如何求三角函数的周期

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期

例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 3

2tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．

∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．

(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3

2tan )(32tan

x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan

ππ+=+=x x x , 即3

2tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π2

3． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，

如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是|

|2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(

?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(

3π-=x y 的周期 解： 3

42

32ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y

1)62sin(21)2cos 212sin 23(

2-+=-+=πx x x ∴ ππ==2

2T ． 例5 已知函数),3

cos 3(sin 3sin

)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=

x x x ∴ ππ33

2

2==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期

例6 求函数 |cos |x y =的周期

解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=

== ∴ ππ==2

2T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期

解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=

+= )4cos 1(2

1124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==

T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 2

1cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos

的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，

因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．

函数x x y 2

1cos

sin +=的周期ππ42211=?==T n T ． 例9 求函数x x y 4

3cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是3

84

322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．

所以 函数x x y 4

3cos 32sin +=的周期是ππ243811=?==T n T ．

函数的周期性

--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函

数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络

1.函数的周期性定义：

若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的

2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最

小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；

3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a

为函数f(x)的周期。

（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对

称轴，应注意二者的区别)

4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a

是f（x）的一个周期

5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a

则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证)

6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）

（a

举例:y=sinx,等.

三.双基题目练练手

1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方

程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

（）

A．5 B．4 C．3 D．2

2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时

f(x)=x+1，则f(π)的值为

（）

A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4

3. 是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=

4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f(px)的一个

正周期是；

5.数列中

简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0

是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为

6。

四.经典例题做一做

【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）

∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),

∴2-x∈(0,1), ∵T=2,是偶函数

∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.

x∈(1,2).

解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数

∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.

又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）

∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.

提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上

向已知的(0,1)上转化;

2.用好数形结合,对解题很有帮助.

【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若

f(0)=2008,求f(2008)的值。

解：

周期为8，

法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。

方法提炼：

1.求周期只需要弄出一个常数;

2.注意既得关系式的连续使用.

【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.

①求的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1

轴对称, (k∈Z );

③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.

②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对

称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为

P2(4k+2-x,y).

∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)

对称.

又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)

∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线

2k+1对称.

③设1

∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)

又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).

(*)为f(x2)

提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得

最小值-5.

①证明：；②求的解析式；

③求在上的解析式.

解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，

∴.

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴.

③∵是奇函数，∴，

又知在上是一次函数，∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而时，，故时，.

∴当时，有，∴.

当时，，

∴

∴.

五．提炼总结以为师

1.函数的周期性及有关概念;

2.用周期的定义求函数的周期;

3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习2．7 函数的周期性

【选择题】

1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f

（－）的值为

A.0

B.

C.T

D.－

2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，

f（x）=sinx，则f（）的值为

A.－

B.

C.－

D.

【填空题】

3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，

在区间[2，3]上，= ,则=

4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实

数x成立，写出f(x)的一个最小正周

5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=

6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，

则f(2007)= 。

答案提示：1、A；由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）

2、D；f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin = .

3、;

4、8；

5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴

f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)

∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)=

-6

6、，周期T=6，F(2007)=f(3)=6

【解答题】

7.设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001

－x)对一切x∈R均成立，试讨论f(x)的奇偶性.

解: ∵周期是2002, ∴f(2002+x)=f(x),

又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x) ∴对任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.

8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，

已知x∈[2,3]时f(x)=x，求x∈[-2,0]时f(x)的解析式。

分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇

偶性可得[-1，0]上的解析式。

解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x).

又由于f(x)为偶函数，故

所以解析式为

9.设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1

函数f(x)的解析式。

思路分析：∵f(x)+f(x+2)=0 ∴f(x)=-f(x+2)

∵该式对一切x∈R成立，

∴以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1

∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴f(x)=-2x+5（1

评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归

过程中还体现了整体思想。

10.（2005广东）设函数在上满足，f(7-x)=f(7+x)，且在

闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。

（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个

数，并证明你的结论．

解：由得即

由已知易得，所以，而，从而且

故函数是非奇非偶函数;

(II)由

,从而知函数的周期为

当时，，由已知，又，则

∴当时，只有

∴方程=0在一个周期内只有两个解

而函数在闭区间［-2005，2005］共含有401个周期，所以方程=0在闭区间［-2005，2005］共含有802个解【探索题】对于k∈Z，用Ik表示区间(2k-1，2k+1］。已知x

∈Ik时，f(x)＝(x-2k)2，

(1)当k∈N*时,求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有

两个不相等的实根的a的值｝

(2)并讨论f(x)的周期性。

解：y＝f(x)图像就是将y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k个

单位所得，其中k∈N

设y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y2

≤1

∴0＜a ≤

∴Mk ＝｛a ｜0＜a ≤ ，k ∈N ｝，即Mk ＝(0， ］

对任意

，

所以f(x)是2为周期的周期函数。

思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；

周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力

函数f (x )±ｇ(x )最小正周期的求法

若f (x )和ｇ(x )是三角函数，求f (x )±ｇ(x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：

一、定义法

例1求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.

解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜

＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜

＝｜cos(x ＋

2π)｜＋｜sin(x ＋2

π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2

π)｜ ＝)2

(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2

π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π. 二、公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝||2ωπ

，正余切函数T ＝|

|ωπ． 例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.

解：y ＝x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2·x x

x 2cot 2tan 2tan 12=- ∴T ＝2

π 三、最小公倍数法

设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±ｇ(x )的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分母的最大公约数

分子的最小公倍数2121,,T T T T 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.

解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则5

2,3221ππ==

T T ，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π. 例4求y ＝sin3x ＋tan

5

2x 的最小正周期. 解：∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π，其最小公倍数是1

10π＝10π. ∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最小正周期是10π. 四、图象法

例5求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.

解：由y ＝｜sin x ｜的图象：

可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.

特别解析三角函数周期的几种求法

特别解析：三角函数周期的几种求法 1．定义法： 定义：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（x ＋T ）＝ｆ（x ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。 例1．求函数y=3sin （3 32π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （3 32π+x ）=3sin （332π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3 )3(32ππ++x ] = f （x+3π） 这就是说，当自变量由x 增加到x +3π，且必增加到x +3π时，函数值重复出现。 ∴函数y=3sin （ 332π+x ）的周期是T=3π。 例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期 解∵f （x+ 2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2 π）= cos 6x +sin 6x= f （x ） ∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2 π 例3：求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x =x cox x x 3cos 3sin sin ---- = x x x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ） ∴求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π

三角函数地公式+五点作图+奇偶性+周期性

三角函数的公式 一、扇形的公式 若扇形的圆心角为a （a 为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l=______________;C=___________________;S=________________ 二、三角函数的定义 （1）设a 是一个任意大小的角，a 的终边上任意一点R 的坐标是（x, y ），它与原点的距离是 r,则sin a=_________;cosa =________;tana=____________. （2）设a 是一个任意大小的角，a 的终边与单位圆的交点R 的坐标是（x, y ），它与原点的距 离是r,则sin a=_________;cosa =________;tana=____________. 三、 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α ＝tan α. 四、诱导公式 诱导公式（一） tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k 诱导公式（二） )tan()cos( sin )sin(=+= +-=+απαπααπ 诱导公式（三） )tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα αα 诱导公式（四） tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-

诱导公式（五） =-=-)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 诱导公式（六） =+=+)2 cos( cos )2sin(απ ααπ 【方法点拨】 把α看作锐角 前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 符号。 看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 口诀： 变 不变，符号看象限 五：求特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值 1、,0sin tan >θθ则θ在 ( )

三角函数的周期性

1.4.1三角函数的周期性 一、导学目标 1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化 2.函数周期性定义 3．能求三角函数的周期 二、知识回归 1.任意角的三角函数 sin y α= cos x α= 2.终边与α角相同 2απ+ 2απ- L L 2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同 三、新知导学 由观察可知 1.三角函数值出现周期性变化的特点 sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期 2,4,6,2,4,6,ππππππ---L L 2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期 2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的 正周期 周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期 sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π 四、例题分析与巩固训练

(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23 g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可 （1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x += ∴sin3()sin3x T x += sin(33)sin 3x T x += 32T π∴= 23 T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x += 2cos()2cos()2323 x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ??- +=-???? 22 T π∴= 巩固训练 A 1. 求下列函数的周期 （1）2sin 2y x =- （2）cos 3 x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23 π一定是函数sin y x =的周期 B 思考 sin()cos() y A x y A x ω?ω?=+=+ （其中,,A ω?为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π ω= 例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示 （1） 求该函数的周期

三角函数·函数的周期性

三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．

师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2

三角函数的周期

三角函数的周期性 一、课题：三角函数的周期性 二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；会判断一些简单的、常见的函数的周 期性，并会求一些简单三角函数的周期。 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三教学重点：函数周期性的概念． 教学难点：周期函数与最小正周期的意义 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2问题三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么“周而复始”的基本特征在函数性质中怎么体现？ （二）新授 1周期定义：一般的，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满足f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期上述（1）的周期是多少？正弦函数的，周期是多少？ 2 最小正周期：对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期 说明：1 “每一个”怎么理解 2f(x+T)=f(x) 周期为T f(2x+T)=f(x) 周期为 3并不是所有的周期函数都有最小正周期，以后未特殊说明周期即指最小正周期 4f(x)=sinx, f(x)=cosx f(x)=tanx的周期是多少 例题讲解 例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图 （1）求该函数的周期 （2）求t=10s时钟摆的高度 例2 改1 求函数f（x）=sin4x的周期 2 求函数f（x）=sin3x的周期 3求函数f（x）=2 sin3x+1的周期 4求函数f（x）=2 cos3x+1的周期

三角函数经典解题方法与考点题型

三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=mπ, m∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++

苏教版数学高一必修四 作业 1.3.1三角函数的周期性

一、填空题 1．函数y ＝2sin ??? ?π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2| ＝π. 答案：π 2．函数y ＝tan ? ???3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3 . 答案：π3 3．函数y ＝cos ????k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2， 则正整数k 的最小值应是________． 解析：∵T ＝2πk 4 ＝8πk ≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13. 答案：13 4．已知函数f (x )＝sin ? ???πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12 的函数 ④f (x )是周期为π的函数 解析：f (x )＝sin(πx －π2 )－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ ＝2. 答案：② 5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0. 又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数，

∴f (6)＝f (2)． 由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题 6．求下列函数的最小正周期． (1)f (x )＝－2sin ????π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ? ???mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π|－16 |＝12π， 即函数f (x )＝2sin(π3－16 x )的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos(mx ＋π6)(m ≠0)的最小正周期为2π|m | . 7．已知函数f (n )＝sin n π6 (n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)． 解：由诱导公式知sin(n ＋126π)＝sin(n π6＋2π)＝sin n π6 ， ∴f (n ＋12)＝f (n )， 且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6 ＝2＋ 3. 8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s. (2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线

如何求三角函数的最小正周期

如何用初等方法求三角函数的最小正周期 在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。 一 公式法 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω π2；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。 例1 求下列函数的最小正周期： （1） f(x)＝2sin （53πx ＋1）。 （2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。 （3） f(x)＝51tan(31x 3 π-). f(x)＝)6 2cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则： （1）T=5 32ππ =310 T=42π=2 π T=3 1 π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2cot(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2 π 二 定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。 例2 求函数f(x)＝2sin （21x －6 π）的最小正周期。 解：把2 1x －6 π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。 ∴函数y=2sin(21x-6 π)的最小正周期是4π。 例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。

解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。 设0＜T ＜π是这个函数的周期，则|sin(x ＋T )|－|cos(x ＋T )|=|sinx|－|cosx| ① 对于任意x ∈R 都成立，特别的，当x=0时也应成立。 ∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。 但当0＜T ＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1， 矛盾，所以满足①且小于π的正数T 不存在。故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。 三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。 例4 求下列函数的最小正周期： （1）f(x)＝sin3x+cos5x （2）f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x. （3）f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x. 解：（1）∵sin3x 的最小正周期为T 1=π32,cos5x 的最小正周期为T 2=π52。而π32和π5 2的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π. （2) ∵cos 34x 的最小正周期为T 1=π23，-sin 2 1x 的最小正周期为T 2=4π。而π2 3和4π的最小公倍数是12π。 ∴f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x 的最小正周期为T=12π. （3）∵sin 53x 的最小正周期为T 1=π310，tan 73x 的最小正周期为T 2=π37。而π310和π3 7的最小公倍数是70π。 ∴f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x 的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。 四 图象法 作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。 例5 求下函数的最小正周期。 （1）y=|sin(3x ＋3 π)|

如何求三角函数的周期

如何求三角函数的周期 三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 3 2tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3 2tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即3 2tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π2 3． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值， 如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期 对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是| |2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan( ?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin( 3π-=x y 的周期 解： 3 42 32ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y

求三角函数最小正周期的五种方法

求三角函数最小正周期的五种方法 一、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。 例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。 解：因为 所以函数（m≠0）的最小正周期 例2. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 二、公式法 利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1. 或的最小正周期。 2. 的最小正周期。

3. 的最小正周期。 4. 的最小正周期 例3. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 例4. 求函数的最小正周期。 解：因为， 所以函数的最小正周期为。 三、转化法 对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。 例5. 求函数的最小正周期。 解：因为

所以函数的最小正周期为。 例6. 求函数的最小正周期。 解：因为 其中， 所以函数的最小正周期为。 四、最小公倍数法 由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。 注： 1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。 2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。 例7. 求函数的最小正周期。 解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和 的最小公倍数是。 所以函数的最小正周期为。 例8. 求函数的最小正周期。

解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是， 所以函数的最小正周期为T＝。 例9. 求函数的最小正周期。 解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期， sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。 所以函数的最小正周期为T＝。 五、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。 例10. 求函数的最小正周期。 解：函数的图像为图1。 图1 由图1可知：函数的最小正周期为。

【新教材】新人教A版必修一 三角函数的周期性 学案

2019—2020学年新人教A版必修一三角函数的周期性学案 一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值,都满足f(x＋T）＝f（x)，那么函数f（x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期： 对于一个周期函数f（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x）的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数的周期: 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π。 思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等,都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由． ［提示］由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加（或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin（2π＋x）＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？ [提示］并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x）＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． 二、正、余弦函数的周期 函数y＝A sin（ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期: 一般地，函数y＝A sin（ωx＋φ）及y＝A cos（ωx＋φ)（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝错误!。 思考3:6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？ ［提示]是． 1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．（） (2)周期函数的周期只有唯一一个．( ） （3）周期函数的周期可以有无数多个．（) ［答案］(1)×(2)×(3)√ 2．函数y＝错误!sin错误!的周期是________． 2[T＝错误!＝2。］ 3．函数f(x）＝－2cos（4x＋30°)的周期是________．

三角函数周期性公式

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα

关于《三角函数的周期性》的教案

关于《三角函数的周期性》的教案 一、目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。

（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，

若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。 分类计数原理与分步计数原理、排列 一.教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列

三角函数的公式+五点作图+奇偶性+周期性

三角函数的公式+五点作图+奇偶性+周期性 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数的公式 一、扇形的公式 若扇形的圆心角为（为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l=______________;C=___________________;S=________________ 二、三角函数的定义 （1）设是一个任意大小的角，的终边上任意一点?的坐标是（x, y ），它与原点的距离是r,则 sin =_________;cos?=________;tan?=____________. （2）设是一个任意大小的角，的终边与单位圆的交点的坐标是（x, y ），它与原点的距离是r, 则sin =_________;cos?=________;tan?=____________. 三、 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 四、诱导公式 诱导公式（一） tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k 诱导公式（二） )tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ 诱导公式（三） )tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα αα 诱导公式（四） tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-= -=- 诱导公式（五） =-=-)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 诱导公式（六） =+=+)2cos( cos )2sin( απ ααπ 【方法点拨】 把α看作锐角 前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 符号。 看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 公 式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 口诀： 变 不变，符号看象限

三角函数周期的常用求法

ｙ ｘ Ｏ π ２π － π －２π ｙ ｘ Ｏ π ２π －π －２π 三角函数周期的常用求法 河南 陈长松 三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法 例1 函数)2 3sin( x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42 12=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y 可直接利用公式ωπ 2=T 求得；对于)tan(?ω+=x A y 或)cot(?ω+=x A y 可直接利用公式ωπ= T 求得。 二、图像法 例２ 求下列函数的最小正周期 ① x y sin = ②x y sin 解：分别作出两个函数的图像知 ①x y sin =的周期π=T ②x y sin =不是周期函数 评注：对于一 些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图 像来解决． 三、定义法 x x y cos sin +=的最小正周期 例３ 求函数 解：∵ 2 cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴ 2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2 π 下面证明2 π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<+T T ②

三角函数的周期性问题

三角函数的周期问题求法 一．选择题（共7小题） 1．（2014?天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π 2．（2014?新课标I）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan （2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（） A．①②③ B．①③④ C．②④D．①③ 3．（2014?南阳三模）若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是（） A．B．C．D． 4．（2005?黑龙江）函数f（x）=|sinx+cosx|的最小正周期是（） A．B．C．πD．2π 5．（2009?江西）函数的最小正周期为（） A．2πB．C．πD． 6．（2014?宝坻区校级模拟）已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2015?广西校级学业考试）函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则（）

A．ω=，φ= B．ω=，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ= 二．填空题（共1小题） 8．（2013?江西）函数y=最小正周期T为． 三．解答题（共3小题） 9．（2004?山东）求函数的最小正周期、最大值和最小值． 10．（2012?四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所 示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． （Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域； （Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值． 11．（2015?秦安县一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=， |PQ|=． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）?g（x）的最大值．

三角函数的周期性数学教案

三角函数的周期性数学教案 一、学习目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。

（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，

若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。

三角函数周期的几种求法.doc

三角函数周期的几种求法 深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏 高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。 1.定义法： 定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋， f (x+T) = f ( X ) 都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。 例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期 3 3 解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-) 3 3 3 3 =3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |] 二f (x+3兀) 这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。 二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。 3 3 例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期 解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—) 2 2 2 二cos h x +sir?x二f (x)

.?.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= — 2 例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期 cosx + cos3x 解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀） COS（X + 7l） + COS（X + 71） _ -sinx-sin3x -cox - cos3x _ sinx + sin 3x cos x +cos 3^ 二f （x） ■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T F cos x +cos 3x 2.公式法： （1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ?）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、?>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -O co co co 例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期 解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx） - 2 2 = 1-2 （cos —sinx-sin— cosx） 3 3 = l-2sin （x-—） 3 这里0二1 ???周期T二2龙 例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -1 2 2 解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -1 2 2

精解三角函数的周期性

精解三角函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数. 幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x 无周期， 一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数y=sin x的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线 段MP. 正弦函数的周期性 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置 和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π. 2、y=sin（ωx）的最小正周期 设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L . 按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx . 令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x 因为sin x最小正周期是2π，所以有 例如sin2x的最小正周期为 sin的最小正周期为 3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性 对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）. 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.

如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是. 于是，余弦函数的最小正周期与sin x的 最小正周期相同，都是2π. 二、复合函数的周期性 将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx 后者周期变为 而在以下的各种变换中，如 （1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）； （2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）； （3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m； 后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是 . 而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定. 1、复合函数f（sin x）的周期性 【例题】研究以下函数的周期性： （1）2 sin x；（2） （2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为 2π的周期函数. 【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正 周期为2π的周期函数. 【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x，sin x，， sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数. 2、y= sin3x的周期性