(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙

一、复习策略

排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题．

二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．

概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．

纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右．

排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；

于求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

(4)列出式子计算和作答．

二、典例剖析

题型一：排列组合应用题

解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．

例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．

解：

从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．

例2、（08湖北理6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）

A．540B．300C．180D．150

解：

将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，所以共有

种方案，故D正确．

例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放于同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放于同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）

A．96B．48C．24D．0

解：

由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．故选B．

例4、于正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．

解法一：

连成两条异面直线需要4个点，因此于正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件得去掉.因为于6个表面和6个体对角面中均有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．

解法二：

一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情况，除去其中共面的情况：（1）6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；（2）6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；（3）从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线均共面，共有，故共有异面直线－－－

=174对．

题型二：求展开式中的系数

例5、（08广东理10）已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则__________．

解：

按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．

例6、若多项式，则a9等于（）A．9B．10C．－9D．－10

解：

=

∴．

例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．

解：

，依题意有，∴n=8．则展开式中二项式系数最大的项为．

设第r＋1项系数的绝对值最大，则有

．

则系数绝对值最大项为．

例8、求证：．

证：（法一）倒序相加：设①

又∵②

∵，∴，

由①＋②得：，∴，

即．

（法二）：左边各组合数的通项为，∴．

（法三）：

题型三：求复杂事件的概率

例9、（08福建理5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）

A．B．C．D．

解：由．

例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？

解：

根据比赛规则可知，一共比赛了9场，且且最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员于前8场比赛中被淘汰，也就是于8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，所以所求的概率为．

题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差

例11、某先生居住于城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件均是相互独立的，且于同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如

图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD 发生堵车事件的概率为

（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望

解：

（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件均是独立的，且于同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为

=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]

=1－；

同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（（小于）．

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（（小于）．

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能于之上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．

（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为

例12、如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁均可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返

回．比如，甲于处时可以沿、、三个方向移动，概率均是；到达点

时，可能沿、两个方向移动，概率均是，已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．

(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁均移动1秒钟，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？

(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？

解：

(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒可以有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒可以有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，则乙应走，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿

方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率均为，所以距离为的概率为．

(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、所以其概率为，所以三秒后距离期望值为

．

例13、（08湖北理17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．

（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．

解：（1）的分布列为：

0 1 2 3 4

所以．

（2）由，得，即，又，所以当时，由，得；当时，由，得．

，或，即为所求．

题型五：统计知识

例14、（08广东）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知于全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法于全校抽取64名学生，则应于三年级抽取的学生人数为（）

一年级二年级三年级

女生373

男生377 370

A．24B．18C．16D．12

解：

依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故于分层抽样中应于三年级抽取的学生人数为．

答案：C

例15、于某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩于90分之上（含90分）的学生有12名．

（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排于前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表．

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. 2 1. 3 1. 4 1.0.884

9

0.903

2

0.919

2

0.971

0.886

9

0.904

9

0.920

7

0.971

0.888

0.906

6

0.922

2

0.972

6

0.890

7

0.908

2

0.923

6

0.973

0.892

5

0.909

9

0.925

1

0.973

0.894

4

0.911

5

0.926

5

0.974

0.896

2

0.913

1

0.927

8

0.975

0.898

0.914

7

0.929

2

0.975

0.899

7

0.916

2

0.930

6

0.976

0.901

5

0.917

7

0.931

9

0.976

9 2. 0 2. 1

3

0.977

2

0.982

1

9

0.977

8

0.982

6

0.978

3

0.983

2

0.978

8

0.983

4

8

0.979

3

0.983

8

4

0.979

8

0.984

2

0.980

3

0.984

6

6

0.980

8

0.985

2

0.981

2

0.985

4

7

0.981

7

0.985

7

解：

（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，

P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－

＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．

这说明成绩于90分之上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526（人）．

（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则

P(≥x)＝1－P（

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．

故设奖的分数线约为83.1分.

感谢您的阅读

概率统计 排列组合

概率统计 排列统计 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.以下条件可以确定一个平面的是（ ）。 .A 空间三点 .B 一直线和一个点 .C 两条直线 .D 两平行直线 2.两条直线不平行是这两直线异面的（ ）。 .A 充分条件 .B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 3.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，那么这种五位数的个数是（ ）。 .A 72 .B 60 .C 48 .D 50 4.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 .A 24个 .B 30个 .C 40个 .D 60个 5.将12人分成两组，一组8人，一组4人的分法数为（ ）。 .A 812A .B 812C .C 841212+C C .D 841212 C C 6.抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）。 .A 两个都是正面 .B 至少出现一个正面 .C 一个是正面一个是反面 .D 以上答案都不对 7.同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）。 . A 14 . B 15 . C 16 . D 1 9 8.样本：6,7,8,8,9,10的标准差是（ ）。 .A 2 . B . C 3 . D 9.下列变量中，不是随机变量的是（ ）。 .A 一射击手射击一次的环数 .B 水在一个标准大气压下100C 时会沸腾

.C 某城市夏季出现的暴雨次数 .D 某操作系统在某时间发生故障的次数 10.某射击手击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）。 .A 0.16 .B 0.36 .C 0.06 .D 0.42 11.在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）。 . A 19 . B 1 10 .C 111 .D 112 12. 在10(x 的展开式中，6x 的系数为（ ）。 .A 61027C - .B 41027C .C 6109C .D 6 109C - 13.二项式8(1)x -的展开式中的第5项是（ ）。 .A 3 56x .B 3 2 56x - .C 470x .D 270x 14.设()6 26012631+…x a a x a x a x -=+++，则0126+=…a a a a +++（ ）。 .A 32 .B 64 .C 729 .D 56 15.已知某种奖券的中奖概率是50%，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）。 . A 25 . B 58 . C 516 . D 5 32 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。 16.56101054 99 4P P P P -=- 。 17.甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为 。 18.已知互斥事件,A B 的概率3()4P A = ，1()6 P B =，则()P A B ?= 。 19.若把英语单词“bookkeeper ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。 20.若23 1818 x x C C -=，则x = 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。 21.5人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站排头或排尾，那么不同的排法总数是多少？（10分）

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

在概率的计算中的排列组合

预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义

由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有

(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．

高中数学-排列组合概率综合复习

高中数学 排列组合二项式定理与概率统计

其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 例4、设88 018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5、组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1 n -1 D ．n r C r -1n -1 . 例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 1 84 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 )5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4 x

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n .

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

基本公式排列组合二项式定理及概率统计

基本公式·排列组合二项式定理及概率统计 151排列数公式 ： m n A =)1()1(+--m n n n ！ ！ )(m n -(n ，m ∈N * ，且m n ≤)．规定1!0= 154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0 =n C 155组合恒等式 （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0=n 2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n n C C C C C 2210 =++++++ (7)420531 2-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C (8)321 232-=++++n n n n n n n nC C C C (9)r m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 (10)n n n n n n n C C C C C 2222212 0)()()() (=++++ 156排列数与组合数的关系:m m n n A m C =?！ 157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列） （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位 置）1 1111----+= m n m m n A A A （着眼元素）种 （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种 ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种 （3）两组元素各相同的插空 m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11 ++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C + 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N ) !(22=?????=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N ) !(!!...22=????=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得

排列组合概率专题讲解

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

最新高考数学总复习------ 排列组合与概率统计

高考数学总复习------排列组合与概率统计 【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()! (! +-???-=-= m n n n m n n A m n (m≤n) A n n =n! =n(n―1)(n―2) ...2·1. ②组合数公式：1 2)1() 1()1()!(!!??????-?+-???-=-= m m m n n n m n m n C m n (m≤n). ③组合数性质：①m n n m n C C -=(m≤n). ②n n n n n n C C C C 2210=+???+++ ③1 314202-=???++=???++n n n n n n C C C C C 2.二项式定理 ⑴ 二项式定理 (a +b)n =C 0n a n +C 1n a n － 1b+…+C r n a n － r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a n － r b r . ⑵ 二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a n － r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即C r n = C r n n - (r=0,1,2,…,n). ②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2 n n ；若n 是奇数， 则中间两项(第21+n 项和第2 3 +n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21 -n n = C 21 +n n . ③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C n n =2n . ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合

3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n

算法流程图、排列组合、统计

概率流程图的数学计算 授课对象：高二 授课内容：算法流程图、排列组合、统计 一、知识回顾 算法流程图的组成元素、画法、代码、秦九韶算法 例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。 例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。 已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。 解：程序框如下图所示： 2 4和2分别是x和y的值 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 分类加法计数原理，是什么？怎么用？ 核心：每法皆可完成，方法可分类 分步乘法计数原理，是什么？怎么用？ 核心：每法皆分步，每步皆未完 排列 排头与非排头 二、课堂讲解 1.排列组合 组合的定义，组合数公式 例：从10个不同颜色的球里面选2个，有多少种情况 二者的区别与关系 2.统计学 简单随机抽样 （1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。 （2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。 （3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 （4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。 （5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。

为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是 A．总体是240 B、个体是每一个学生 C、样本是40名学生 D、样本容量是40 分层抽样 （1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 （2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 （3）各层抽样按简单随机抽样进行。 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采 用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每 个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 。 系统抽样 下列抽样中不是系统抽样的是（） A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到 大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样 B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定 的调查人数为止 D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下 来座谈 从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验， 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43 C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32 统计图表：条形图，折线图，饼图，茎叶图 频率分布直方图 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学 生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理 后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右 各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3， 第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多 少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，试 估计该学校全体高一学生的达标率是多 少？

排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数

上海市2017年高三数学排列组合二项式概率统计复习题(含解析)沪教版

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 排列组合二项式概率统计 概念： 1、排列数：! (1)(2)(1)()! m n n P n n n n m n m =---+= -L 2、组合数：(1)(2)(1)!!!()!m m n n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-L ，规定0 1n C =。 3、组合数的性质：m n m n n C C -=， 11 1m m m n n n C C C ++++=， 11k k n n kC nC --=， 1 121m m m m m m m m n n C C C C C ++++++++=L 。 4、排列与组合的关系m m m n n m P C P = 5、二项式定理： 011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=+++++L L 6、1r n r r r n T C a b -+= b 的指数与组合数的上标一致。 7、 ○1二项展开式的各二项式系数之和0122n n n n n n C C C C ++++=L ○ 2二项展开式的奇数项之和024 n n n C C C +++=L 偶数项之和13512n n n n C C C -+++=L 8、 总体平均数 121 ()N x x x N μ= ++L 9、 总体中位数的意义：从小到大的次序排列，位于正当中位置的数是中位数，当N 为 偶数时，当中位置的两个数的平均数是总体中位数 10、 总体方差2222121[]N x x x N σμμμ= -+-++-L （）（）（）= 2222121 N x x x N μ=+++-L （） 11、样本方差(总休标准差的点估计值) ：s =12、随机抽样(抽签法、随机数表法): 13、系统抽样:等间隔抽样，(每一个间隔抽取一个) 14、分层抽样:按比例抽样，比例n =N n k N =样本数总体数

(完整版)排列组合与二项式定理

8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修 排列 组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1) 已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系 中所确定的不同点的个数是C (A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36 解 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标, 不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标, 不同点的个数为1 1 63P P g 不同点的个数总数是1111 636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2) 从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数 值的个数为 (A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51 解 ①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为2 92P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 ===，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为2 9287453()C ---=个 （3） 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同 的排法数有 （A ）3600 （B ）3200 （C ）3080 （D ）2880 解 ①三名女生中有两名站在一起的站法种数是2 3P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是6 6P ，其中的三名女生排在一起的 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为5 5P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1 5 25P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空7433422 74534522880A A C A A C A --= （4） 由100 +展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项 （B ）17项 （C ）16项 （D ）15项 解 1000100110011r 100r r 100100 100100100100 =C )+C )++C )++C --L L 可见通项式为 :1003100230010010010010023 66 6 100 100 100 100 ) 6 6 6 r r r r r r r r r r r r r r C C x C x C x ---++----===（） 且当r=06121896L ，，，，，时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个. （5） 设有甲、 乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两 把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是 （A ） 4/15 （B ） 2/5 （C ） 1/3 （D ） 2/3 解 从6把钥匙中任取2把的组合数为2 6P ，若从中任取的2把钥匙能打开2把锁，则取出的必是甲锁