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高三数学第一轮复习讲义（小结） 2018.11.18
圆锥曲线
一．课前预习：
1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中
点M 到y 轴的最短距离是 （ B ）
()A 32 ()B 1 ()C 12
()D 2 2．椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB 上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为 （ B ）
()A 12
ab ()
B 2ab ()
C 2ab ()
D ab 3．ABC ?中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2
C B A -=，则动点A 的轨迹方程是 （
D ）
()A 2216161(0)3x y y -=≠ ()B 2216161(0)3
y x x -=≠ ()C 22161161()34x y x -=<- ()D 22161161()34
x y x -=> 4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22221x y m n -=的两条渐近线夹角的正切值是43
． 5．已知,,A B C 为抛物线2
1y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞U ． 二．例题分析：
例1．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ， （1）求证：PA OP PA FB ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ；
（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．
（1）证明：设l ：()a y x c b
=--， 由方程组()a y x c b b y x a ?=--????=??得2(,)a ab P c c ，
∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2
(,0)a A c ， ∴(0,)ab PA c =-u u u r ，2(,)a ab OP c c =u u u r ，2(,)b ab FP c c =-u u u r ， ∴222a b PA OP c ?=-u u u r u u u r ，22
2a b PA FP c
?=-u u u r u u u r ，∴PA OP PA FB ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ． （2）设1122(,),(,)D x y E x y ， 由2222
()1a y x c b x y a b ?=--????-=??得4
44222222222()()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ?<，∴42
222422()0a b a b c a b b
-+<-，∴22b a >，即222c a >
，∴e >
所以，离心率的取值范围为)+∞．
例2．如图，过抛物线2
4x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点， （1）设点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-u u u r u u u r u u u r ；
（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．
解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2440x kx m --=
设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-，
∵点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12x x λ=-， 又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴
QP =u u u r ∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+-u u u r u u u r ∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ?-=-+-u u u r u u u r u u u r
221121222[(1)]44x x x x m m x x =+?++ 121212224442()2()44x x m m m m x x m x x x x +-+=+?=+?=∴()QP QA QB λ⊥-u u u r u u u r u u u r ．
（2）由221204x y x y
-+=??=?得点(6,9),(4,4)A B -，
由2
4x y =得214y x =，∴12
y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=， 设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=， 则22229163
(6)(9)(4)(4)b a a b a b -?=-?-??-+-=++-?
， 解得2323125,,222
a b r =-==， ∴圆C 的方程是22323125()()222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=．
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1．直线143
x y +=与抛物线221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ?的面积等于6，这样的点P 共有 （ ）
()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个
2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰
Rt OPQ ?，则动点Q 的轨迹是
（ ） ()A 圆 ()B 两条平行线 ()C 抛物线 ()D 双曲线
3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．
4．椭圆22
1123
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．
5．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．
6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：22
21x y -=的右支交于不同的两点,A B ，
（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
7．