2021年高考数学 排列组合第一课时教案北师大版

2021年高考数学 排列组合第一课时教案北师大版

1．排列的概念

从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n )元素并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

2．排列数

从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数．用A 表示．

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n 3A n n 1n m 1n A A n n n 1321n m 排列数公式乘积形式阶乘形式规定 练习题

1．有4位教师在一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

解析：让A 先选择监考班级，可从b 、c 、d 中选一个，即有3种选法，若A 选的是b ，则B 从剩下的3个班级中任选一个，也有3种方法，剩下的两人都只有一种选择方法， 这样用分步计数原理可得，共有3×3×1×1＝9种不同监考方法，故选B. 题型一 简单的数字排列问题

例1、 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数．

(1)共有多少个三位数？ (2)奇数有多少个？

(2)(3)能被5整除的有多少个？

解析：(1)从5个数字中选出3个数字排在个、十、百三个位置上，共有A ＝5×4×3＝60种排法，因此共有60个三位数．

(2)从1,3,5三个数中选一个排在个位，有A ＝3种方法，再从剩下的四个数中选出2个排在十位数和百位上，共有A ＝4×3＝12种方法，由分步乘法计数原理，共可组成3×12＝36个三位奇数．

(3)将5排在个位，再从剩下的四个数中选出2个排在十位和百位，共有A ＝4×3＝12种方法，因此共有12个能被5整除的三位数．

变式探究

1、 由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的数:

2、 (1)可以组成多少个5位奇数？

3、 (2)数字4和5不相邻的5位数有多少个？

4、 (3)恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个？

5、 (4)可以组成多少个正整数？

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34

144341135A 4A A A 解先确定个位可从中任选一个有种方法其它位置是余下的个数的全排列有种排法因此共有个

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2123A 45A A A 72先排有种排法然后插入和有种方法因此共有个 5(),,;

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21

33

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234555553A A A 5A A A 364A A A A A 325第一步先将两个偶数排好有种排法第二步两个偶数之间的奇数可有种选择第三步将两个偶数和它们之间的奇数看成一个整体与其它两个奇数全排列有种排法由分步乘法计算原理适合题意的位数有个共有正整数个

题型二 简单的人物排列问题

例2、有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？

(1)甲不在中间也不在两端；

(2)甲、乙两人必须排在两端；

(3)男女相间．

分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，(特殊元素先考虑)．

解析:(1)法一(元素分析法) 先排甲有6种, 其余有种, 故共有种排法

法二(位置分析法) 中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法,故共有种排法

法三(等机会法) 9个人的全排列数有种, 甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是种

法四(间接法)种

(2) 先排甲、乙，再排其余7人,共有

(3)(插空法)先排4名男生有种排法,再将5 名女生插空有种排法,故共有种排法 点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、优先考虑特殊元素（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路． 变式探究

2．有7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法．

(1)甲、乙必须排在一起；

(2)若甲不在排头，乙不在排尾；

(3)甲、乙、丙互不相邻．

解析：(1)(捆绑法)A22·A66＝1440；

(2)(间接法)A77－2A66＋A55＝3720；

(3)(插空法)A44A35＝1440.

题型三转化为简单的排列问题

(xx年湖北名校联考)某电视台连续播放6个广告，其中有三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告．要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有( C )

A．48种 B．98种C．108种 D．120种

解：分三步：第一步将三个不同的商业广告排成一列，有种排法，如图排成一列：①Δ②Δ③Δ④

第二步从两个奥运宣传广告和一个公益广告中选一个排在④位，有种排法；

第三步将剩下的两个广告排在①②③中的两个位上，共有不同排法种

由分步乘法计数原理，不同的播放方式共有种

变式探究

3．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同的插入方法有( B ) A．20种 B．30种 C．42种 D．56种

解析：把第一个小品节目插入节目单中，有5种插法，再将第二个小品节目插入节目中有6种插法，故共有5×6＝30种插法．

题型四有两个限制条件的排列问题

例4、 (xx年四川卷)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )

A．60 B．48 C．42 D．36

解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

变式探究

1、（xx重庆理数）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法

故共有1008种不同的排法

6、用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字

的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是：________. 解：第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有种排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有

种插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇侧性确定．∴不同的排法有8×5=40种，即这样的六位数有40个。