2011年第二十二届希望杯初二数学模拟题(word版)

2011年第二十二届 “希望杯”全国数学邀请赛培训题

初中二年级

一、

选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）

1.如图1，数轴上的四个点A B C D 、、、分别代表整数a b c d 、、、.1,1b b =-=-，则d 的值是（ ）

（A ）3- (B) 0 (C)1 （D ）4 2. 已知201020111,,20092011

20102012

2011

a b c =

=

=

??，则（ ）

（A ）a b c <<(B)c b a << （C ）b a c << （D ）c a b <<

3. 下列各数中，最大的是（ ）

（A ）

+

(B) 2+

（C （D

4. 已知a 是实数，并且2201040a a -+=则代数式2

2

8040200954

a a a -+

++的值是（ ）

（A ）2009 (B) 2010 （C ）2011 （D ）2012

5. Given two non-zero real numbers a and b ,satisfy 24242a b a -+++

=,then

the value of a b + is ( )

（A ）-1 (B) 0 （C ）1 （D ）2

6. If the linear function y ax b =+ passes through the point (-2, 0),but not the first Quadrant, then the

solution set for a x b > is ( )

（A ）2x >- (B) 2x <- （C ） 2x > （D ）2x <

7. 已知反比例函数k y x

=

的图像经过点1,b a

-??

???

，那么它可能不经过点（ ）

（A ）1,b a

?

?-

??

?

(B) 1,a b

-??

???

（C ）,

1b a ??- ??? （D ）,1b a -?

? ??

?

8. 已知a 是实数，关于x y 、的二元一次方程组235212x y a x y a

-=??

+=-?的解不可能出现的情况是（ ）

（A ）x y 、都是正数 (B) x y 、都是负数 （C ）x y 是正数、是负数 （D ）x y 是负数、是正数

9. If a and b are non-zero real numbers and ()()1991991a b -+=,then the value for 111a b -+

is ( )

（A ）1 (B)100 （C ）-1 （D ）-1

10. 如图2是反比例函数k y x

=

在第二象限的图像，则k 的可能取值是（ ）

（A ）2 (B)-2 （C ）12

（D ）12

-

11． 在直角坐标系上，点(

),1

1

x y

关于电()2

2,x

y 的对称点坐标是（ ）

（A ）()2121,22x y x y -- (B) ()1212,22x y y x -- （C ）()12122,2x x y y -- （D ）()21212,2x x y y --

12． 一个长方体盒子的最短边长50cm ，最长边长90cm.则盒子的体积可能是（ ）

（A ）45003

cm (B) 1800003

cm （C ）900003

cm （D ）3600003

cm

13． 若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”.四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点.那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（ ）

（A ）12 (B) 24 （C ）36 （D ）48

14． 如图3，已知A B C 中，,AB AC BAC ACB =∠∠和的角平分线相交于D 点，130A D C ∠=?,

那么C A B ∠的大小是（ ）

（A ）80? (B) 50? （C ）40? （D ）20?

15． Given A B C with 90A C B ∠=?,15A B C ∠=?,1A C =,then the length of BC is ( )

（A ）2+ (B) 3+ （C ）3- （D

16． 已知三角形三边的长分别为,,a b c ，且,,a b c 均为整数，若7,b a b =<，则满足条件的三角形的个数是（ ）

（A ）30 (B)36 （C ）40 （D ）45

17． 三角形三边的长分别为,,a b c ，且

a a

b

c b c b c a

++=

+-，则三角形是（ ）

（A ）等边三角形 (B) 直角三角形

（C ）以a 为腰的等腰三角形 （D ）以a 为底的等腰三角形

18． 有4个命题：

一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

O 是四边形ABCD 内一点，若AO=BO=CO=DO ，则四边形ABCD 是矩形；

若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形。 其中正确的命题个数是（ ）

（A ）0 (B)1 （C ）2 （D ）3

19． 如图4，正方形ABCD 的面积是486，点0P 在AD 上，点1P 在0P B 上，且01112

P P P B =

;点2

P 在1P C 上，且122

1

2PP PC =;点3P 在2P B 上，且2331

2

P P P B

=;…；点6P 在5P C 上，且566

1

2

P P PC =，

则6P BC 的面积是（ ）

（A ）81 (B) 812

（C ）

643

（D ）

1283

20． 如图5，四边形ABCD 中，135,120,5ABC BC D AB BC ∠=?∠=?==-

6C D =,则AD 的长是（ ）

（A）5+(B) 8 （C）（D）

21.已知函数()

=-++的图像不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）

y a x a

14

（A） 4 (B)5 （C）6 （D）7

22．If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles, then how many non-congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure?( )

（A）3 (B)4 （C）5 （D）6

23．若在1,2,3,…,2010前任意添加一个正号或者负号，则（）

（A）它们的和是奇数

(B)它们的和是偶数

（C）若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数

（D）若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数

24．方程27819999

+=的整数解有几组？（）

x y

（A）0 (B)1 （C）2 （D）多于2

25．将3,4,5,6,7,8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）

（A）6 (B)12 （C）18 （D）24

26. 某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）

（A）2 (B)2.4 （C）3 （D）3.5

27. 一个人步行从A 地出发，匀速向B 地走去.同时另一个人骑摩托车从B 地出发，匀速向A 地驶去.二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B 地，再向A 地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B 地直接驶往A 地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（ ）

（A ）2:1 (B)3:1 （C ）4:1 （D ）5:1

28． 12页书的页码用15个数码：1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2.

下面的数码的个数中，不能用来计算一本书的页数的是（ ） （A ）534 (B)1998 （C ）1999 （D ）2010

29． 方程23u v x y z ++++=的非负整数解(),,,,u v x y z 有几组？ （A ）10 (B)20 （C ）24 （D ）30

30． 老师问5个学生，昨天晚上你们有几个复习数学了？

张：没有人

李：一个人

王：两个人 赵：三个人 刘：四个人

老师知道昨天我岸上它们有人复习数学了，也有人没有复习数学，复习了的人说的是真话，那么这5个学生中复习了数学的人数是( ) （A ）0 (B)1 （C ）2 （D ）3 二、填空题

31． 已知x 为正整数，设3

2

345175A x x x =+--，若A 为完全平方数，则A 的最小值是

32． 若8

51-能被20至30之间的两个整数整除，则这两个整数分别是 和 .

33． 已知实数,x y 满足(

20100x y +

+

-=，则x =

y =

34． 计算+???+=

35． 若点P 的坐标(),a b 满足2

2

2

2

10160a b a b ab ++++=，则点P 的坐标为

36． 已知：

2

2

22

,2222,

333333,

884

444,

15

151010,()a b b b a a

+=?+=?

+=?

???+

=?

其中是满足条件的最小正整数，

则a = ，b =

37． 若关于x 的分式方程

()15321

m x m x +-=-+无解，则m =

38． 当322

x ≤≤时

=

39． 若22

0,,8,a b a b a b ab <<<+=-且则

a b a b

+-=

40． 若1233215,7,xy yz zx kxyz x

y

z

x

y

z

++=++=++=，则实数k=

41． 已知6个数：2345

3,32,32,32,32,32?????，其中最多能选出 个数，使得被选出的数种任意两个数的比都不是122

或者.

42． 若6,11,6x y z xy yz zx xyz ++=++==，则x y z yz

zx

xy

+

+

=

43． 如果()()32x x a ++-可以因式分解为()()x m x n ++（其中,m n 均为整数），则a 的值是 44． 若,a b

是实数，且2

2

92,2

a b a b +=++=，则ab =

45． 方程

1x +

+???+

=

的解是x =

46． 设正整数112,5

x y x

y

≠+

=

且满足

，则22x y +的值是

47． 已知2

354

2

2

x A B

x x x +=

+

--+，那么22A B +=

48． 已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是 49． 先阅读材料：

若整数a 是整系数方程320x px qx r +++=的解，则 ()2r a a pa q -=++，说明a 是r 因数。

根据以上材料，可求得324320x x x +--=的整数解为x = 50． 定义()()111f x x x

=

≠-，那么

()()()()

20102010f

f f f f ???=

个 51． 若关于x 的不等式组520,30

x x a ->??

+≥?无实数解，则a 的取值范围是

52． 已知a 是正整数，若关于x

的方程240x a -+=至少有一个整数根，则a 的值是 53． 如果三角形三边的长分别为1,,4k ，

代数式25k --的值为m ,则m 的取值范

围是

54． 若A B C 三边的长,,a b c 均为整数，且

1131,8,4

a b c a b ab

++=+-=设A B C 的面积为S ，

则S 的最大值是 ，最小值是 .

55． 如图7所示，要从80cm 160cm ?的长方形布料上裁下2个半径相等的半圆，那么裁下的半

圆最大直径是 cm 。

56． 如图8所示，点P 在A B C 的BC 边上，且2P C P B =,若45,60ABC APC ∠=?∠=?,则

A C

B ∠的度数是

57． 如图9所示，在等腰A B C 中，,100A B A C B A C =∠=?,延长AB 到D ，使

,,AD BC DC BCD =∠连接则的度数是

58． 如图10所示，A B C 是等边三角形，点P 在A B C 内，//,PE AC AB E 交于 //,//PF AB BC F PD BC AC D 交于交于,已知A B C 的周长是12cm ，则P D P E P F ++

=

cm

59．如图

11所示，在A B C 中，7,11A B A C ==点BC M 是的中点，

//,

A D

B A C

M F A D F C ∠

=是的角平分线，则

60． 如图12所示，在A B C 中，,80A C B C A C B =∠=?,在A B C 内取一点M ，使得

30,10,

M B A M A B ∠=?∠=?那么A M C ∠的度数是

61． 如图13所示，P 是长方形A B C D 内一点，已知3,4,5PA PB PC ===，则2PD 的值为

62． 如图14所示，在梯形A B C D 中，//,,,30AB DC AD DB AB AC ACD ==∠=?,则B A D ∠的

度数是

63． 如图15所示，点,E F 分别是矩形A B C D 的边,A B B C 的中点，连接,AF EC G 交于点,则

BFG E AG C D

S S =四边形四边形

64．如图16所示，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形A O C D ,已知3,8,5,AD AO OC ===若点P 在梯形内且,,PAD POC PAO PCD S S S S == 那么点P 的坐标是

65． 直线364

y x =-

+上的点A 的横坐标为2，线段A B 在直线364

y x =-

+上，且5A B =,线段

A B 向右平移2个单位后，点B 的坐标为

66． 一次函数26y x =-+的图像与x y 轴、轴分别相交于点,A B P 、点在线段A B 上，O P （O 是坐标原点）将O A B 分成面积为1:2的两部分，则过点P 的反比例函数解析式为 67． 已知1232011220111

2

2010

3333,,,,,y x y y y y y y y y ==

=

???=

?=则

68． 已知整数12345,,,,a a a a a 使123459a a a a a ++++=，若b 是关于x 的方程

()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值是

69． 已知,,a b c 都是-3到3

之间的非零整数，且(

(

2

b a

c +

=+

+

，则符合条件的

,,a b c 有 组.

70． 若()5

23450123452x a a x a x a x a x a x +=+++++，则24a a +=

71． 将一枚六个面的编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于,x y 的方程组322

ax by x y +=??

+=?，有正整数的概率为

72． 先将100个杯子排成一列，杯口朝上。从左向右从1数到100，数列3的倍数时把杯子翻过来；再从右向左从1数到100，数到7的倍数时把杯子翻过来，那么最后有 个杯子杯口朝上。

73． 已知,,,a b c d 分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当a b b c c d d a -+-+-+-取得最大值时，这个四位数的最小值是 74． 若对于所有的实数x ，都有()()222x x f xf x -+=，则()2f =

75． 博览会的门票每张50元，每人限购1张，现有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有

100元的钞票1张，另外5个小朋友只有50元的钞票1张，售票员没有准备零钱,那么最多有 种排队方法，使售票员总能找得开钱。 三、解答题

76．某化工厂现有甲种原料290kg ，乙种原料212kg ，计划用这两种原料生产A B 、两种产品共80件。生产一件A 产品需要甲种原料5kg,乙种原料1.5kg ，生产成本是120元；生产一件B 产品需要甲原料2.5kg ，乙种原料3.5kg ，生产成本是200元.

1）该化工厂现有原料能否保证生产？若能保证生产，有几种生产方案？

2）设生产A B 、两种产品的总成本为y 元，其中一种产品的生产件数为x ，试写出y 与x 的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低，最低生产总成本是多少？ 77． 若方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2

3x y =??=?.求方程组111222

437437a x b y c a x b y c +=??+=?的解

78． 如图17，在A B C 中，3,12,ABC C BE AE ∠=∠∠=∠⊥,求证：2A C A B B E -=

79． 将编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下要求涂色：

1）涂色的球有2个；

2）被涂色的2个球的编号之差大于2. 那么不同的涂色方法有几种？

80． 直线4y kx =+分别于x y 轴、轴相交于点A B 、，O 是坐标原点，A 点的坐标为()4,0，P 是O B 上（O 、B 两点除外）的一点，过P 作PC y ⊥轴交直线A B 于C ，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ,设线段P C 的长为l ，点P 的坐标为()0,m

1）求k 的值；

2）如果点P 在线段O B （O 、B 两点除外）上移动，求l 于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

3）当点P 运动到线段O B 的中点时，四边形O P C D 为正方形，将正方形O P C D 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为()04a a <<，正方形O P C D 于A O B 重叠部分的面积为S .试求

S 与a 的函数关系式.