组合数学试题
《组合数学》期末试题（A ）姓名班级学号成绩
一，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负
号相邻，问有多少种不同的排法。
二，在1和100之间既不是某个整数的平方，也不是某个整数的
立方的数有多少个？
三，边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两
个点，其距离不大于1/3。
四，凸10边形的任意三条对角线不共点，试求(1)这凸10边形的
对角线交于多少个点？(2)又把所有对角线分割成多少段？五，求和=?? ???∑k－（－）k+1111n
k n k 六，求解递推关系--++=??==?12016930,1
n n n a a a a a 七，用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成红色，问有多少种方法？
八，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？注，1-4、6题各15分，第5题10分，第7题8分，第八题7分。
北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期
《组合数学》期末试题答案
一， (15)
解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。
--------5分
则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分
1n m +?????
?种方式。----15
备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分
二， （19分）
解：设A 表示是1-100内某个数的平方的集合，则 |A|=10, -----4分
设B 表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分
由容斥原理得
100||||||
100104288A B A B A ∩=??+∩=??+=B --------19分
三， （15分）
证明：将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。
- ------5分
由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，----12分 此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。从而得证。
-------15分
四， （15分）
解：（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分
（2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1 i
一个在右侧，则与对角线1i 相交的
其他对角线
必定一个顶点在左侧，
于是，这种交点总数为
（10-i ）(i-2) --- 1分 从而此对角线被剖分成
（10-i ）(i-2)+1段 ----2
从而由顶点1出发的所有对角线被分割成的小段总数为 -----4分
从而全体对角线被分割的小段总数为：
9
3((10)(2)1)91j i i =??+=∑10914552
×=条 ----- 5分
五， （6分）
解：原式=
11111111111==??+???+??+??=??++??∑∑n
k n k n n k n n k n k－k+1（－）k+1（－）
11011(11111)1011(111(0)11=?+=)+??=??++??
++????+?????????
+??=+??+??
=+=++∑∑n k n k k n k n n n n n k n n n n n k+1（－）（－）
------- 6分
六， （15分）
解：对应齐次递推关系的特征方程为
x 2
+6x+9=0 特征根x 1=x 2=-3,所以齐次递推关系的通解为
a n =(k 1+k 2n)(-3)n ---- 5分
设特解为C ，则C+6C+9C=3 ------- 7分
所以 C=3/16, 所以通解为a n =3/16 +(k 1+k 2n)(-3)
n
-------10分
由初始条件可得：
3/16 +k 1 =0，? k 1 =-3/16
3/16 +(k 1+k 2)(-3)=1? k 2 =-1/12
所以n n 313a ()(3)161216
=?+?+-------15分
七， （8分）
解：设a n 表示涂色的方案数，定义a 0=1，则{a n }的指数型母函数为
242122
23000()(1......)2!4!2!
(1......)1!2!!11()()22
11(3)(31)2!!2n
e n
x x x x x n n n n n n n x x x f x n x x x n e e e e e !
n
x x x n n ?∞∞∞====+++++?+++++=+?=+=+=+∑∑∑n -----4分 所以 1(31)2
n n a =+---------8分 另外，直接由组合方法求得结果为
20312 (1)22?????=??+?=≥???
?∑n n n k k n n k 亦可。
八， （7分）
解：设a n 表示涂色的方案数，考察第一个方格的染色方案，若染红色，则下一个必须染蓝色，于是剩下的方格染色方案数恰为a n-2,若第一个方格染蓝色，则剩下的方
格染色方案数恰为a n-1,由加法原理，我们建立如下递推关系：
a n =a n-1+a n-2 --------- 3分
确定初始条件:显然，对一个方格有两种方案，对两个方格有3种方案：第一个红第二个蓝色，第一个蓝第二个红色，二个都是蓝色，即 a 1=2, a 2=3 ------4分 求解此递推关系，实际上它是斐波那契数列F n+1， 特征方程为,解得特征根为
012=??x x 2
51,251?=+=βα 得通解为,于是有
n n n k k a βα21+=???+=+=22212132β
αβαk k k k 则10
535,1053521?=+=k k 从而 n n n a βα1053510535?++=
--------7分 另外，若直接由组合方法求得
1201n n k n k a k +????=?+??=????
∑亦对。 注：由于组合问题求解方法众多，不一一列出。
北京邮电大学2005——2006学年第1学期
《组合数学》期末试题(计算机院)姓名班级学号成绩一，有颜色不同的4盏灯。（20分）
（1）把它们按不同的顺序全部挂在灯杆上表示信号，共有多
少种不同的信号？
（2）每次使用一盏、二盏、三盏或四盏按一定的次序挂在灯
杆上表示信号，共有多少种不同的信号？
（3）在(2)中如果信号与灯的次序无关，共有多少种不同的信
号？
二，（1）在边长为1的等边三角形内任意放5个点，证明一定
存在两个点，其距离不大于1/2。而放4个点则结论不成立。（2）由此推广，确定最小的m(n),使当放m(n)点在边长为1的等边三角形内时其中必有两点的距离不大于1/n （20分）三，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负
号相邻，问有多少不同的排法。（15分）
四，求解递推关系---+=??==?
12013214,6n n n a a a a a （15分）五，在1和10000之间不能被4、5和6整除的数有多少个？（15
分）
六，用红白2种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种
颜色，如果要求偶数个方格涂成白色，问有多少种方法？（8分）
七，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一
种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？（7分）
北京邮电大学2005 ——2006 学年第1学期 《组合数学》期末试题答案(计算机院)
一， （20分）
解: (1)由于颜色不同,这相当于[1,2,3,4]上的一个全排列,从而有
4!=24种不同的信号…….6分
(2)由于可以使用的灯盏数可以不同,从而由(1)我们有 种不同信号…….8分
6444342414=+++P P P P (3),这里,信号与灯的次序无关,从而是一个组合问题,与(2)类似
不同的信号种类有种不同的信号.
1544342414=+++C C C C --------6分
二， （（20分）
解: (1)将此三角形剖分成4个小的边长为1/2的边三角形。--4分 由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/2.----10分
但若将4个点放入则不行,实际上只要在三角形中心放一个点,在三个顶点附近各放一个点即可,如图.------15分
(2),由此推广,将此三角形剖分成n 个小的边长为1/n 的
等边三角形。将个点放入此三角形中,由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/n------5分 2n
三， （15分）
解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。
--------5分
则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分
1n m +?????
?种方式。----15
备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分
四， （15分）
解: 对应齐次递推关系的特征方程为
x 2
-3x+2=0 -------3分 特征根x 1=2,x 2=1,所以齐次递推关系的通解为
a n =k 1+k 22n ---- 5分
由于1是特征根,所以设特解为Cn ，则
C n-3C(n-1)+2C(n-2)=1 …….. 7分
所以 C=-1, 所以通解为
a n =- n +k 1+k 22n
-------10分
由初始条件可得：
k 1 +k 2 =4，k 1+2k 2-1=6
解得k 1 =1, k 2 =3.
所以a n =- n +1+3·2n -------15分
五， （15分）
解：用A,B,C 分别表示1-10000之间被4，5和6整除的数的集合。 于是由容斥原理问题是求|A B C |∩∩。----2分
100001000010000|A |2500,|B |2000,|C |1666,4561000010000|A B |500,|A C |833,45431000010000|C B |333,|A B C |166,65453??????======????????????
????====????××????
????====????×××????
∩∩∩∩∩ --------10分
|A B C |10000(|A ||B ||C |)(|A B ||A C ||B C |)|A B C |10002500200016665008333331665334
=?+++++?=???+++?=∩∩∩∩∩∩∩ ---------15分
六， （8分）
解：设a n 表示涂色的方案数，定义a 0=1，则{a n }的指数型母函数为
2421220()(1......)2!4!2!
(1......)1!2!!11()(1)22
1(21)2!
?∞==+++++?+++++=+?=+=+∑n
e n
x x x x n
n n x x x f x n x x x n e e e e x n -------3分 所以 12 (1)?=≥n n a n ---------8分
注：若规定偶数不含0，则12-1 (1)?=≥n n a n 。另外可直接 由组合方法求，答案为2102 (1)2?????=?
?=≥????
∑n n k n n k 。
七， （7分）
解：设a n 表示涂色的方案数，考察第一个方格的染色方案，若染红色，则下一个必须染蓝色，于是剩下的方格染色方案数恰为a n-2,若第一个方格染蓝色，则剩下的方格染色方案数恰为a n-1,由加法原理，我们建立如下递推关系：a n =a n-1+a n-2 --------- 3分
确定初始条件:显然，对一个方格有两种方案，对两个方格有3种方案：第一个红第二个蓝色，第一个蓝第二个红色，二个都是蓝色，即 a 1=2, a 2=3 ------4分 求解此递推关系，实际上它是斐波那契数列F n+1， 特征方程为,解得特征根为
012=??x x 2
51,251?=+=βα 得通解为,于是有
n n n k k a βα21+=?
??+=+=22212132βαβαk k k k 则10
535,1053521?=+=k k 从而 n n n a βα10
53510535?++=--------7分 另外，若直接由组合方法求得1201+????=?+??=????∑n n k n k a k 亦对。
《组合数学》试题
《组合数学》试题 姓名 学号 评分 一、填空题（每小题3分，共18分） 1、 红、黄、蓝、白4个球在桌上排种排法。成一圈，有 2、设P 、Q 为集合，则|P ∪Q| |P| + |Q|. 3、0max i n n i ≤≤????=?? ????? 。 4. 366个人中必有 个人生日相同。 5.的系数为的展开式中，342326 41x x x x i i ?? ? ??∑= 。 6.解常系数线性齐次递推关系的常用方法称为 法 。 二、单项选择题（每小题2分，共12分） 1、数值函数f = (1,1,1,...)的生成函数F(x) =（ ） A 、(1+x)n B 、1－x C 、(1－x)－1 D 、(1+x)－n 2、递推关系f(n) = 4f(n －1)－4f(n －2)的特征方程有重根2，则（ ）是它的一般解 。 A 、C 12n －1+C 22n B 、( C 1+C 2n)2n C 、C(1+n)2n D 、C 12n +C 22n . 3、由6颗不同颜色的珠子可以做成 （ ）种手链。 A 、720 B 、120 C 、60 D 、6
4、=??? ??-∑=n k k k n 0 )1(（ ）。 A 、2n B 、0 C 、n2n －1 D 、1 5、设F(x),G(x)分别是f 和g 的生成函数，则以下不成立的是（ ） 。 A 、F(x)+G(x) 是f+g 的生成函数 B 、F(x)G(x) 是fg 的生成函数 C 、x r F(x) 是S r (f)的生成函数 D 、F(x)－xF(x) 是?f 的生成函数. 6、在无柄茶杯的四周画上四种不同的图案，共有（ ）种画法。 A 、24 B 、12 C 、6 D 、3 三、 解答题（每小题10分，共70分） 1. 有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有多少种不同的排列方 式？ 2. 公司有5台电视机，4台洗衣机，7台冰箱，现要把其中3台电视机，2台洗 衣机，4台冰箱选送到展销会，试问有多少种选法？ 3. 设S = {1, 3?2, 3?3, 2?4, 5}是一个多重集，那么由集合S 的元素能组成多少个 不同的四位数。 4.试求在1到300之间那些不能被3, 5和7中任何一个整除的整数个数。 5. 解非齐次递推关系 1201 693,20,1n n n a a a n a a --++=≥??==? 6. 将字母a,b,c,d,e,f,g 排成一行，使得模式beg 和cad 都不出现的排列总数是多少？ 7. 某次会议有10个代表参加，每一位代表至少认识其余9位中的一位，则10位代表中至少有两位代表认识的人数相等。
离散数学试题与参考答案
《离散数学》试题及答案 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（ ）。 (A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ?→?； (D)．P Q ?∨． 3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1A (B) {1,2, 3}A (C) {{4,5}}A (D) A 4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B C )= ( ) (A) {<1,c >,<2,c >} (B) {
排列组合练习题及答案精选
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题： 1. 从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2. 从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动，已知共有 90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ） A.男同学2人，女同学6人 B. 男同学3人，女同学5人 C.男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4. 一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有（） A.12个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 答案：1、 2 2 72 3 、选 B. 设男生n 2 1 3 2 2 9 9 n 8 n3 。、mn m C 362、A 人，则有C C A 904 A A58 选 C. 二、相邻问题： 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？ 2. 有8本不同的书，其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这 些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为() A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1. 2 4 3 2 5 2 4 3 2 5 AA 48(2)选BAAA1440 三、不相邻问题： 1. 要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？ 1
排列组合测试题(含答案)
排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
组合数学试题集
组合数学试题集 一.简单题目 可以根据需要改成选择题或者填空题 1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页） 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有15P 个； （2）选2个，即构成两位数，共有25P 个； （3）选3个，即构成3位数，共有35P 个； （4）选4个，即构成4位数，共有4 5P 个； 由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页） （1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定； （2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。 5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ， 剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种， 根据乘法原理，就座方式总共有： (8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种） （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。 可分成三种情况分别讨论： ① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ； ② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ； ③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；
各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为： (14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000 C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页） 解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程 123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。 该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。 故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种） ? 另解： 因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有： 212019181716(,6)(1661,6)54264654321 RC C ?????∞=+-= =?????（组） 即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页） 母函数为： 2 323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ? 方法二： ()()()()()220 22220 02222023 ()(1)00121121n n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞ +==∞+==-=++-"=++=""????== ? ?-???? =-∑∑∑∑∑
《组合数学》课程简介.
《组合数学》课程简介 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 内容简介： 《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 《组合数学》教学大纲 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 一、教学目的和基本要求： 《组合数学》是一门应用广泛的学科。它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。 二、主要内容及学时分配： （1）引言2学时 （2）排列与组合8学时 （3）母函数与递推关系12学时 （4）容斥原理3学时 （5）反演公式3学时 （6）鸽巢原理3学时 （7）Pólya计数定理5学时 （8）区组设计6学时 （9）编码理论6学时 三、教学方式：课堂讲授 四、相关教学环节安排： 五、考试方式及要求：笔试 六、推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 七、有关说明：
离散数学试卷及答案一
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 《组合数学》期末试题（A ）姓名班级学号成绩 一，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负 号相邻，问有多少种不同的排法。 二，在1和100之间既不是某个整数的平方，也不是某个整数的 立方的数有多少个？ 三，边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两 个点，其距离不大于1/3。 四，凸10边形的任意三条对角线不共点，试求(1)这凸10边形的 对角线交于多少个点？(2)又把所有对角线分割成多少段？五，求和=?? ???∑k－（－）k+1111n k n k 六，求解递推关系--++=??==?12016930,1 n n n a a a a a 七，用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成红色，问有多少种方法？ 八，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？注，1-4、6题各15分，第5题10分，第7题8分，第八题7分。 北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期 《组合数学》期末试题答案 一， (15) 解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。 --------5分 则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分 1n m +????? ?种方式。----15 备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分 二， （19分） 解：设A 表示是1-100内某个数的平方的集合，则 |A|=10, -----4分 设B 表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分 由容斥原理得 100|||||| 100104288A B A B A ∩=??+∩=??+=B --------19分 三， （15分） 证明：将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。 - ------5分 由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，----12分 此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。从而得证。 -------15分 四， （15分） 解：（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分 （2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1 i da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。1912年，清华学堂更名为清华学校。1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。 清华大学《运筹学》共40讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-232-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文 48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-371-1-1.html 清华大学《数据结构》（c语言）严蔚敏48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-1547-1-1.html 清华大学《计算机文化基础》视频教学共28讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-233-1-1.html 清华大学《计算机原理》王诚 64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-328-1-1.html 清华大学《模式识别》林学訚 32讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-375-1-1.html 清华大学《计算机网络体系结构》汤志忠 48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-374-1-1.html 清华大学《汇编语言程序设计》温冬婵 64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-356-1-1.html 清华大学《JA V A编程语言》许斌32讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-354-1-1.html 清华大学《人工智能原理》朱晓燕48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-329-1-1.html 清华大学《编译原理》张素琴吕映芝64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-330-1-1.html 清华大学《软件工程》刘强48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-327-1-1.html 思想道德修养清华大学 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-327-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/thread-2-1-2.html 清华大学《模拟电子技术》华成英56讲学习梦想家园 试卷二十三试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、?； C 、∈； D 、?。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=*； B 、),max(b a b a =*； C 、b a b a 5+=*； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则 2014-2015-1《组合数学》试卷（A ）答案 一、填空题（每小题3分，共24分） 1．6()x y +所有项的系数和是（ 64 ）. 2．将5封信投入3个邮筒，有（ 243 ）种不同的投法. 3．在35?棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 （ 22 ）种不同的选取方法. 4．把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有（ 7 ）种不同方式. 5．把5个不同的球安排到4个相同盒子中，无空盒，共有种（ 10 ）不同方法. 6．一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（ 44 ）种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子. 7. 在边长为a 的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于（ 28a ）. 8．棋盘多项式 R ( )=（ x 2 +3x+1 ）. 二、单项选择题（每小题3分，共24分） 9．...0110p q p q p q r r r ????????????+++= ??? ??? ???-???????????? （ B ） ， m i n {,}r p q ≤. A 、1p q r +?? ?-??； B 、p q r +?? ???； C 、1p q r +?? ?+??； D 、1p q r ++?? ??? . 10. ()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（ B ）项. A 、n ； B 、3n n +?? ???； C 、4n ?? ??? ； D 、!n . 11．多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是（ C ）. A 、 78 ； B 、 104 ； C 、 96 ； D 、 48. 12．有4个相同的红球，5个相同的白球，则这9个球有（ B ）种不同的排列方式. Ａ、 63 ； Ｂ、 126 ； Ｃ、 252 ； Ｄ、 378. 13. 设,x y 均为正整数且10x y +≤，则这样的有序数对()y x ,共有（ D ）个. A. 100 ； B. 81 ； C. 50 ； D. 45. 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。 2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。 解： 1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。-----------------4分 2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。 -----------------4分 故R(C 4,C 4)>=6。-----------------2分 二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………………… 离散数学 2^m*n 一、选择题（2*10） 1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。 （A）P→?Q （B）P∨?Q （C）P∧Q （D）P∧?Q 2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。 （A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q） （C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q 3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定 是（）。 （A）所有人都不是大学生，有些人不会死 （B）所有人不都是大学生，所有人都不会死 （C）存在一些人不是大学生，有些人不会死 （D）所有人都不是大学生，所有人都不会死 4、永真式的否定是（）。 （A）永真式（B）永假式（C）可满足式（D）以上均有可能 5、以下选项中正确的是（）。 （A）0= ? （B）0 ? （C）0∈? （D）0?? 6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（） ）。 （A）2 （B）4 （C）3 （D）5 10．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）。 （A）有些边不是割边（B）每条边都是割边 （C）无割边集（D）每条边都不是割边 二、填空题（2*10） 1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。 2、设全体域D是正整数集合，则命题?x?y(xy=y)的真值是______。 3、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为 4 5 6、设 7 8 (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下 五、（15分）设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 2012有限集合上的组合数学问题 知识点： 1.偏序集合基本概念 一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠?< 特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。 这里，符号"" 读作“小于等于”。 假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。用 M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。 2.偏序集合基本问题和定理。 定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。 注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。 与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ' 'o nig 定理”遥相呼应。其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。 （2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。）下面这个证明来自于https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,erberg 在1967年的篇文章。 证明2：设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。 显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义： }.,|{i a x i P x S ?∈=- 类似第可以定义+ S 。因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再- S 里面。故，按照归纳假定，- S 是M 《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数 母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见： 离散数学试题(A卷答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。 证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C ??( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C ??( A∧(P?Q))∨C ?(A∧(P?Q))→C 2) ?(P↑Q)??P↓?Q。 证明：?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 证明： 公式法：因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P∨R∨?R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R) ? M∧5M∧6M 4 ? m∨1m∨2m∨3m∨7m 所以，公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 真值表法： 式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 三、推理证明题（10分） 1）?P∨Q，?Q∨R，R→S P→S。 证明：(1)P附加前提 组 组 组合数学与离散数学组合数学试题
清华大学学习视频教程下载,有需要的千万别错过
离散数学试卷二十三试题与答案
的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。 8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。 A 、（1，1，2，2，3）； B 、（1，1，2，2，2）； C 、（0，1，3，3，3）； D 、（1，3，4，4，5）。 9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。 A 、点与边； B 、边与点； C 、点与点； D 、边与边。 10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（ ）。 A 、5； B 、7； C 、9； D 、8。
组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷
离散数学试题与答案
组合数学 试题及答案11
离散数学试题及解答
有限集合上的组合数学问题
组合数学课程教学大纲
最新离散数学试卷及答案 (1)
组合数学前沿介绍
合
数
学
Combinatorics
马昱春 MA Yuchun myc@https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,
1
合
数
学
Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.wendangku.net/doc/2f575948.html,/wiki/Combinatorics 2
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
3