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卷积

卷积

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? 1 简单介绍

? 2 定义

o 2.1 快速卷积算法

o 2.2 多元函数卷积

? 3 性质

? 4 卷积定理

? 5 在群上的卷积

? 6 应用

?7 参见

?8 外部链接

简单介绍

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是上的两个可积函数,作积分:

卷积

可以证明,关于几乎所有的,上述积分是存在的。这样,随着x的

不同取值,这个积分就定义了一个新函数h(x),称为函数f与g的卷积,记为h(x) = (f * g)(x)。容易验证,(f * g)(x) = (g * f)(x),并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,L1(R1) 空间是一个代数,甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质,即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换,能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f* g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数,f为局部可积时,它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数f,都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列f s,这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

函数f与g的卷积记作,它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分,是一个对平移量的函数。

卷积

积分区间取决于f与g的定义域。

对于定义在离散域的函数,卷积定义为

卷积

快速卷积算法

当是有限长度N,需要约N2次运算。借由一些快速算法可以降到O(N ln N) 复杂度。

最常见的快速卷积算法是借由圆周卷积利用快速傅里叶变换。也可借由其它不包含 FFT 的做法,如数论转换。

多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义,还可以类似的定义多元函数上的积分:

卷积

性质

各种卷积算子都满足下列性质:

交换律

卷积

结合律

卷积

分配律

卷积

数乘结合律

卷积

微分定理

卷积

卷积

?前向差分:

?后向差分:

卷积

卷积

其中表示f的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列,按照卷积的定义进行计算,需要做2n - 1组对位乘法,其计算复杂度为;而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法之后,总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

卷积

卷积

卷积

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