复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+
[巩固1] 复数
i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4
[巩固2] 如果
)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1
[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+
[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3
[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则
ni m ni m -+的共轭复数为_________.i
[例4] 计算：（1）3)2)(1(i
i i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-
[巩固] 计算：
（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+?；（3）i
i 4321-+
1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2．复数的模：22b a bi a z +=+=
3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=
- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
[例1] 已知复数i i z -+=
12，则._____=z 210
[巩固1] 复数)0(21<+=
a i
ai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5
[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.
______=z i 5
856-
[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=
（1）若z z =，求z ；
（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模
精典例题透析
[巩固] 已知z为复数，i
z2
+为实数，且z
i)
2
1(-为纯虚数，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
（2）若复数z满足1
=
-z
w，求w的最小值.
题型一：复数的概念
[例]（1）已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若
z1
z2为纯虚数，则复数
z1
z2的虚部为_______.
（2）若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）
答案(1) 1(2) 充分不必要条件
解析(1)由
z1
z2＝
2＋a i
1－2i
＝
(2＋a i)(1＋2i)
5＝
2－2a
5＋
4＋a
5i是纯虚数，得a＝1，此时
z1
z2＝i，其虚部为1.
(2)由
??
?
??m2＋m＋1＝3，
m2＋m－4＝－2，
解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
[巩固]（1）设i是虚数单位．若复数a－
10
3－i
(a∈R)是纯虚数，则a的值为__________.
（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件.（填充分不必要，知识模块4经典题型
必要不充分，充要或既不充分也不必要）
答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件
解析 (1)a －103－i
＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i
为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；
当(a ＋b i)2＝2i 时，得?????
a 2－
b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，
所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．
题型二：复数的运算
[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i
＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i
解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1
＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )2
2]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2
＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.
（2）复数? ??
??1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1
解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，
得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )
＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以?
???? 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得?????
a ＝3，
b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)? ????1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i
＝－1.
题型三：复数的几何意义
[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：
（1）AO →、BC →所表示的复数；
（2）对角线CA →所表示的复数；
（3）B 点对应的复数．
解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.
∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.
(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，
∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，
即B 点对应的复数为1＋6i.
[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.
答案 一
解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，
∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，
∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．
（2）已知z 是复数，z ＋2i 、
z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，
∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知?????