不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）
一、 方法简介
设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有
dx x x f x dF )(')]([)]([???=
从而根据不定积分的定义得
)
(]
)([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=.
则有定理：
设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式
)
(]
)([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??=
由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号
dx
dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：
○1??++=+)()(1
)(b ax d b ax f a
dx b ax f )0(≠a ； ○
2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，??
=x d x f x dx x f tan )(tan cos )
(tan 2，x d x f x
dx
x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x
x f ln )(ln 1
)(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(；
○
4n
n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，?
?=)()(2)
(x d x f x
dx x f ； ○
5??=-x d x f x
dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2
；
?
?
=+x d x f x dx
x f arctan )(arctan 1)
(arctan 2； ○
6复杂因式
【不定积分的第一类换元法】 已知
()()f u du F u C =+?
求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????=
=?
?? 【凑微分】
()()f u du F u C =
=+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】
(())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】
【求不定积分()g x dx ?
的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=??
（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????=
=??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==?
??()u f u d =?
（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数：
()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+?
（5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：
()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
二、典型例题
○1??++=+)()(1
)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； 例1.?-dx x 2010
)12( 例2. ?
+2
31x x [1]
例3.?+++3
22)1(1x x xdx [1]
例4.dx x x x ?
-+4
31[1]
1．解：令12-=x u ,dx du 2=,
C x C u dx x +-?=+?=-?2011
)12(21201121)
12(2011
20112010
2．解：令2x t =， =
+?
2
31x x ??+-+=+t dt
t t tdt 1)11(21121
??++-++=)1(1
1
21)1(121t d t t d t
C t t ++?-+?=1221)1(32212
3
C x x ++-+=223
2
1)1(3
1 3．解：=+++?
3
22)1(1x x xdx ?++++3
2
222)
1()1()1(21
x x x d
令t x =+21
原式?
??++=+?=
+=
t
t d t t dt t
t dt 1)
1(121212
3 C x C t +++=++=211212
4．解：=
-+?
dx x
x x 4
31?
?
-+-dx x
x dx x
x 4
4
311
??-+---=42
441211)1(41x dx x
x d
C x x ++-??-=24arcsin 21
1241
C x x +--=)1(arcsin 2
1
42
○2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，
??=x d x f x dx x f tan )(tan cos )
(tan 2，x d x f x
dx
x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； 例1.dx x ?tan [2] 例2. ?dx x
x
2sin [2]
例3.dx x x x ?+++2sin 1cos sin 1[1] 例4.?x
x dx 4cos sin [1]
例5.?x
x dx 3cos sin [1] 例6.?+dx x x x x 44cos sin cos sin [1]
例7.设b a ,为常数，且0≠a ，计算dx x
b x a x I ?+=2
222cos sin tan [1]
1.解：设x u cos =，xdx du sin -=，xdx du sin =-
=?dx x tan =?dx x x cos sin ?+-=+-=-C x C u u du
)ln(cos )ln(
2．解：=?dx x
x
2sin ??+-=xdx x x x xd cot cot )(cot
C x x x ++-=sin ln cot
3．解：=+++?dx x x x 2sin 1cos sin 1???++--+-x x d x x d x dx 222sin 21)
(sin cos 2)(cos cos 2 ?+-+--=)arctan(sin cos 2cos 2ln 221)1sec 2(cos 22x x
x
x x dx
?
+++-+-=x
x
d x x
x 2
tan 21tan )arctan(sin cos 2cos 2ln
2
21
C
x x x
x ++
+-+-=)tan 2arctan(2
1)arctan(sin cos 2cos 2ln
2
21
4.解：=?x
x dx
4
cos sin dx x x x x dx x x dx x x x x ???++=+2224422cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ???
+--=x dx
x x d x x d sin cos cos cos cos 24 C x x x x +-++=cot csc ln cos 1
cos 313
5.解：=?x x dx
3
cos sin ??+=x d x x x x x x dx tan cos tan cos sin cos tan 2224 =+=?
x d x x tan tan tan 12C x x ++tan ln tan 2
1
2 6.解：令x u 2=，再令u v cos =，有
du u
u u
dx x x x dx x
x x x ???+=+=+222244sin 2
1cos sin 412sin 212cos 2sin 21cos sin cos sin ??+-=-+-=2
22121cos 2
121cos cos 41v
dv
u
u u d =+-=C v arctan 21C x +-)2arctan(cos 2
1
7．解：??
+=+=2222222tan tan tan )
tan (cos tan b x a x
xd dx b x a x x I C b x a a b x a b x a d a
++=++-=?)tan ln(21tan )tan (21
2
222
2222222
○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1
)(ln ，??=x x x x
de e f dx e e f )()(；
例1.?
+)
ln 21(x x dx [3]
例2.dx e x ?5[2]
例3.?+dx e e x
x 43[2]
例4.?-x x dx 2ln 1[2]
例5.?
++dx e e x x 2
2
)1(1[1]
例6.dx x
x
x x ?-?4
932[1]
例7.?-dx e xe x x 2
[1]
例8.?
dx x
x x sin cos tan ln [2]
1.解：=+?
)ln 21(x x dx ?+x
x
d ln 21ln
C x x x d ++=++=
?ln 21ln 2
1
ln 21)ln 21(21
2.解 ：令x u 5=，dx du 5=
=
?dx e x 5C e C e du e x
u u +=+=?55
15151 3.解：令x e u 43+=，dx e du x 4=，
=+?dx e e x x 43C u du u +=?ln 4
1141 C e x ++=
)43ln(4
1
4.解：令x u ln =，dx x
du 1
=
=
-?
x
x dx 2
ln 1?
+=-C u du u
arcsin 112
C x +=)arcsin(ln
5.解：=
++?
dx e e
x x
2
2
)1(1=+-+?
dx e e e x x x 22
2
2
2
)1(2)1(dx e e
x x x ?
+-2
2
2)1(2
=++-=?
2
22)1()1(4x x e e d x C e
x x +++
2
14
6.解：=-??dx x x x
x
4
932??-=-1])2
1[(]
)23[(23ln 11)23()23(22x x x x d dx C x x ++--=
1)2
3(1
)23
(ln )
2ln 3(ln 21
C x
x x
x ++--=
2323ln )2ln 3(ln 21 7.解：=
-?
dx e xe x x 2
?
?-=--)2(22
)2(x x x e xd e e xd
?---=dx e e x x x 2222 令22t e x =-,22t e x +=,)2ln(2t x +=,dt t t
dx 2
22+=
原式=+--=?dt t t t
e x x
2
22222dt t t e x x
?+-+--22222422
?+---=dt t e x x )22
1(4222
C t t e x x +?
+--=2arctan
218422
C e e e x x x
x
+-+---=2
2
arctan 242422
8.解：=?
dx x x x sin cos tan ln =?x d x
x
tan tan tan ln ?)tan (ln tan ln x xd
C x +=
2
)tan (ln 2
○
4n n n n
x d x f n
dx x x f ??=
-)(1
)(1)0(≠n ，??
-=)1
()1()1(2x
d x f x dx x f ，?
?=)()(2)
(x d x f x
dx x f ；
例1.dx x
e x
?3
[2]
例2.dx x x ?
+2
31[4]
例3.?
-+dx x
x x 11[4]
例4.?
+-+)
ln ln (b x a x x dx
[1]
例53222)1(1dx x x x -?[1] 例6.?-)(x a x dx )0(>a [1]
例7?
-dx x
x 1arcsin [1]
1.解：x
dx
x d 21=
=?dx x
e x
3
==
??)3(32233x d e x d e x x C e x
+3
3
2
2.解：=+?
dx x x 23
1)1()11
1(2112122
2222x d x x dx x x ++-+=+??
C x x ++-+=223
21)1(3
1
3.解：=
-+?
dx x
x x 11?
?
?
-+-=-+2
22
2
111)1(x
dx x x
xdx dx x
x x
对于右端第一个积分，凑微分得 =---=-??
-
)1()1(122
12
2x d x dx x x C x +--21
第二个积分中，用代换t x sin = =-?
dx x
x 22
1dt t
tdt t t ??-=2cos 1cos cos sin 22 =+-=
C t t 2sin 412C x x x +--212
1
arcsin 21 原式C x x x +-+-=21)2(21
arcsin 21
4.解：=
+-+?
)
ln ln (b x a x x dx
?
-+++dx b a x b
x a x )
(ln ln
??++-+++-=
)(ln ln 1
)(ln ln 1b x d b x b
a a x d a x
b a C b x a x b a ++++-=])(ln )[(ln )
(32
23
23
5.解：=-?32
2
2)1(1dx x x x ??--=--)11()11()1()11(3232x d x x d x C +-=35
)5
1
1(53
6.解：?=-)(x a x dx C a
x
x a x d +=-?
arcsin
2)(22
7.解：=-?
dx x
x 1arcsin ?--)1(arcsin 2x d x
?
--+--=x d x
x x x 112arcsin 12
C x x x ++--=2arcsin 12
○
5??=-x d x f x
dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2
?
?
=+x d x f x dx
x f arctan )(arctan 1)
(arctan 2； 例1.dx x x ?-2
arccos 2110[3]
例2. ?
+dx x x x )
1(arctan [4]
例3.?
++dx x x x )
1(arctan 1[1] 例4.?
-3
24
)
(arcsin 1x x xdx [1]
例5.dx x x x x ?-+?22211arcsin [1]
1.解：=-?dx x
x 2
arccos 2110C x d x
x
+-=-?10
ln 210arccos 10arccos 2arccos 2
2.解：=
+?
dx x x x )
1(arctan ??=+)(arctan arctan 21arctan 2x d x x d x x
C x +=2)(arctan
3.解：?
=
++dx x x x )
1(arctan 1?
++dx x x x ]
)(1[arctan 12
?++=)1(arctan arctan 12x d x
C x ++=23
)arctan 1(3
4
4．解：=-?
324)
(arcsin 1x x xdx
??=-322
4322)(arcsin arcsin 211)(arcsin 21x x d x x dx C x +-=-22)(arcsin 4
1
5．解： ??
+=
=-C x x xd dx x x 22
)(arcsin 2
1
)(arcsin arcsin 1arcsin 令t x sin =， ?
?
?=-=-t
dt
t
t t d x x dx 2
222
2sin sin 1sin sin 1 C x
x C t +--=+-=2
1cot
???
+--=--=-∴x dx
x x x x x xd dx x x x )1(arcsin )1(arcsin 1arcsin 222
2
C x x x
x ++--=ln arcsin 12
??-+-=-+?∴dx x
x x
x x dx x x x x )1arcsin 1arcsin (11arcsin 222222 C x x x
x x arc ++--
=ln arcsin 1sin 2122
○6复杂因式 例1.?
++dx x x 114
2
[4]
例2.dx x x ?+2
11
arctan
[1]
例3.?-+?-dx x x x
11ln 112
[1]
例4.dx x x x ?+++221)1ln([1] 例5.?
+dx x x sin cos 1[1] 例6.?++dx x
x e x )cos 1sin 1([1]
1.解：???+--=++
=++2
)1()1
(1111
122224
2x x x x d dx x
x x dx x x C x
x C x x +-=+-=
21arctan 2121
arctan
2
12
2.解：2
211
)'1()
1(11)'1
(arctan x x x
x
+-=+=
Θ ??+-=-=+∴C x x d x dx x x 22
)1(arctan 21)1(arctan )1(arctan 11
arctan
3.解：212
)'11(ln x x x -=-+Θ C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-+?-∴??
2
2
)11(ln 41)11(ln 11ln 2111ln 11
4.解：?
+++=+C x x x dx )1ln(1
22
??
++++=+++∴))1(ln()1ln(1)1ln(2
222x x d x x dx x
x x C x x +++=23
2)]1[ln(3
2
5.解：???==+2
sin
222cos 2sin 22cos
2sin cos 1x dx dx x x x
dx x x ?+==C x x x d 4tan ln 24
tan )
4(tan 2 6.解：dx x
x x e dx x x e x x
??--+=++2
cos 1)
cos 1)(sin 1()cos 1sin 1( ????-+-=xdx e dx x e dx x x e dx x e x
x x x cot sin sin cos sin 22 ????-+-
--=xdx e dx x
e x d e x d e x x
x
x
cot sin )sin 1()cot ( C x
e x e x
x
++
-=sin cot
1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52
x )； (4) x d x = d(1-2
x )；
(5) 3
x d x = d(34
x -2); (6) 2e x
d x = d(2
e x
)； (7) 2e
x -d x = d(1+2
e
x -
); (8)
d x
x = d(5ln ｜x ｜); 2
1x - = d(1-arcsin x 2
1x -= d 21x -(11)
2d 19x x += d(arctan 3x ); (12) 2
d 12x
x += d(2x );
(13) (32x -2)d x = d(2x -3
x )； (14) cos （23x -1）d x = d sin （23
x -1）．
1 求2cos 2x ?
d x .
2 求1
d 25x x +?.
3 求tan ?
x d x ．
4 求x ?
21x -x ．
5 求221
a x +?d x ．
6 求2
2
a x
-d x (a ＞0)．
7 求3sin ?
x d x ．
8 求2sin ?
x d x ．
例9 求221
a x -?d x (a 为常数，a ≠0)．
例10 求sec x ?
d x ．
例11 求cos3x ?
cos 2x d x ． 例12 求3
x
x
x ．
例13 求53tan sec x x ?
d x
２.求下列不定积分：
(1) 5e d t t ?; (2) 3(32)x -?
d x ;
(3)
d 12x
x -?; (4) 3
23x
-?
(5)
d t
t t
; (6) d ln ln ln x x x x ?; (7) 102
tan sec d x x x ?
; (8) 2
e d x x x -?
;
(9)
d sin cos x x x ?; (10) 2
2
tan 11x x ++?(11)
d e e x x
x
-+?; (12) 223x x -?; (13) 34
3d 1x x x -?; (14) 3sin d cos x x x ?;
1、解 被积函数中，cos 2x 是cos u 与u =2x 的复合函数，常数因子2恰好是中间变量
u =2x 的导数，因此作变量代换u =2x ,便有
2cos 2x ?d x =cos 2x ?·２d x =cos 2x ?·（２x )′d x ＝cos ?u d u ＝sin u +C ． 再以u =2x 代入，即得2?
cos 2x d x =sin 2x +C .
2、解
125x +可看成1
u
与u =2x +5的复合函数，被积函数中虽没有u ′=2这个因子，但我们可以凑出这个因子：125x +=12·125x +·２=12·1
25
x +·(2x +5)′，
从而令u =2x +5,便有
125x +? d x =12?·125x + (2x +5)d x ＝12125x +?d(2x +5)＝1
2
1
u ?d u
=12ln u +C ＝1
2
ln 25x + +C ． 一般地，对于积分
f ? (ax +b )d x ，总可以作变量代换u =ax +b ，把它化为
()d f ax b x +?＝1a ?f (ax +b )d(ax +b )＝12
()()u x f u du ?=?
????． 3、解 tan ?x d x =sin cos x x ?d x ＝1cos x -? (cos x )′d x ＝1
cos x -?d(cos x ) cos u x =令
-1
u
?d u =-ln u +C =-ln cos x +C ． 类似地可得cot ?
x d x =ln sin x +C ．
4、解 x ? 2
1x - d x =-
1
2
2
2
1(1)'x x --d x ＝-
1
2
1
22
(1)x -?
d(1-2x ）2
1u x =-令-
1
2
12
u ?d u =32
13u -+C =-13 3
22(1)x -+C ．
在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u ，只需做到“心中有数”即可． 5、解
221a x +?d x =21
a ?·2
11()x a +d x =1a 211()x a
+?d （x a ）=1a arctan x a +C ． 6、解
2
2
a x
-d x =
2
1()x a a
-2
d()
1()x a x
a
-?
=arcsin x a +C ． 7、解 3sin ?x d x ＝2
(1cos )x -?sin x d x =-2
(1cos )x -?
d(cos x )
=- d ? (cos x )+ 2cos ?
x d(cos x )
=-cos x +
1
3
3cos x +C ． 8、解 2sin ?x d x =1cos 22
x
-? d x =1d 2? x -1cos 24x ? d(2x )= 12 x -14 sin 2x +C ．
类似地可得
2cos ? x d x ＝12x +14
sin 2x +C ． 9、解
22
1
a x -?d x =1()()a x a x +-?d x =
111
()d 2x a a x a x ++-?=1()()2d a x d a x a a x a x +-??-??+-???? =
1
ln ln 2a x a x a
?+--??? +C =1ln 2a x a a x +- +C ． 10、解 sec x ?
d x =
1cos x ?d x =2cos cos x x ?d x =21
1sin x -?d(sin x )
=
11sin ln 21sin x x +-＋C （由例8)= 2
11sin ln()2cos x x
+＋C =ln sec tan x x +＋C ．
类似地可得
csc x ?d x =ln csc cot x x -＋C ．
11、解 利用三角函数的积化和差公式有
cos3x ?cos 2x d x =12? (cos x +cos 5x )d x =12
cos x ?d x +
1
10cos5x ?
d(5x ) =12sin x +110
sin 5x +C ． 12、解
3
x
e
x
?
d x =
23
3
(3)x e d x ?＝
23
3x
e +C ． 13、解 53tan sec x x ?d x =42tan sec x x ?sec x tan x d x =222(sec 1)sec d(sec )x x x -?
=642
(sec 2sec sec )dsec x x x x -+?
=
753121
sec sec sec 753
x x x -++C ．
换元积分法第一类换元法
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式, 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
换元积分法(第二类换元法)
§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ?化为 有理式[()]()f t t ψψ'的积分 [()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx =
不定积分的第一换元积分法
不定积分的第一换元积分法 不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。 一、第一换元积分法运用的前提条件 由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为 f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。 二、第一换元积分法的基本解题思路 首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。 三、第一换元积分法的具体求解步骤 被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。 其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。 将题中的g(x)写成ku′(x)，即 ∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的 公式求出积分： k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c 四、举例 例1、∫x(1-3x2)10dx 解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10， 其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分， ∫x(1-3x2)10dx =-■∫(1-3x2)10(-6xdx) =-■∫u10du =-■·■u10+1+C =-■u11+C=-■(1-3x2)11+C 例2、∫■dx 解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x 其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx =■dx，然后就需要在题中凑这个微分， ∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx =■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C 例3：∫tanxdx 解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。其中■是复合函数，中间变量u(x)=cosx，求中间变量的微分d(cosx)
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则 根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积 表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
不定积分换元法例题1
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
最新定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难点：定积分换元条件的掌握 重点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理假设 (1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续； (2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数； (3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?， 则有 ?Skip Record If...?．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算?Skip Record If...?． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?． 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 显然，这个定积分的值就是圆?(图5－8)． 例3 计算?Skip Record If...?． 解法一 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?． 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，于是 ?Skip Record If...?． 解法二 也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?．
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， dx x x d )()(?'=? . 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据 复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的 微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它 内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++.
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式 定理1若，且的原函数容易求出，记 ， 则 . 证明若，令，于是有 因而 得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式 定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则 得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。 例1求. 解因为 即有一个原函数，所以 例2 计算积分. 解由于 于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式 定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且 ，（1）则 （2）
证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得 ， 这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式 定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则 证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是 ， 定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。 例3用第二换元法求解 解令，则
§4.2换元积分法(第一类换元法)
§ 换元积分法 Ⅰ 授课题目 § 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积 表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 1．定积分换元法 定理 假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续； (2) 函数)(t x ?=在区间],[βα上有连续且不变号的导数； (3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(β?α?， 则有 []dt t t f dx x f b a ?? '=β α ??)()()(． (1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ?=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分． 例1 计算? -2 1 1 dx x x ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时， 1=t ．于是 ??? ?? ? ??+-=?+=-1021022 1 1112211dt t tdt t t dx x x ??? ? ?-=-=412)a r c t a n (210 πt t ． 例2 计算? -a dx x a 0 22)0(>a ．
解 令t a x sin =，则t d t a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2 π = t ．故 ? -a dx x a 0 22dt t a t a ??=20 cos cos π dt t a )2cos 1(2 20 2 += ? π 20 2 2s i n 212π ??????+= t t a 4 2 a π= ． 显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)． 例3 计算?20 5sin cos π xdx x ． 解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2 π =x 时，0=t ，于是 6 1 6 1 sin cos 01 6 50120 5= -=-=?? t dt t xdx x π ． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 x d x x d x x c o s c o s s i n c o s 20 5 20 5 ?? -=π π 61610cos 61206 =??? ? ?--=-=π x ． 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元 不需要变换上、下限． 例4 计算dx x ?-π sin 1． 解 dx x ? -π sin 1?-=π02 c o s 2s i n dx x x 注去绝对值时注意符号．
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： § 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的 形式 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为 有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）
一、 方法简介
设 f (x) 具有原函数 F(u) ，即 F'(u) f (u) ， f (u)du F(u) C ，如果U 是
中间变量， u (x) ，且设(x) 可微，那么根据复合函数微分法，有
dF[(x)] f [(x)]'(x)dx 从而根据不定积分的定义得
则有定理：
f [(x)]'(x)dx F[(x)] C [ f (u)du]u(x) .
设 f (u) 具有原函数， u (x) 可导，则有换元公式
f [(x)]'(x)dx [ f (u)du]u(x)
由此定理可见，虽然
f
[ ( x)] ' ( x)dx
是一个整体的记号，但如用导数记号
dy dx
中的 dx 及 dy 可看作微分，被积表达式中的 dx 也可当做变量 x 的微分来对待，从
而微分等式'(x)dx du 可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式：
○1
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d (ax
b)
(a 0) ；
○2 f (sin x) cosxdx f (sin x)d sin x ， f (cosx)sin xdx f (cosx)d cosx ，
f
(tan x)
dx cos2
x
f
(tan x)d
tan
x，
f
(c ot x)
dx sin 2
x
f
(c ot x)d
cot x ；
○3
f
(ln
x)
1 x
dx
f
(ln
x)d
ln
x，
f
(ex )exdx
f
(ex )dex
；
○ 4
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn (n 0) ， n
f
(1) x
dx x2
f (1)d(1) xx
，
f(
x)
dx x
2
f
(
x )d (
x)；
○5 f (arcsin x)
dx 1 x2
f (arcsin x)d arcsin x ；
§42 换元积分法第二类换元法
§4.２ 换元积分法（第二类） Ⅰ?授课题目（章节）: ?§４.2 换元积分法 (第二类换元积分法） Ⅱ?教学目的与要求： 1．了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ?教学重点与难点: 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容: 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g （x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如? -dx x a 22．对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为 有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?， 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? , ?dt dx =
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分()f x dx ? 一、用第一类换元法 1、1()()()f ax b dx f ax b ax b dx a '+=++?? 1 ()f u du a u ax b =+? 例如 2、2221()()()2xf ax b dx f ax b ax b dx a '+=++?? 21 () 2f u du a u ax b =+? 例如 111()()()()n n n n n x f ax b dx f ax b a u x b dx f u du na na ax b -'+=++=+??? 3、sin (cos )(cos )(cos )xf x dx f x x dx '=-?? (os )c f u du u x -=? 例如 sin cos x e xdx ? cos (sin )(sin )(sin )xf x dx f x x dx '=?? sin ()f u u u x d =? 例如 ()32cos 1sin cos xdx x xdx =-?? 4、1()()()x x x x e f ae b dx f ae b ae b dx a '+=++? ? 1 ()x u ae f u a b du =+? 例如 e ? (ln )1(ln )(ln )f a x b dx f a x b a x b dx x a +'=++?? 1 ln ()f u du a u a x b =+? 例如 ()12ln 3dx x x +? 5、2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x x dx x '=+? ? arct an ()u f u u x d =? 2(arccot )(arccot )(arccot )1f x dx f x x dx x '=-+?? arc cot ()u f u du x =-? (arcsin )(arcsin )f x x dx '=?
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知 f(u)du F(u) C 【求不定积分 g (x)dx 的第一换元法的具体步骤如下：】 (1) 变换被积函数的积分形式： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx (2) 凑微分： g(x)dx f( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) (3) 作变量代换 u (x)得： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du (4) 利用基本积分公式 f(u)du F(u) C 求出原函数： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u) C (5) 将u (x)代入上面的结果，回到原来的积分变量 x 得： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du F(u) C F ( (x)) C 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量 u (x),省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 , , sin x , sin xdx d cosx 3(1) tan xdx ------------- dx ------------- -------------- (5x 7)9d (5x 7) 1 1 (5x 5 10 7)10 C — (5x 7)10 50 【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, dx 1 gd(5x 7) 2、 ln x , —dx x In x d In x .1 .. ln x — dx ln x x 1 2 2 (ln x) d In x 1 2 - ^(lnx) C 1 【汪】(lnx)'- x d(ln x) 1dx, x 1dx x d(ln x) cosx cosx cosx cosx 求 g(x)dx f( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u) F( (x)) C 【凑微分】 C 【做变换，令u 【变量还原，u (x),再积分】 (x)】 d cosx
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)5 5 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=?? ?? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+? 【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --====?? ??? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x ===?? ?? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=?