不等式问题的题型与方法
不等式问题的题型与方法
一．复习目标：
1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；
5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．
二．考试要求：
1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方
程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函
数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式
化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形
→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维
等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系
列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的
基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
8．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。
9．注意事项：
⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
（Ⅱ）范例分析
b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．
说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式
例2．解关于x 的不等式： ()09
22
>≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当()???≤--≥??
?≤-≥≥0
299292
22a ax x a x a a x x a
x a x 即时，不等式可转化为 a b
x a 17
3+≤
≤∴ ???≥+-
2992)(2
22a ax x a
x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]??
????+?-∞<≤≤∴a a a
a
x a a x 6173,323,(3
23故不等式的解集为或。
例3． 己知三个不等式：①x
x -<-542 ②
12
322
≥+-+x x x ③0122
<-+mx x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；
(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。 解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C 。
解①得A=（-1，3）；解②得B=][[)3,2()1,0B A ,4,2()1,0?=?∴?
（1） 因同时满足①、②的x 值也满足③，A ?B ?C
设12)(2
++=mx x x f ，由)(x f 的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，
即可满足317
173010)3(0)0(-≤∴???≤+<-??
?≤
（2） 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，
]4,1(,-=???∴B A B A C 而因 此]0124,1(2
=-+∴-?mx x C 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
???
?
?
?
??
?
<-<-≤≤-≥+=≥-=-4411431,0314)4(01)1(m m m f m f 解之得 说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2
+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．
例4.已知对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a ≥5．
分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0)．①
顶点式．f(x)=a(x-x 0)2
+f(x 0)(a ≠0)．这里(x 0，f(x 0))是二次函数的顶点，x 0=-
))、(x 2，f(x 2))、(x 3，f(x 3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a ，b ，c
可由
证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)，a ∈N ． 依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，且x 1≠x 2．于是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax 2
-a(x 1+x 2)x+ax 1x 2为整系数二次三项式，
所以f(0)=ax 1x 2、f(1)=a ·(1-x 1)(1-x 2)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1． 从而 f(0)·f(1)≥1． ① 另一方面，
且由x 1≠x 2
知等号不同时成立，所以
由①、②得，a 2＞16．又a ∈N ，所以a ≥5．
说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．
例5.设等差数列{a n }的首项a 1＞0且S m =S n (m ≠n)．问：它的前多少项的和最大？ 分析:要求前n 项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．
解:设等差数列{a
}的公差为d，由S m=S n得
n
a k≥0，且a k+1＜0．
(k∈N)．
说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob ，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b ，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ① 所以 3≤3f(-1)≤6． ② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b ，8≤4a ≤12，-3≤-2b ≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
例7．( 江苏)己知2
)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x f R x b
≤≤∈>证明：都有时，若对任意当
（2）时当1
>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）时，当10≤
证明：（1）依题意，对任意R x ∈，都有b
a b a x b x f x f 4)2()(.1)(2
2+--=≤ .20,0,14)2(2
b a b a b
a b a f ≤∴>>≤=∴
（2）充分性：[]x x x b bx ax x b a b --≥-∈-≥>)(:,1,0,1,12
2可推出对任意
[]可知对任意又即,1,0,2,1;1,12∈≤>-≥--≥-≥x b a b bx ax x
1,1)1
(12)2(222max 222≤-=?-?=-≤-≤-bx ax b
b b b bx x b bx x b bx ax 即1)(1≤≤-∴x f
必要性：对任意[]1)1(,1)(,1)(,1,0-≥∴-≥∴≤∈f x f x f x
b a b b a b
a
21,2,11≤≤-≤∴≤-故即
[]b a b x f x 211)(,1,0,≤≤-≤∈的充要条件是对任意综上
（3）[]1)(,1,0,10,02-≥-≥-=∈≤<>b bx ax x f x b a 对任意时 即1,1,1)1(1)(;1)(+≤≤-≤≤-≥b a b a f x f x f 即即知又由
而当b
b b b x b bx x b bx ax x f b a 4)1()21()1()(,12
22
2
+++--=-+≤-=+≤时 1
21
,10>+∴≤ b b []1)(11,)1(,1,02≤∴=-+=∴x f x bx x b y 时取得最大值故在是增函数上在 []11)(,1,0,10,0+≤≤∈≤<>∴b a x f x b a 的充要条件是对任意时当 例8．若a ＞0，b ＞0，a3+b3=2．求证a+b ≤2，ab ≤1． 分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b ≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”． 证法一 (作差比较法) 因为a ＞0，b ＞0，a3+b3=2，所以 (a ＋b)3-23=a 3+b 3+3a 2b+3ab 2-8=3a 2b+3ab 2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a 3+b 3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0， 即 (a+b)3≤23 ． 证法二 (平均值不等式—综合法) 因为a ＞0，b ＞0，a3+b3=2 ，所以 所以a+b ≤2，ab ≤1． 说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮． 证法三 (构造方程) 设a ，b 为方程x2-mx+n=0 的两根．则 因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0且Δ=m2-4n ≥0．① 因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n] ，所以 ()1 11,1101;11≤?? ? ??≤<<∴>-≥∴-≥-b f x f b b b a b a 知由又即 所以a+b≤2． 由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以ab≤1． 说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点． 证法四(恰当的配凑) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)， 于是有6≥3ab(a+b)，从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3， 所以a+b≤2．(以下略) 即a+b≤2．(以下略) 证法六(反证法) 假设a+b＞2，则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)． 因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab， 所以ab＜1．② 于是①与②矛盾，故a+b≤2．(以下略) 说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法． 例9．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相 分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x )2+f(x0)，则 又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故 Δ1=(b+1)2-4ac＜0， Δ2=(b-1)2-4ac＜0． 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即 b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1． 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径． 例10．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车x 万辆。 由题意得)06 .0(94.006.094.011x a x a x a a n n n n -=-+=++即 万辆 过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,,06.0)94 .0130 30(,6006 .094.0)06.030(1 1≤≤∞→?-+≤≤+- =--x a n n n x a x x a n n n n n 例11．已知奇函数）上是增函数， ，）上有定义，在（，（），在（∞+∞+?∞-000)(x f 又,0)1(=f 知函数集合],2 ,0[,2cos sin )(2π θθθθ∈-+=m m g {}{} N M g f m N g m M ?<=<=求恒有恒有,0))((,0)(θθ 分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 022cos , 12cos sin ]2 01)(1)(0)()1(0)((0)(0)1()1(0)1(0)0)(22<+-+--<-+∈- ?-< θθθθθθ也即），即，（（即的条件是满足得又由）上也是增函数。，在（（）上是增函数，，在（奇数函数解 令10,22)],1,0[,cos 2≤≤+-+-=∈=t m mt t t t t （又设则δθ 要使内的最大值小于零，在必须使]10[)(,0)(t t δδ< 10 当φδδ∈?? ?<+-<+-==< 22404882 0, 4 88)(,20120222max 0 ≤<- ? ? ??+-≤≤+-=≤≤≤≤m m m m m m t m m 得解不等式组时即当δ 30 当? ??<<+->+-=>>2012,1)(212max m m m m t m m 得解不等式组时，即δ 综上：{ }2 24->=?m m N M 例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ （2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ （半个椭圆的面积公式为s= ,4 lh π 柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646.27=本题结果均精确到0.1 米） 分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P （11，4.5） 椭圆方程为：122 22=+b y a x 将b=h=6与点P 坐标代入椭圆方程得 3.337 7882,7744≈=== a l a 此时故隧道拱宽约为33.3米 2)由椭圆方程15.411122 222222=+=+b a b y a x 得 4 .6,1.31222 9,2112 15.411,2992499,5.41125.41122222222≈=≈===∴==≥==∴≥∴??≥+b h a l b a b a s ab lh s ab ab b a 此时最小时有当πππ 故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小. 例13．已知n ∈N ，n ＞1．求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具 有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解． 则 说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决． 例14．已知函数1 2 2)(2-+-=x x x x f ()[]() .2211)2(-≥+-+n n n x f x f x 是正实数，求证： 设 分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基 本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。 证明：（1）tx tx tx f x x x f 1 )1(11)1()(2+=+∴-+-= ,21 211)1(=?≥+=+=+∴tx tx tx tx tx tx tx f 当且仅当1=tx 时，上式取等号。 2)1(,110,10>+∴≠∴<<< 2222222222 2)(2)(2)(2(x t x t x t x t x t x t x t x t s -++=-++--++=-++= 44;44,22<=≤≤=≥x s x t t s x t 时当时当 )1()1(2+<-+++<≤-++∴tx f x t x t tx f x t x t 即 （2）1=n 时，结论显然成立 当2≥n 时， [].....11)1()1()1()1(2 2211+?+?=+ -+=+-+--x x C x x C x x x x x f x f n n n n n n n n n 21 4242211122211......11----------?+?+++=?+?+n n n n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x C x x C ?? ????++++++=-------)1(....)1()1(21221 442221n n n n n n n n n n x x C x x C x x C [] 22...)...(22 112 1121-=+++=+++?≥--n n n n n n n n n C C C C C C () 1,10,10)1(+<-++≤< 例15．己知n m i n m i <≤<1,,是正整数，且 （1）i n i i m i A m A n <证明： （2）()()m n m n +>+11证明： 证明：（1）m i m m m m m m m m A i m m m A m i i i m i m 1...... 21),1)......(1.(,1+--?-?=+--=≤<有对于 同理有对整数由于,1,......,2,1,1......21-=<+--?-?=i k n m n i n n n n n n n n A i i n i m i i n i i i m i i n A n A m m A n A m k m n k n >>∴->-即, （2）由二项式定理有i m i i n i m i i m i m n i i n i n A n A m C n n C m m >=+= +∑∑==知由)1(,)1(,)1(0 )1(! ,!),1(n m i C n c m i A C i A C n m i i m i i n i i m i m i n i n <≤<>∴==<≤<而 因此 0,,1,1 1 2 2>====>∑∑==i n i m n m i m i o m o o n o i m i i n i C m mn nC mC C n C m C n C m 又 ∑∑==+>+>∴≤ i m n i m i n i i n i n m C n C m n i m 0 )1()1()(即。 （Ⅲ）、强化训练 1．已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ） A ．73 B ．8 3 C ．2 D ． 3 2．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--= 是减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≤1 B ．a <2