当前位置：文档库 › 概率论在经济中的应用

概率论在经济中的应用

学科分类号：

本科毕业论文

题目（中文）：概率论在经济中的应用

（英文）：Probability theory in the application

姓名缪艳芳

学号 100200540102

院（系）数学与计算机科学学院

专业、年级数学与应用数学

指导教师雍进军职称讲师

二○一三年十二月

贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：（亲笔签名）

年月日

摘要 0

ABSTRACT (1)

1绪论 (2)

2在经济管理决策中的应用 (3)

2.1最大利润与投资风险（数学期望与方差的应用） (3)

2.2 概率论知识在彩票问题中的应用 (5)

3 概率论在商品生产与检验中的应用 (7)

3.1应用极大似然估计，确定商品合格率 (7)

3.2 两子样秩和检验法的应用 (8)

4 中心极限定理的应用 (10)

4.1在医疗保险中的应用 (10)

4.2在工业生产效率中的应用 (11)

5 贝叶斯公式在疾病中的应用 (13)

参考文献： (16)

致谢 (16)

附录A (17)

摘要

本论文共分为四个章节，内容包括数学期望及方差，随机变量，中心极限定律，极大似然估计，两个秩和检验，贝叶斯公式等的应用。概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科，由于随机现象的普遍现象的普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用。近年来，一方面它为科学技术、工业农业生产等的现代化做出了重要贡献。本文通过实例讨论了概率论与数理统计方面的知识经济决策，最大利润，商品生产与检验，在医疗保险中的应用工业生产效率等多方面的介绍。

关键词：概率统计；经济；应用

ABSTRACT

This paper is divided into four sections, covering mathematical expectation and variance, random variables, laws of Central limit, maximum likelihood estimation, two rank test, application of the Bayes formula. Probability theory and mathematical statistics is the study of statistical laws of mathematics of random phenomena, due to the universality of the universal phenomenon of random phenomena, probability theory and mathematical statistics with a very wide range of applications. In recent years, on the one hand it is science and technology, make an important contribution to the modernization of the industrial agricultural production. Examples in this article discusses the knowledge economy decision of probability theory and mathematical statistics, maximum profit, production and inspection, application of industrial productivity in the medical insurance and other aspects of introduction.

Key words:probability and statistics, economic;

1绪论

数学在经济中的应用越来越广而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的作用，概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科，经过众多数学家的研究，发展到今天，概率论在自然科学，社会生活，军事科学等多个领域中起着非常重要的作用，当然这众多的领域都离不开经济。概率论在经济中的应用比如概率论在在经济管理、经济损失估测、投资风险估测、经济保险等几个经济管理估测，最大利润求解等几个经济问题中的应用。本文将通过实例对概率论在经济风险决策，最大利润的求解经济损失估测、投资风险估测、经济保险几个方面来介绍概率论在经济中的应用，并同时做相关的原理说明。

2在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的一些东西，导致所作出的决策存在一定的风险，只有在做出科学的、正确的决策才能使我们获益最大。因此在做决策之前我们应该充分考虑所要投资的东西所带来的风险程度，才能正确的做出投资决策，才能使我们把风险降到最低。利用概率论知识就可以为我们做出好的决策，下面将从两个方面来进行说明概率论在经济决策中的作用。

2.1最大利润与投资风险（数学期望与方差的应用）

在概率与数理统计中有这样两个我们很熟悉的字眼“数学期望”和“方差”，通过“数学期望”和“方差”可以解决人们在经济中的决策问题，帮助人们选择合适的投资方案降低投资风险，尽可能的获得更高的效益。“数学期望”可以表示收益的大小，“数学期望”越大收益就越大，“方差”代表的是波动性的大小，方差越大波动性越大,人们要获得利益最大，风险最小，就只需求出投资方案的期望与方差，选择期望最大，方差最小的方案，就是最优方案。求“数学期望“的公式]1[为：若离散型随机变量ξ可能取值为a i （i=1,2,3,4）,其分布列为p i （i=1,2,3…..）则当+∞<∑+∞

=i i i p a 1时，称ξ存

在数学期望，并且数学期望为E ξ=i i i p a ∑+∞

；计算方差的公式是D ξ=E(ξ-E ξ)2

下面将以实例来进行说明：

例2.1:现有A 、B 、C 、D 四种证券，它们的收益与概率如下表

表2.1

（1）某人要投资以上四种证券中的一种问如何选择最好？解：我们先考虑数学期望

103

3031-30E(A)=?+?=

101/2401/2-20E(C)=?+?=

334/5451/5-15E(D)=?+?=可见选择B 中证券的平均收益最大，但还要考虑投资风险，其次再来考虑它的方差：

676

=4/5× 33)-(45+1/5× 33)-(-15=D(D) 900=1/2× 10)-(40+1/2× 10)-(-20=D(C) 675=3/4× 35)-(50+1/4× 35)-(-10=D(B) 800=2/3× 10)-(30+1/3× 10)-(-30=D(A) 222

2222

可见若要单独投资一种我们要选择效益高而且是风险最低的一种，那就选择B 是最合适的了。

（2）若某人选择投资C A,两种证券，问按什么样的比例来投资他的收益是最大的，而且风险也最小？

解：要投资两种证券，则我们应该构造一个投资组合C )a -(1a A M +?= ,其中a 指一份M 中A 占的比例()1a 0<<。此时

()

a -1900+800a =）C （a)D -(1+aD(A)=a)C)-(1+A ×D(a =D(M) 10

=E(C)× a)-(1+E(A)×a =a)C)-(1+A ×E(a =E(M)

我们要选择适当的a ，使D(M)最小，由简单的数学知识我们可算得a=9/17时，D(M)达到最小值为423.53，则当A 与C 按8:9的比例构造M 时，平均收益仍为10元，但投资风险比单独投资A 时减少了将近一半故采用上述投资最好。

可见利用概率论中的数学期望与方差可以很好的解决一些经济中的决策问题。当面临几种经济决策时，就可以利用期望和方差做出最优的决策。

2.2 概率论知识在彩票问题中的应用

近几年，“彩票飓风”席卷中华大地，在我国的各个地方流行着各种彩票，花几块钱就可以中百万元大奖，这是多少人梦寐以求的事情。以某省“36选

16+”福利彩票为例可得出人们中奖的概率平均为几万分之一]2[。可见中奖

的几率太小了，但仍有人很多人抱着“早中，晚中，早晚要中”的侥幸心理，就会一直坚持着买彩票，在这个过程中我们是赚了还是赔了呢？现在我们就用概率论中的独立性来分析一下：

我们不妨假设某彩票每周开一次，每次提供一千万分之一的中头奖的机会，并且每周开奖是独立的，你坚持十年买彩票（每年按52周算）你中头奖的概率会是多少呢？

定义2.1]

2[：对任意事件C B A 、、，如果有

)

()()()()()()()()()()()()(C P B P A P ABC P A P C P CA P C P B P BC P B P A P AB P ====四个等

式同时成立，则称事件C B A 、、相互独立。

解：我们计i B 为“第i 次开奖中奖”520321ΛΛ、、

=i ,则十年未中奖的概率

为21(B B P ΛΛ)520B =)(520

∏=i i B P =9999948001.0)101(5207=--

这个结果表明，十年以后未中奖是件再正常不过的事了通过以上分析你还会盲目的买彩票吗，还会相信早中晚中早晚要中吗？在上面的例题可以看出，事件的独立性可以使中的一些经济问题的计算得以简单化。

3 概率论在商品生产与检验中的应用

伴随着经济建设的高速发展，企业发展也会造成许多损失，诸如工厂停工一天也会造成损失意外事故所造成的经济损失也日益上升，我们可以利用概率论与数理统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后所导致的经济损失大小。

3.1 应用极大似然估计，确定商品合格率

概率论中有这样一个知识，极大似然估计，利用极大似然估计法可求极大值，利用极大似然估计就可估计出损失的最大值。求极大似然估计的步骤

]

3[：第一步，写出似然函数)(θL =∏=n

i xi f 1

;(1θ，k θθ....2）；第二步：对似然函数

两边取对数：)(ln θl =)....,;(ln 211

k n

i xi f θθθ∑=；第三步：解方程：

一个参数，0)()ln(=θθd d ,得极大似然估计值θ；k 个参数，)/()](ln [θθ??L =0，

k i Λ4,3,2,1=,即得参数的极大似然估计值。下面我们来看一个例子。

例3.1]4[：已知一批灯泡的使用寿命X 服从正太分布N(),2δμ,假定灯泡一级品的额定标准是960小时，从这批灯泡中随机地抽取15只，测得他们的寿命（单位：h ）为

,1100 ,940 1150 980, 1050, 970,1300,, 1000 990, 1120, 950, 980, 960, 930, 1050,

求这批灯泡一级品率的最大值。解：这批灯泡的一级品率为

960}p{X p >==={}δμδμ/)960(/)(-≥-x p =1-μ]/)960[(δμ-Φ

由于正态分布中μ的最大似然估计值为

1031.33

1100)/15940115098010501300970100099011209509809609301050(?=++++++++++++++==x μ

δ的最大似然估计值15.97)(11

=-=

∑=n i x xi n σ，根据最大似然估计的性质知p 的最大似然估计值为

)73.0(1)15

.9733

.1031960(1)??960(1?-Φ-≈-Φ-=-Φ-=σμp

=1-)]73.0(1[Φ-=)73.0(Φ查表可得)73.0(Φ7673.0≈所以7673.0?=p

故这批灯泡的一级品率最大值为0.7673

3.2 两子样秩和检验法的应用

两字样秩和检验可以用在比较两个方案是否有差异，以便从中进行选择方案，在我们生活中存在这样的一些事情，在生产过程中老板为了提高生产效率会让工人们想一些生产方案，各说各的生产方案好，那么此时老板就要判断所提出的两方案是否有差异，对生产效率是否能提高，就可利用两字样秩和检验的思想来进行判断。下面来对两子样秩和检验法的步骤和思想]5[进行简单说明：

(1)把两个字样的观测值合并成一个混合字样，排列成序后，写出21n n +个的秩

(2)选子容量较小的求秩和T (3)根据α查表得出21,t t

(4)当21t T t <<时，接受原假设，否则拒绝原假设。

例3.2]5[：某工厂有员工提出了两种生产方案，为了工厂效益，需要知道两位员工所出的方案有无显著差异，对第一种方式测得4个数据，对第二种方式测得6个数据。试从这些数据判别两种生产方式有无显著差异。设05.0=α

第一种生产方式：521 512 524 548 第二种生产方式：525 518 532 540 546 551

解：我们用秩和检验法，把两个字样混成一个字样得出秩如下表：

表3.1

由于2164n n =<=，求秩和T=1794314

=+++=∑=J kj r

在05.0=α查表A1可得32,1221==t t ，而T=17位于（),21t t 之内，原假设成立，因此不能认为两种生产方式有显著差异；利用两字样秩和检验就可以简单的判断出两字样是否有差异。

4 中心极限定理的应用

中心极限定理是概率论中讨论随机变量系列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。这一定理它从数学上证明了每个因素产生的影响很小时，总的影响可以看做服从正态分布，最早的中心极限定理是讨论n 重伯努利实验中，之后的林德贝格-勒维定理，拉普拉斯极限定理进行了改进]2[。下面将从实例中来进行说明。

4.1在医疗保险中的应用

林德贝格-勒维定理的特列]6[：在n 重伯努利实验中，事件A 在每次实验中出现的概率)1p p(0<<,

n u 为n 次实验中事件A 出现的次数，则

dt e

x npq

p x

t n n u ?

∞

+∞

→=

<=-2

221)(

lim π

利用这个定理可以解决一些医疗保险中的问

题。下面将进行举例说明。

例]9[：考虑一种100000张同类医疗保单的组合，设被保险的人损失是相互独立的，保单规定保险人只赔付所发生损失的80%，设在保险期内可发生的损失的分布列如下：

若要求所收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过0.10，试确定安全附加保费？（保费总额)E(s),(1G θ+=其中θ为安全附加费率，s 为理赔总额）解：设第i 张保险单被保险被保险人所发生的损失为i ξ，ΛΛ1,2,3,4i =510则理赔总额s=0.8∑=5

101i i ξ

依题意，G 应满足P{s )}()1(S E θ+≤=P{

))

()

((

})

()

()(S D S E S D S E S D S E S θθΦ≈≤

-容易计算

1.06E(S)=810?，0 135978D(S)=510?

令

,95.0))

()

((

=ΦS D S E θ有645.1)

()

(=S D S E θ

故安全附加费9.606596)(645.1)(=?=S D S E θ

可见利用这样的一个定理可以很快解决医疗保险中的一个理赔中的安全费的问题，通过这个定理不论从保险人还是从保险公司的角度来说都可以为他们指定一个方向，帮公司获得更高的利益。

4.2在工业生产效率中的应用

中心极限定理不仅在医疗保险中有用，在人们最关注的话题之一生产效

率中同样适用，每一个工厂管理者都要做的事情就是考虑如何使工厂利益最大化，生产效率最高，下面就用概率论知识来对这方面进行说明。例4.1]10[：谋工厂有同类仪器1000台，各仪器的工作是相互独立的，每台仪器发生故障的概率都是0.001，假定一台仪器的故障只能由一人来排除，问至少需要配备多少名维修工人，才能保证仪器发生故障时不能及时排除的概率小于? 0.005

解：以x 表示出现故障的机器台数，则 0.001) B(1000,~x .需配备的维修工人为m 名，仪器发生故障不能及时排除的概率的事件m x >,根据极限中心定理，由0.005m}P{x <>,来求m

}

.001.0100001.0100099

.001.0100001.010000P{

-1m}x P{0-1m}P{x ???-≤

???-≤

???-=<=<==>m x =1-)9

.910(

.91(

-Φ+-Φm 由于)18.3()9.91

(-Φ=-

Φ=0，所以m}P{x >)9

.910(

1-Φ-≈m 由题意，0.05m}P{x <>,即有

1-005.0)9

.910(

<-Φm 于是有,95.0)9

.910(

>-Φm 查表得,95.0)645.1(=Φ所以

645.19

.910>-m 解得15.17m >,因此取16m =

可见利用中心极限定理可以让工厂做出如何调配维修工人能使生产效率达到最好的决策。

5 贝叶斯公式在疾病中的应用

贝叶斯公式是用来描述两个条件概率之间的关系，它在疾病诊断，安全监控、质量控制、安全部门的招募等方面有了广泛的应用。利用贝叶斯公式可以很简单的算出患某疾病的概率下面来对贝叶斯公式进行一个简单的介绍：贝叶斯公式

]

7[：若事件

n B B B ΛΛ.,21是样本空间Ω的一个划分，

)2,1(0)(n i B p i ΛΛ=>，A 是任一事件且0P(A)>，则有 )4,3,2,1()

()

()()(n j A P B A P B P A B P j j i ΛΛ==

如果某人可能患有C B A ,,几种不同的疾病如果病人的某些指标偏离正常值（D 发生），病人换的是那种疾病，从概率论角度去分析)(D A P 较大，那么发生疾病A 的概率就大，当然判断某病人患某种病的概率也可用贝叶斯公式解答，原理是一样的。下面举例说明贝叶斯公式在确定某人患一种病的概率的应用。

例5.1]8[：已知自然人患有癌症的概率为0.005，据以往记录，某种诊断癌症的实验具有如下的结果，被诊断患有癌症实验反映为阳性的概率0.95，被诊断者不患有癌症实验反映为阳性的概率为0.06，在普查中发现某人实验反映为阳性，问他确实患有癌症的概率是多少？

解：设A 表示事件“实验反映为阳性”，1B 表示事件“被诊断为患有癌症”，2B 表示事件“被诊断者不患有癌症”则Φ=21B B ,Ω=?21B B ,所求概率)(1A B P )由已知

;

995.0005.01)(,005.0)(21=-==B P B P

06.0)(,95.0)(21==B A P B A P

据全概率公式

P(P(A)=)()()()2211B A P B P B A P B +=0.00506445.006.0995.095.0=?+?

根据贝叶斯公式，所求概率为

P(P(A)=073.006445

.095

.0005.0)()()()()()1111≈?===

A P

B A P B P A P A B P A B 人们经常喜欢有经验的医生给自己看病，而贝叶斯公式的应用刚好就是从“经验”（先验概率）入手，可以帮助医生更好的做到“对症下药”。

结论：

本文通过五个章节对概率论在经济中的广泛运用进行了说明，第一章对本文的研究进行了一个整体的说明；第二章说明了概率论中的期望与方差在经济风险决策、最大利润的求解、彩票问题中的应用，为决策者做出好决策提供一个依据，同时对人们在彩票问题中“早中晚中早晚要中”的心理给予一个否定帮助人们正确看待彩票问题，并用实例进行了更深层次的说明；第三章浅谈了概率论中极大似然估计和两字样秩和检验在商品生产中的一些运用；第四章说明概率论中的中心极限定理在医疗保险和工厂中生产效率的一些应用；第五章说明概率论知识贝叶斯公式在疾病检测中的应用，帮助医生确定某人的患病概率。总体上从经济损失估测、投资风险估测、经济保险、疾病判断等几个方面来介绍了概率论在经济中的应用说明了概率论与经济中实际问题的密切联系，体现出了概率论在经济中的广泛应用。

参考文献

[1]丁迎秀数学期望与方差在经济分析中的应用[J].数学教学研究.2010，09 ：112

[2] 魏宗舒概率论与数理统计[M].成都高等教育出版社.2001，80 :89,233

[3] 易艳春概率统计在经济学中的应用[J] .廊坊师范学院学报.2009，08 :478

[4] 王敏生，数据挖掘在保险客户分析中的应用D]. 中山大学，2006 :465

[5] 孙玉芬概率统计在商品生产和销售中的一些应用[J].保山师院报,2003:235

[7]徐守云.应用统计学发展趋向分析[J].牡丹江教育学院报2008,12:68,70

[8]高鸿业.微观经济学[M].北京.高等教育出版社，2007:105,108

[9]袁萌堂.概率论与数理统计[M].北京.中国人民大学出版社1997,70:346,346

[10]谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M],北京，高等教育出版社2008:234