表达式；从静电场的散
度、旋度表达式说明静电场的性质
13． 写出稳恒磁场的散度、旋度的微分和积分表达式；从静电场的
散度、旋度表达式说明稳恒磁场的性质
14． 写出稳恒电场的散度、旋度的微分和积分表达式；从静电场的
散度、旋度表达式说明稳恒电场的性质
15． 写出静电场中介质分界面上的边界条件，说明其物理意义 16． 写出稳恒电场中介质分界面上的边界条件，说明其物理意义 17． 写出稳恒磁场中介质分界面上的边界条件，说明其物理意义 18． 写出电磁场MAXWELL 方程组的微分形式，解释每个方程的物理
意义并说明电磁波产生的机制；写出MAXWELL 方程组的积分形式复数形式。
19． 积分法求解边界问题适用于什么样的边界问题？叙述积分法求
解边界问题的要点和步骤
20． 分离变量法求解边界问题适用于什么样的边界问题？叙述分离
变量法求解边界问题的要点和步骤
21． 镜像法求解边界问题适用于什么样的边界问题？叙述镜像法求
解边界问题的要点和步骤
22． 由 MAXWELL 方程组的微分形式出发推导波动方程
23． 半径a 导体球面电位U 0,球外无电荷，求空间电位?，场强E
解
在导体球面上，电位为U 0，无穷远处电位为零。 23题图 分别将 r =a 、 r =∞ 代入上式，得
20
??=22
10d d r r dr dr ??
?= ??
?2
1
d r C dr
?=12
C d dr r
?
=1
2C C r
?=-
+
1
20c c =+∞
?
24 半径为a 导体球，带电量Q ，导体球外套有外半径为b 的同心介
质球壳， 两导体间介质ε，壳外是空气，如图所示。求空间任一点的D 、 E 、 P 。 解： 00
0===P E D a
r 当
4
1
4
4
4
r q
E D
P
e r q
E
e r q
D
q
D
r q
s
d D b
r
a
π
ε
εε
πε
π
π
-
=
-
=
=
=
?
=
?
=
?≤≤
?
当
24题图
r
r r r
r
s
e r
q E D P e r q E e r
q D q
D r q s d D b r a 202
2241444πεεεπεππ-=-==
=
?=?=?≤≤?
当
0440202=-==
=
E D P e r
q E e q D b
r r
r
r
επεπ当
25 .半径为a 的无限长直导线，载有电流I ，计算导体内、外的磁感
应强度。
解
φ
πμμπππμμe a
rI H a I
r rH I a
r I l d H a r L 20220220022=?=?
='=??当
102C U C a =-+102,0
C aU C =-=00/()
aU r
r a r U r a
?>?=?
≤?
02r I r a
H e r
μπ= 当
26． 同心球电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为b ，其间填
充两种介质，上半部分的介电常数1ε，下半部分的介电常数2ε，如图所示，求该电容器的电容。
解：由边界条件知12r E E Ee ==
26题图
2221122122
122
121212222()5,2()11()2()2()2()b
b
a a r E r E r E q q
E r
q q U Edr dr r b a ab q C U b a
πεπεπεεπεεπεεπεεπεε+=+==
+-===-+++=
=-??（分）内外导体间的电压：电容为：
27. 如图所示，长直导线中载有电流 cos m i I t ω=， 矩形导线框位于
其近旁，其两边与直线平行并且共面，求矩形导线框中的磁通量，线圈中的感生电动势
解：载流导线产生的磁场强度的大小为02i
B r
μπ=
穿过线圈的磁通量为：
2
27题图
00cos .ln
22c a
c a m c
c
i bI t c a B ds bdr r c μμωφππ+++=
==?
?
0sin()ln
2m bI d c a
t dt c
μωφεωπ+=-
= 28．长直导线和底角60?的直角三角形导线回路共面放置，尺寸如图
所示，计算他们之间的互感。
解：设长直导线通过电流I ，
根据安培环路定理有：02I
B x
μπ=
穿过三角形回路面积的通量为 28题图
000[()ln(1)]
222d b
d b
d
d
S
I I I z b d x b
BdS dx dx b d b x x d
μ?π
π
π+++-==
==++-??
?
29、若半径为a 的导体球面的电位为U 0球外无电荷，求空间的电位。 解： 空间电位满足拉普拉斯方程
由于电场的球对称性，取拉普拉斯算子为球坐标形式，而且场只与径向有关，而与极角和方位角无关，拉氏方程为
再对其积分一次， 得
在导体球面上，电位为U 0，无穷远处电位为零。分别将r =a 、 r =∞代入上式，得
这样解出两个常数为 所以
2
=??1
2
22
01c dr
d r
dr d r dr d r =?=??
?
???
?2
1
C r
C +-=?2
1
0C a
C U +-=0
,201=-=C aU C 00/()
aU r
r a r U r a
?>?=?
≤?
30、两块半无限大平行平板导体，板间距离为b,另一端一导体长条点位为彼此绝缘，求两板间电位分布
?简化的步骤：
---判断解的形式有界：正余弦和双曲函数；无界：指数函数y 方向周期重复，正余弦函数；x 方向无界，指数函数；---求特征值，写出通解形式
---代入边界，求待定系数---写出问题的解
U 0()()
)sin()cos(4
3
21
k y k y c c e
c e
c kx
kx
+?+=
-?
31、“分离变量法”解电磁场边値问题的思路和步骤是什么？所用通
用函数有哪几类？写出具体函数形式。
32、一无限大平面导体接地，其电位为0，在导体上
方h 处放一电荷Q, 求导体平面上方空间的电位和电场分布 解：由系统结构可以看出其“镜像电荷”应置于以导体平面为对称平面的
h z -=处，电量为-Q ，可以使导体平面的电位为0，满足
问题的边界条件。取坐标系如图 由图可见
其中
导体平板表面的电荷密度为：
+=),,(q z y x ψψψR R
q
q
*
=
()[]
y
x
h z E
qh
z
R R q z y x z
q q q q 2
2
2
2:
0)(114),,(2
30
2*0*+++?-=??-
==???? ??-??=+=πεψ
ψεπψψψ由电场与电位的关系方程容易证明满足拉普拉斯意点的电位无限大接地平面上方任()
()
()
q
RdRd qh
ds Q qh
qh
qh
s
s
z z n s R h y
x
R
R h y
x h
E D -=∞=
-=
=
+
=
-=
-=
==?
?
+?+++∞
=0
22222,2222
2
2
22
120
2
32
2
2
2
32
300θ
π
π
π
επ
ρ
ρ总电量：其中
33、写出电磁场的MAXWELL 方程组，说明每一方程的物理意义。MAXWELL 方程组整体预示了什么？（电磁波的存在。）
34、简单媒质的特征方程
35、写出MAXWELL 方程的复数形式。说明物理意义。
其物理意义是，电磁场的空间复振幅满足MAXWELL 复数方程组
36下列形式互换（场矢量的复数形式与瞬时值形式）
sin cos()
2
π
θθ=-+
0E j B H J j D D B
ωωρ??=-??=+??=??=
38、自由空间某点存在频率为5 GHz 的时谐电磁场, 其磁场
强度空间复振幅为： 求：(1)求磁场强度瞬时值H(t)；(2)求电场强度空间复振幅E
解 （1） （2）
39、 一均匀平面波从空气垂直入射到位于x =0的理想导体平
板上，已知入射波电场强度为：()
0j wt kx y E e E e +-=
求：（1）判断入射波的极化方式；（2）计算反射波的电场；
解：（1）()0j wt kx y E e E e +-= ， 线极化。
（2）反射波是－x 方向，且在导体边界（x =0）上合成电场强度为0，
所以得 ()
j wt kx y E e E e -+=- 10
90(100/3)(100/3)110103600.010
1.2x y z j z
j z
x e e e j j E H x
y z e e e ππωεπππ-----???=??=
?????=
1090
(100/3)(100/3)1
1010360
0.010
1.2x
y
z j z
j z
x e e e j j E H
x
y z e e e ππωεπππ-----??
?=??=?????=
(100/3)0.01(/)j z y
H e e A m π-= 9(100/3)251010
()Re[0.01]0.01cos[10(100/3)](/)
j z j t
y y H t e e e e t z A m ππππ-??==-
40、a b ?矩形导体线圈平面内，有直长导线，如图2，当直流电I
通过导线， 求（1）线圈中的磁通量ψ；（2）线圈中电动势ε； （3） 交流电()0cos I I t ωπ=+通过导线，求线圈中电动势ε 解：
40题图
(1)
lg 22c a
c
I
Ib c a
bdx x c ψππ++==?
（2） 0d dt
ψ
ε=-= (3) ()
()
00lg cos 2sin 2bI a c
t c
bI d t dt ψωππωψ
εωππ
+=+?=-=+ 41、坡印廷矢量的物理意义，与电场、磁场的关系，
H
E S
?=
42、两无限大理想导体平板相距d , 坐标如图6-2所示。在平行板间存在时谐电磁场, 其电场强度为 (1)求磁场强度H (t ); ; (2)求坡印廷矢量S (t )及平均功率流密度; ; (3)求导体表面的面电流分布
()sin cos()(/)y x E t e E t kz V m d
πω=-
(3) x =0板
sin jkz y x E e E e d
π-= 知由H j E
ωμ-=??000
sin cos x y z y y x z y
jkz jkz x z e e e E E j
j
j H
E
e e x
y z z x E k
x j x e E e e E e d d d
ωμ
ωμωμπππωμωμ--?????
??=??==-+?????????=-+
00()Re[]sin cos()cos sin()(/)
j t x
z k x H t He e E t kz d
x e E t kz A m d d ωπωωμπ
πωωμ==---- 22202
20()()()sin ()cos ()2sin sin 2()(/)
4z x S t E t H t k x e E t kz d x e E t kz W m d d πωωμππωωμ=?=---
*222
0012sin sin 224z x
k x j x S E H e E e E d d d πππωμωμ??=?=+ ???
00
jkz
s x
y
x j J e H e E e d
π
ωμ-==?=-
43、平面波的参数：实数振幅；空间复振幅；相位；波长；频率；波数（波矢量）；圆频率（角频率），波速以及它们之间的关系。
()()()
{}
0000Re 2cos ,,,φωφπ--=--=kz t j e E kz ft E t z y x E 实数振幅：0E ；空间复振幅：()
0φ+=kz j e
E E
相位：0φωφ+-=kz t ；时间相位: t ω
空间相位 0
φ+k z ；波矢量 ：
k
波长：λ
频率：
f
角频率：f πω
2=；波速：f k
v p λω
==
44、一均匀平面波从空气垂直入射到位于z =0的理想导体平
板上，已知入射波电场强度为： 求：（1）反射波的电场（2）合成波的磁场；（3）入射波的极化方式。 解：反射波的电场
反射波的磁场
极化模: 左旋圆极化
0jkz
s
x y
x d
j J e H
e E e d
π
ωμ-==-?=-
0()Re[]sin()(/)
j t s s y J t J e e E t kz A m d ωπωωμ==- ()0
()j wt kz x y E e je E e +-=+ ()
0()j wt kz x y E e je E e
-+=-+ 000
000
00
/()/()()2cos j k z jwt z y x j k z jwt z y x jwt y x E H e E e je e e
E H e E e je e e
E H e je e k z
ηηηηη++---=?=-=-?=-=-
45、在空气中传播的一个平面波有下述两个分量： 这是什么极化波? 试求该波所传输的平均功率密度; ［解］ 电场强度二分量的复振幅为
E 1≠E 2, φ=-60°, 右旋椭圆极化波。 电场强度复矢量为
磁场强度复矢量为
其共轭复矢量为
平均功率密度为
46、写出元电辐射体远场r 处电场强度和磁场强度的分布，写出
()5cos()
/()6cos(60)
/x y E t t kz V m
E t t kz V m
ωω?=-??=--???1
60256x j j y
E E E e E e φ
-?==???==??12????()j jkz x y E xE
yE e e xE yE φ-=+=+1200
1211???()????()j jkz j jkz y x H z E yE
xE e e yH
xH e e yH xH φφηη--=?=-=-=-*12??()j jkz H yH
xH e e φ-=-***
**
11????Re[]Re[()()]
221?Re()2
av
x y y x x y y x S
E H x y E H y x E H z E H E H =?=?-?=+22
12
11220
11??()22av
E E S z E H E H z η+=+=
r 处的能流密度大小。 电场和磁场分布如右公式：
R 处功率流密度为 47、描述
给出它们的物理意义
天线效率：天线是把电磁振荡能量转换成电磁波能量的“换能器”。输入天线的功率并非全部能以电磁波形式辐射出去,有一部分能量在转换过程会产生损耗。所谓天线效率是指辐射功率Pr 与天线输入功率Pin 之比值,L P 为损耗功率
记为A η ，即 方向性函数和归一性向性函数：方向性函数描述天线辐射远区r 处电场强度随极角和方位角变化的函数，其定义为 归一化方向性函数将最大辐射方向场强规定为“1”,
来比较其它方向场强相对值的方法,数学表示式为
其中
m ax
θ为极角，max ?为方位角
方向性系数和增益：采用方向性系数这个参量来说明天线在主向辐射功率的集中程度。所谓方向性系数D 是指天线在主向的平均功率流密度Psmax 和天线辐射出去的功率被均匀分配到空间各个方向上的平均功率流密度Ps 的比值,即
r A in r L
P P
P P P η=
=
+(,)
(,)60E F I r
θ?θ?=
max max (,)
(,)(,)
E f E θ?θ?θ?=m ax
θ0
0sin 400sin 2r jkr jkr r jkr jkr E E Il E j e e r E H H E Il H e j e r θθ
?θ?ωμθθπθθλη----?<
=??
==???===??
2
2222200
0(sin )sin 40()22r Il r l P d d I r ππ
ηθθθ?πληλ
==?
?
增益系数G 就是天线在主向的平均功率流密度Psmax 和天线输入的有功功率被直接均匀分配到空间各个方向时的平均功率流密度P ′s ⊙的比值,即 ,主向的平均功率流
密度得益了多少倍。 接收天线特性参量,有效长度：
以天线输入端电流不变为起始规定,把原来不均匀的电流分布,转化为均匀的电流分布。用改变天线长度的办法,来补偿电流分布的变化,使天线在主向的电场强度值和元电辐射体公式算出的电场强度值相一致。接收天线的有效长度为
当来波不是从主向传来时,接收天线的感应电动势还要考虑接收天线方向性,可得 48、元电辐射体电磁场远区辐射具有哪些特点？
(1)远区空间内任意一点电场和磁场在空间方向上相互垂直,在时间相位上同相。
(2)远区场电场极角向分量远大于径向分量,而磁场分量只有横向分量H φ,故远区场近似为TEM 波。
max max max max 2
2max max 222
max max 00
22
(,)(,)
4(,)/[(,)(,)]sin 44(,)sin s s r s P P D P P r E E f r d d r D f d d ππππ
θ?θ?πθ?η
θ?θ?θθ?ηππ
θ?θθ?=
=
=
=????
max max 24s s s in P G P P r G P r π='= r
in
A
A P P G D ηη==0
max max (,)
e e L E θ?=
0max max (,)(,)(,)e e L E f θ?θ?θ?=
(3)远区场的相位随r 的增加不断滞后,其等相位面为r 等于常数的球面。
(4)远区场的电场与磁场的幅度｜E ｜与｜H ｜之比η0为自由空间的波阻抗。
(5)辐射功率与辐射电阻。 （6）元电体辐射的方向性函数为F (θ,φ)=sin θ 49、对于不同波段的电磁波各采用什么类型的天线？ 一、长,中波天线：(一)垂直线状天线 ；(二)加顶垂直天线 二、短波天线： (一)水平对称振子天线；(二)同相水平天线； (三)菱形天线；
三、超短波天线： (一)引向反射天线；(二)蝙蝠翼振子天线 四、微波天线： (一)喇叭天线； (二)抛物面天线 (三)卡塞格伦天线；(四)微带天线 50、电磁波在空间传播时有哪几种传播形式？具备什么特点？ (1)表面波传播:电波沿着地球表面传播到接收点。
(2)自由空间传播:忽略地面的效应,电波由发射天线直接传播到接收点,由于媒质的不均匀性,传播路线可以有某些弯曲。 (3)空间波传播:地面的效应反映为存在地面反射波,到达接收点的电波是由空间直射波和地面反射波共同作用相干涉的结果。 (4)天波传播:电波通过高空电离层的反射传播到接收点。 (5)散射波传播:电波通过空间大气对流层或电离层中介质的不均匀性对电波的散射作用而传播到接收点
2
2
80()r
l
R πλ
=