2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》
3 三角函数大题压轴题练习
1.
已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + )
3 4 4
（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域
12 2
解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + )
3 4 4
= 1 cos 2x + 3
sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2
= 1 cos 2x + 3
sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2
= 1 cos 2x + 3
sin 2x - cos 2x 2 2
= sin(2x -
∴周 周
6 T = 2 = 2 k
由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z )
6 2 2 3
∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z )
3
5
（2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ]
12 2 6 3 6
因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调
递减，
6 12 3 3 2
所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1
3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2
所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[-
12 2 ,1]
2
2. 已知函数 f (x ) = sin 2
x +
3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ．
2 ? ? ?
（Ⅰ）求的值；
3 3 )
(k
? ? ? 2
（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间?0 2π ? 上的取值范围．
? ， ?
?
3 ?
1- cos 2
x 解：（Ⅰ） f (x ) =
+ sin 2x = sin 2x - 1
cos 2x + 1 2 2
= sin ? 2
x - π ? + 1 ．
2
2 2
6 ? 2 ?
?
因为函数 f (x ) 的最小正周期为π ，且> 0 ，
2π
所以
= π ，解得= 1 ．
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x ) = sin ?
2x - π ? + 1 ．
6 ? 2 ?
?
因为0 ≤ x ≤
2π
，
3
π π 7π 所以- ≤ 2x - ≤ ，
6 6 6 所以- 1 ≤sin ?
2x - π ?≤1，
2 6
? ? ?
因此0 ≤sin ?
2x - π ? + 1 ≤ 3 ，即 f (x ) 的取值范围为?0
3 ? ．
6 ? 2 2 ?? ， ??
3. 已知向量 m =(sin A ,cos A ),n = ( 3, -1) ，m ·n ＝1，且 A 为锐角.
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）求函数 f (x ) = cos 2x + 4 cos A sin x (x ∈ R ) 的值域.
π π 1
解：（Ⅰ） 由题意得 m g n = 3 sin A - cos A = 1, 2 s in( A - ) = 1, s in( A - ) = .
6 6 2
由 A 为锐角得 A - = , A =
6 6 3 1
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知cos A = ,
2
所以 f (x ) = cos 2x + 2 sin x = 1- 2 sin 2
x + 2 sin s = -2(sin x - 1 )2 + 3 .
2 2
因为 x ∈R ，所以sin x ∈[-1,1]，因此，当sin x = 1 3 时，f (x )有最大值 . 2 2
当sin x = -1时， f (x ) 有最小值-3,所以所求函数 f (x ) 的值域是?-3 3 ?
， ? 2 ?
3
3 ?
(0, ) g g ?
4. 已知函数 f (x ) = A sin(x +)( A > 0，0 << π) ， x ∈ R 的最大值是 1 ，其图像经过点
M ? π 1 ?
? π ??3
， ? ．（ 1 ） 求 f (x ) 的解析式； （ 2 ） 已知 ，∈ 0， ? ，
且 f () = ， ? 3 2 ? f () = 12
，求 f (- ) 的值．
13
? 2 ?
5 1
【 解 析 】（ 1 ） 依 题 意 有 A = 1 ， 则 f (x ) = sin(x +) ， 将 点 M ( , ) 代 入 得
3 2
1 sin( +) = ， 而 0 << ， 5
∴ += ， ∴= ， 故
3 2 f (x ) = sin(x +
= cos x ；
3 6 2
2 （ 2 ） 依 题 意 有 cos =
3 , cos = 12
， 而 5 13 ,∈ ， 2
∴sin =
= 4
,sin = 5 = 5 ， 13 f (
-
) = cos(
-
) = cos
cos
+ sin
sin = 3 ? 12 + 4 ? 5 = 56
。
5. 已知函数 f (t ) =
5 13 5 13 65
, g (x ) = cos x ? f (sin x ) + sin x ? f (cos x ), x ∈ (, 17
12
（Ⅰ）将函数 g (x ) 化简成 A sin(
x +) + B （ A > 0 ，> 0 ，∈[0, 2) ）的形式；
（Ⅱ）求函数 g (x ) 的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、
代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）
1- sin x
1- cos x
解：（Ⅰ） g (x ) = cos x g
1+ sin x
+ sin x g
1+ cos x
= cos x g (1- sin x )2 cos 2 x + sin x g
(1- cos x )2
sin 2 x
= cos x 1- sin x + sin x 1- cos x .
cos x sin x
Q x ∈? π, 17π?
,∴ cos x = -cos x , sin x = -sin x ,
12 ??
∴ g (x ) = cos x 1- sin x + sin x 1- cos x
g -cos x g -sin x
1-(3)2 5 1-(
) 13 12 2 1- t 1+ t ) ).
2 2 2 4 ? = sin x + cos x - 2
? π ?
＝ 2 sin x + ? - 2.
? ? 17π 5π π 5π
（Ⅱ）由π周 x ≤ 周得 周 x + ≤ .
12 4 4 3
? 5π 3π? ? 3π 5π?
Q sin t 在 4 , 2 ? 上为减函数，在 2 , 3 ? 上为增函数，
? ? ? ?
5π 5π 3π π 5π ? 17π?
又sin 周 3 sin ,∴sin 4 2 ≤ sin(x + )周
4 sin 4 （当 x ∈ π, 2 ? ）， ? ?
π π
即-1 ≤ sin(x + )周 - 周∴- - 2 ≤ 2 sin(x + ) - 2周
- 3周 4 2 4 故 g (x )的值域为?- - 2, -3)
. 6．（本小题满分 12 分）
在?ABC 中，角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ， a = 2
2 sin B cos C = sin A ，求 A , B 及b , c
，
tan
A +
B + tan C
2 2
= 4,
解：由
tan A + B + tan C 2 2
= 4 得cot C + tan C
= 4 2 2
cos C sin C ∴ 2 + ?2 = 4 ∴ 1 = 4 sin C cos C sin C cos C
2 2 2 2 1
∴ s in C =
，又C ∈(0,)
2
5 ∴ C = ，或C =
6 6
由2 sin B cos C = sin A 得 2 sin B cos B = sin(B + C )
即sin(B - C ) = 0 B = C =
6
∴ B = C
A =
- (B + C ) = 2
3 a b c 由正弦定理
sin A = = sin B 得 sin C 3
3 3 2 3 3 ?
b =
c = a sin B
= 2 3 ? sin A 1
2 = 2
3
2
7.在△ABC 中,内角 A , B , C 对边的边长分别是 a , b , c .已知c = 2, C = .
3
⑴若△ABC 的面积等于 ,求 a , b ;
⑵若sin C + sin(B - A ) = 2 sin 2 A ,求△ABC 的面积.
说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分 12 分．
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， a 2
+ b 2
- ab = 4 ，
1
又因为△ABC 的面积等于 ，所以
?a 2 + b 2 - ab = 4，
ab sin C = 2 ，得 ab = 4 ．?????????????????????????????????4 分
联立方程组?ab = 4， 解得 a = 2 ， b = 2 ． ??????????????????????????????????????????????????????????????6 分
（Ⅱ）由题意得sin(B + A ) + sin(B - A ) = 4 sin A cos A ，
即sin B cos A = 2 s in A c os A ， ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8 分
当cos A = 0 时， A = π ，
B = 2 π
， a = 6
， b = ， 3 3
当cos A ≠ 0 时，得sin B = 2 sin A ，由正弦定理得b = 2a ，
?a 2 + b 2 - ab = 4， 2 3 4 3
联立方程组? ?b = 2a ，
解得 a = ， b = ． 3 3
所以△ABC 的面积 S = 1
ab sin C =
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????12 分
2 3
1. 已知函数 f (x ) = sin(x + ) + sin(x - 6 6
) + cos x + a (a ∈ R , a 为常数) .
(Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期；
(Ⅱ)若函数 f (x ) 在[- ， ]上的最大值与最小值之和为 ，求实数 a 的值.
2 解：（Ⅰ）∵ f (x ) = 2 s in x cos
2
+ cos x + a = 6
3 sin x + cos x + a
= 2 s in ? x + ? + a ............................................................. 5 分
6 ? ? ?
∴函数 f (x ) 的最小正周期T = 2 .................................. 7 分
3 4 3 2 3
3
3 3 3 3 ?
? ?
2 (Ⅱ)∵ x ∈ ?- , ? ，∴ - ≤ x + ≤
? 2 2 ?
3 6 3
f ( x ) = f ? -
?
= - + a ……9 分
min 2 ?
f max (
x ) = ? ?
f ??
= 2 + a ........................ 11 分 ? ?
由题意，有(- + a ) + (2 + a ) =
∴ a = -1 ................................................................ 12 分
2.（本小题 12 分）已知函数 f (x ) = 2a cos 2 x + b sin x cos x -
3
,且f (0) = = 1 .
, f ( )
2 2 4 2
（1）求 f (x ) 的最小正周期；（2）求 f (x ) 的单调增区间；
? 3
? f (0) = 2
?
?a = 解：（1）由?
1 得?
2 ...................
3 分 ? f ( ) = ?
4 2
??
b = 1 f (x ) = 3 cos 2 x + sin x cos x - = 3 cos 2x + 1
sin 2x = sin(2x + ……6 分
2 2 2 3
故最小正周期T =
（2）由2k - 2 5
≤ 2x + ≤ 2k + 3 (k ∈ Z )
2 得 k -
12
≤ x ≤ k + 12 (k ∈ Z ) 5
故 f (x ) 的单调增区间为[k - 12
2
, k + ](k ∈ Z ) 12 …………12 分
→
3. 已知 f (x ) = -4 cos
x + 4 3a sin x cos x ，将 f (x ) 的图象按向量 b = (- ,2) 平移后，
4
图象关于直线 x = 对称． 12
（Ⅰ）求实数 a 的值，并求 f (x ) 取得最大值时 x 的集合；
（Ⅱ）求 f (x ) 的单调递增区间．
→
解：（Ⅰ） f (x ) = 2 3a sin 2x - 2 cos 2x - 2 ，将 f (x ) 的图象按向量 b = (-
,2) 平移后
4
的解析式为 g (x ) = f (x + ) + 2 = 2 s in 2x + 2 4
3a cos 2x ．… ................... 3 分
3
3
3
? )
4 + 4 c os ?
+ ? 4 ? ? ?
2 ? ? (
2 8 ) ? ? ? ? = ? ?
周 g (x ) 的图象关于直线 x =
对称，
12 ∴有 g (0) =
，即2 3a = + 3a ，解得 a = 1 ． ........................ 5 分 g ( )
6
则 f (x ) = 2 3 sin 2x - 2 cos 2x - 2 = 4 s in(2x - ) - 2 ．
........................ 6 分 6 当2x -
6 = 2k + ，即 x = k + 2 时， f (x ) 取得最大值 2．… ................
7 分 3
因此， f (x ) 取得最大值时 x 的集合是{x x = k + , k ∈ Z }．… ............... 8 分
3
（Ⅱ）由2k
-
≤ 2x - ≤ 2k + ，解得 k - ≤ x ≤ k + ． 2 6 2 6 3
因此， f (x ) 的单调递增区间是[k - , k + 6 ] (k ∈ Z ) ．… ................... 12 分 3
4. 已知向量 m = ( cos , sin ) 和 n =( (1) 求| m + n | 的最大值；(2)当| m + n | = 8
- sin , cos )，∈［π，2π］．
时，求cos + 的值．
4．解：(1) u r r m + n =
u r r
m + n = cos - sin
+ ?
? ? 2, cos + sin
)
=
(2 分)
= = 2 (4 分)
∵θ∈［π，2π］，∴ 5 ≤+ ≤ 9 ，∴ cos(+
≤1
4
4
4
4
| m + n | max =2 2 ．
(6 分)
u r r 8 2 ? ? 7 (2) 由已知 m + n = 5 , , 得 cos + 4 ? = 25
(8 分 )
又cos + = 2
+ -1 ∴ 2
+
16 (10 分)
4 ? 2 c os ( ) 2 8 cos ( ) 2 8 2
5 ? ?
5 9
? ? 4 ∵θ∈［π，2π］∴ 8 ≤ + ≤ 2 8 8 ，∴ cos 2 + 8 ? = - 5 ．
(12 分)
。5.。已知 A 、B 、C 的坐标分别为 A （3，0），B （0，3），C （ cos , sin ），
∈ 3
( , ). 2 2
3 2 (cos - sin +
2 )
2
+ (cos + sin )2
4 + 2 2(cos - sin ) 1+ cos ?+ ? 4 ? ? ? 5
3
（I ） 若| AC |=| BC |, 求角的值；
（II ） 若 AC ? BC
= -1, 求
2 s in 2 + sin 2
1 + tan
的值.
5、解：（1）周 AC = (cos
- 3, sin ), BC = (cos , sin - 3) ，
∴| AC |= u u u u r | BC | =
(cos
- 3)2 + sin 2
= = 10 - 6 c os ， 10 - 6 s in .
3 5
由| AC |=| BC | 得sin = cos . 又周 ∈ ( , 2 ),∴= .
2 4
（2）由 AC ? BC = -1, 得(cos - 3) cos + sin (sin - 3) = -1.
∴sin + cos
= 2 . ① 3
2 sin 2
+ sin 2
又 = 1 + tan 2 sin 2 + 2 sin cos 1 +
sin
= 2 sin
cos .
cos 4
由①式两边平方得1 + 2 s in cos = ,
9 ∴ 2 s in cos
= - 5 .
9
∴
2 sin 2 + sin 2= - 5 1 + tan
9
6. 在△ABC 中，a,b,c 分别为角 A ，B ，C 的对边，设 f (x ) = a
2 x 2
- (a 2 - b 2 )x - 4c 2 ，
（1）若 f (1) = 0 ，且 B －C= ，求角 C.（2）若 f (2) = 0 ，求角 C 的取值范围.
3
6．解；（1）由 f （1）=0，得 a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c ............... （1 分）. 又由正弦定理，得 b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得 sinB=2sinC ............... （2 分）
∵B －C= ，∴B= +C ，将其代入上式，得 sin （ +C ）=2sinC ................... （3 分） 3
3
3
∴sin （ ）cosC + cos
sinC =2sinC ，整理得， 3 sin C = cos C .............. （4 分）
3
3
∴tanC= ........................... （5 分）
3
∵角 C 是三角形的内角，∴C= ................................ （6 分）
6
（2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2+2b 2－4c 2=0，即 a 2+b 2－2c 2=0 ................... （7 分） a 2 + b 2 - c 2
由余弦定理，得 cosC= ....................................................... （8 分）
2ab
cos 2 + (sin - 3)2
.
a 2
+ b 2
-
a 2 +
b 2
=
2 2ab
∴cosC=
a 2 +
b 2 4ab 1
≥ 2ab 4ab = 1 （当且仅当 a=b 时取等号）… ..... （10 分） 2 ∴cosC ≥ ，
2
∠C 是锐角，又∵余弦函数在（0， ）上递减，∴.0 2 3 A A 7. A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为 a 、b 、c. 若 m ＝(－cos ，sin )， n ＝ 2 2 A A 1 (cos ，sin )，且 m · n ＝ .（1）求 A ； 2 2 2 （2）若 a ＝2 3，三角形面积 S ＝ 3，求 b +c 的值. A A A A 1 7.解：（1）∵ m ＝(－cos ，sin )， n ＝(cos ，sin )，且 m · n ＝ ， 2 2 2 2 2 A A 1 ∴－cos 2 ＋sin 2 ＝ ，… ................................. 2 分 2 2 2 1 2 即－cosA ＝ ，又 A ∈(0，)，∴A ＝ ......................................................... 5 分 2 3 1 1 2 （2）S △ABC ＝ bc ·sin A ＝ b ·c ·sin ＝ 3，∴bc ＝4 ................................7 分 2 2 3 又由余弦定理得：a 2=b 2+c 2－2bc ·cos120°＝b 2+c 2+bc ......................... 10 分 ∴16＝(b +c )2，故 b +c ＝4 .................................................................... 12 分 8. 已知向量→=（sin B ，1－cos B )，且与向量→ π (2，0)所成角为 A, B, m C 是△ABC 的内角． (1) 求角Ｂ的大小； n = ，其中 3 (2) 求 sinA+sinC 的取值范围．(本题满分 12 分) → → 8.解：（1）∵ m =（sinB ，1-cosB) ,与向量 n =（2，0）所成角为 3 , 1 - cos B ∴ = sin B ……………………………………………………………3 分 ∴tan B = 2 3又0 < < ∴ B 2 = ,即B = 3 2, A + C = 3 3 …………………6 分 （2）：由（1）可得∴ sin A + sin C = sin A + 1 3 sin( - A ) = sin A + cos A = sin( A + 3 2 2 3 ∵ 0 < A < 3 2 ……………………………………8 分 ∴ < A + < 3 3 ……………………………………………………………………10 分 3 3, ) , 2 周 2 = 0 = π ∴sin(A+ 3 )∈( 2 ,1],∴sinA+sinC ∈( 2 ,1]. 当且仅当 A = C = , sin A + sin C = 1 ..................................................... 12 分 6 9.(本题满分 12 分)在△ABC 中，已知(a +b +c )(a +b －c )=3ab ，且 2c osAsinB=sinC ，求证：△ABC 为等边三角形 9. 解 由已知得： (a + b ) 2 - c 2 = 3ab ，即 a 2 + b 2 - c 2 = ab a 2 + b 2 - c 2 1 ∴ cos C = = 即 ∠C=60? (1) 2ab 2 又?C=180?－(A+B) ∴sinC=sin(A+B)=sinA .cosB+cosA .sinB 由已知：sinC=2cosA .sinB ∴sinA .cosB －cosA .sinB=0 即 sin(A －B)=0 ?A 、B 为三角形内角，A －B ∈(－180?，180?) ∴A －B=0? 即 A=B (2) ∴由(1)(2)可知：ΔABC 为等边三角形 10.（12 分）已知?ABC 中 - ( ? + ? BA = ? ,边 AB 、BC 中点分别 为 D 、E （1）判断?ABC 的形状 （2）若CD ? AE = 0 ，求sin 2B 10 解：（1）由已知化简得 AB ( AB - AC + BC ) = CA ? CB 即CA ? CB = 0 得； ?ABC 为直角三角形 ------- 6 分 b （2）设 A(a,0)B(0,b)则 E(0, ),D( 2 a , b ) 2 2 CD ? AE = - a 2 + b 2 4 a sinB= a 2 + b 2 ∴ sin 2B = 3 ----------------12 分 3 11. 已知△ABC 内接于单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2， （1） 求证：内角 C 为定值； （2） 求△ABC 面积的最大值. 11. 本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识. （1） 证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2 ? tanA ＋tanB ＝1－tanAtanB ? tan （A ＋B ）＝1. ............................................................... 3/ 3 ∵A 、B 为△ABC 内角， ∴A ＋B ＝ . 则 C ＝ （定值）. …… 6/ 4 4 （2） 解：已知△ABC 内接于单位圆， ∴△ABC 外接圆半径 R=1. ∴由正弦定理得： c = 2R sin C = ， a = 2 s in A ， b = 2 s in B .…… 8/ 3 2 2 2 2 - 1 3 3 3 5 2 5 2 5 5 ) ? ) 则△ABC 面积 S ＝ 1 ac sin B ＝ 2 2 sin A sin B ＝ 2 sin( 4 - B ) s in B ＝ (cos B - sin B ) sin B ＝ cos B sin B - sin 2 B ＝ 1 sin 2B - 2 1 (1 - cos 2B ) ＝ 2 sin(2B + - 2 4 1 …… 10/ 2 ∵ 0 4 4 < 2B + < 3 . 4 4 故 当 B = 时，△ABC 面积 S 的最大值为 ............................. 12/ 8 2 12. 设函数 f （x ）=m ·n ，其中向量 m =（2cosx,1）,n =（cos x , sin2x ），x ∈R. （1） 求 f （x ）的最小正周期； （2） 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，f （A ）=2，a = ，b+c=3 （b ＞c ），求 b 、c 的长. 12．（1）f (x )=2cos 2 x + sin2x =1+2sin(2x + ∴f (x )的最小正周期为π. 6 1 （2）∵f (A)=2，即 1+2sin(2A ＋ ) =2，∴sin(2A+ ) = 6 6 2 13 5 ∵ ＜2A+ ＜ ∴2A+ = . ∴ A = 6 6 6 6 6 3 1 由 cosA= = 2 b 2 + c 2 - a 2 2bc , 即(b+c) 2 -a 2 =3bc, ?b = 2 ∴bc =2.又 b +c =3(b ＞c ), ∴ ?c = 1 13. 已知△ABC 的面积为 1，tanB= 1 ，tanC=－2，求△ABC 的边长及 tanA ． 2 1 3. tanA =tan ［π－（B+C ）］=－tan （B+C ）， 1 - 2 tan B + tan C =－ = 1 - tan B tan C 1 2 1 + 1 = 3 ． 2 分 4 ∵tanB= ，0 ， 2 2 5 5 又 tanC=－2， ，cosC=－ 2 5 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 15 3 2 2 2 a = ) 3 ∴sinA=sin（B+C ）=sinBcosC+cosBsinC= （－ ）+ · = 6 分 5 5 5 5 5 ∵ = sin A b sin B , ∴a= b sin A sin B 3 b ， 8 分 5 1 1 3 又 S △ABC = absinC= · b 2· =1， 2 2 5 5 解得 b= ，于是 a= ， 10 分 3 ∴c= a sin C = sin A ． 12 分 3 14．（12 分）已知函数 f (x ) = 1 + cos 2x + sin x + a 2 sin(x + 4 2 s in( 2 - x ) (1) 求函数 y = f （x ）的单调递增区间； (2) 若函数 y = f （x ）的最小值为 14．（12 分）解： - - 4 ，试确定常数 a 的值． f (x ) = 1 + 2 c os 2 x - 1 + sin x + a 2 sin(x + 4 2 sin( 2 - x ) = 2 cos 2 x + 2 c os x sin x + a 2 sin(x sin x 4 + cos x + a 2 sin(x ) 4 …3 分 = 2 sin(x + + a 2 sin(x + = ( + a 2 ) s in(x + ) ) 4 4 ) 4 ........................... 6 分 （1）由 x + ∈［ 2k － ， 2k ＋ ］ （k ∈Z ）得 4 2 2 3 x ∈［ 2k － ， 2k ＋ ］（k ∈Z ） ∵ sin( 2 4 - x ) = cos x ≠ 0 4 ∴ x ≠ k + 2 (k ∈ z ) ∴ 函数 y = f （x ）的单调递增区间是 3 [ 2k － ， 2k － ], ( 2k － ， 2k ＋ ］（k ∈Z ）．…9 分 4 2 2 4 （2）由已知得-( + a 2 ) = - - 4 ， ∴ a = ±2 ．… ............... 12 分 2 2 15 = ) ) + + 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2) 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5- 高考数学选择题专项训练（十）1、平面α与平面β平行，它们之间的距离为d (d>0)，直线a在平面α内，则在平面β内与直线a相距2d的直线有（）。 （A）一条（B）二条（C）无数条（D）一条也没有2、互不重合的三个平面可能把空间分成（）部分。 （A）4或9 （B）6或8 （C）4或6或8 （D）4或6或7或8 3、若a, b是异面直线，a?α,b?β,α∩β＝c，那么c（）。（A）同时与a, b相交（B）至少与a, b中一条相交（C）至多与a, b中一条相交（D）与a, b中一条相交, 另一条平行4、直线a//平面M，直线b?/M, 那么a//b是b//M的（）条件。（A）充分不必要（B）必要而不充（C）充要（D）不充分也不必要5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是（）。 （A）7个（B）6个（C）4个（D）3个 6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点，那么过这三点的截面一定是（）。 （A）三角形或四边形（B）锐角三角形（C）锐角三角形或钝角三角形（D）钝角三角形7、圆锥底面半径为r，母线长为l，且l>2r, M是底面圆周上任意一点，从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M，那么这条绳子的最短长 度是（ ）。 （A ）2πr （B ）2l （C ）2lsin l r π （D ）lcos l r π 8、α、β是互不重合的两个平面，在α内取5个点，在β内取 4个点，这些点最多能确定的平面个数是（ ）。 （A ） 142 （B ）72 （C ）70 （D ）66 9、各点坐标为A(1, 1)、B(－1, 1)、C(－1, －1)、D(1, －1)，则 “点P 在y 轴”是“∠APD ＝∠BPC ”的（ ）。 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 10、函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 11、若直线y ＝x ＋b 和函数y ＝21x -有两个不同的交点，则b 的取值范围是（ ）。 （A ）(－2, 2) （B ）[－2, 2] （ C ）(－∞,－2)∪[2, ＋∞） （D ）[1, 2） 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 2020新课改高考数学小题专项训练12 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2020新课改高考数学小题专项训练12 1．设集合P ={3，4，5}，Q ={4，5，6，7}，定义P ★Q ={（则 P ★Q 中 元素的个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．10 D ．12 2．函数的部分图象大致是 （ ） A B C D 3．在的展开式中，含项的系数是首项为－2，公差为3的等 差数列的 （ ） A ．第13项 B ．第18项 C ．第11项 D ．第20项 4．有一块直角三角板ABC ，∠A =30°，∠B =90°，BC 边在桌面上，当三角板所在平面与 桌面成45°角时，AB 边与桌面所成的角等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．若将函数的图象按向量平移，使图象上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2）， 则平移后图象的解析式为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．直线的倾斜角为 （ ） },|),Q b P a b a ∈∈3 2 21x e y -?=π 765)1()1()1(x x x +++++4x 4 6 arcsin 6 π4 π4 10arccos )(x f y =a 2)1(-+=x f y 2)1(--=x f y 2)1(+-=x f y 2)1(++=x f y 0140sin 140cos =+?+?y x A ．40° B ．50° C ．130° D ．140° 7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20，2；（20，30，3； （30，40，4；（40，50，5；（50，60，4；（60，70，2. 则样本在 区间（10，50上的频率为 （ ） A ．0.5 B ．0.7 C ．0.25 D ．0.05 8．在抛物线上有点M ，它到直线的距离为4，如果点M 的坐标为（）， 且的值为 （ ） A ． B ．1 C ． D ．2 9．已知双曲线，在两条渐近线所构成 的角中， 设以实轴为角平分线的角为，则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学， 当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型， 若某人的血 型的O 型，则父母血型的所有可能情况有 （ ） A ．12种 B ．6种 C ．10种 D ．9种 11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 （ ） A ．16（12－6 B ．18 C ．36 D ．64（6－4 ]]]]]]]x y 42=x y =2n m ,n m R n m 则,,+∈2 12]2,2[),(122 22∈∈=-+e R b a b y a x 的离心率θθ]2 ,6[π π]2 ,3[π π]32,2[ππ),3 2[ ππ π)3πππ)2 高考数学选择题专项训练（九） 1、如果(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋……＋(1＋x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋……＋a 50x 50，那么a 3等于（ ）。 （A ）2350C （B ）351C （C ）451C （D ）450C 2、299除以9的余数是（ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）8 3、化简)4 sin()4cos()4sin()4cos(x x x x +π++π+π-+π的结果是（ ） 。 （A ）－tanx （B ）tan 2 x （C ）tan2x （D ）cotx 4、如果函数y ＝f (x)的图象关于坐标原点对称，那么它必适合关系式（ ）。 （A ）f (x)＋f (－x)＝0 （B ）f (x)－f (－x)＝0 （C ）f (x)＋f －1(x)＝0 （D ）f (x)－f －1(x)＝0 5、画在同一坐标系内的曲线y ＝sinx 与y ＝cosx 的交点坐标是（ ）。 （A ）(2n π＋2π, 1), n ∈Z （B ）(n π＋2 π, (－1)n), n ∈Z （C ）(n π＋4π, 2)1(n -), n ∈Z （D ）(n π, 1), n ∈Z 6、若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cot α的值是（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 7、下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ）。 （A ）f (x)＝ 22tan 1tan x x ππ+ （B ）f (x)＝22tan 1tan x x - （C ）f (x)＝cos 22x －sin 22x （D ）f (x)＝2sin 2 (x －2 3π) 8、在△ABC 中，sinBsinC ＝cos22A ，则此三角形是（ ）。 （A ）等边三角形 （B ）三边不等的三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上答案都不对 9、下列各命题中，正确的是（ ）。 （A ）若直线a, b 异面，b, c 异面，则a, c 异面 （B ）若直线a, b 异面，a, c 异面，则b, c 异面 （C ）若直线a//平面α，直线b ?平面α，则a//b （D ）既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 10、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有（ ）。 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个 11、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是（ ）。 （A ）两条线段同时与平面垂直 （B ）两条线段互相平行 （C ）两条线段相交 （D ）两条线段与平面所成的角相等 12、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧棱与底面所成的角θ 应属于下列区间（ ）。 （A ）(0, 6π) （B ）(4π, 3π) （C ）(6π, 4π) （D ）(3π, 2π) 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 高考数学《集合》专项 练习(选择题含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 《集合》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文1，5分）设集合，，则A ∩B ＝（ ） （A ）{1，3} （B ）{3，5} （C ）{5，7} （D ）{1，7} 【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，故选B ． 2．（2016全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合，则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D ． 3．（2016全国Ⅲ卷，文1，5分）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ） （A ）{48}， （B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ） {0246810}，，，，， 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}A B =，故选C ． 4．（2016全国Ⅰ卷，理1，5分）设集合， ， 则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】对于集合A ：解方程x 2－4x ＋3＝0得，x 1＝1，x 2＝3，所以A ＝{x |1＜x ＜3}（大于取两边，小于取中间）．对于集合B ：2x －3＞0，解得x ＞ 23．3{|3}2 A B x x ∴=<<．选D ． 5．2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【解析】要使复数z 对应的点在第四象限，应满足3010 m m +>??-，则S ∩T ＝（ ） (A) [2，3] (B)（－∞ ，2] [3，＋∞） (C) [3，＋∞） (D)（0，2] [3，＋∞） {1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤{123}A =， ，，2{|9}B x x =<{210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}， ，{12}，2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->3(3,)2--3(3,)2-3(1,)2 3(,3)2 2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 三基小题训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中，cos A = 135 ，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. （重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈ 若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法. 小题专项滚动练六 解析几何 小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动考查)在复平面内与复数z=5i 1+2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i 【解析】选C.复数z= 5i 1+2i = 5i(1?2i) (1+2i)(1?2i) = 5(i+2)5 =2+i ，所对应的点(2，1)关于虚轴 对称的点为A(-2，1)，所以A 对应的复数为-2+i. 2.已知点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点，焦点为F ，|PF|=25，则|ab|=( ) A.100 B.200 C.360 D.400 【解析】选D.抛物线准线方程为y=-5， |PF|=b+5=25，所以b=20， 又点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点， 所以a2=20×20，所以a=±20，所以|ab|=400. 3.(滚动考查)已知点P(x，y)的坐标满足条件{x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0, 那么点P到直线 3x-4y-13=0的最小值为( ) A.11 5 B.2 C.9 5 D.1 【解析】选B.由约束条件{ x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0 作出可行域如图， 由图可知，当P与A(1，0)重合时，P到直线3x-4y-13=0的距离最小，为 d= √32+(?4)2 =2. 4.(滚动考查)如图，函数f(x)=Asin(ωx+ )(其中A>0,ω>0,|φ|≤π 2 )与 坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1，0)，∠PQR=π 4 ，M(2，-2)为线段QR的中点，则A的值为( ) A.2√3 B.7√3 3 C.8√3 3 D.4√3(完整word版)高三理科数学选择题填空题专项训练
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