大位移理论与小位移理论

线性小位移与非线性大位移

胡文忠

一、背景

本例通过线性静力学分析与非线性静力学分析，比较小位移理论与大位移理论结果的差异，加深对这两个理论的理解，便于以后在实际工程问题中灵活应用。

有限元分析是在理论的基础上虚拟仿真现实工程，往往都存在相应的假设。

线性静力学假设：

1.弹性假设—即材料在承载过程中应力和应变是线性关系，材料没有发生塑形

变形，卸载后承载物体恢复到初始状态，没有残余应力应变。

2.小位移假设—要求结果的变形挠度远小于结构的截面尺寸，被认为结构的初

始刚度K，与结构承受到最大载荷过程中任何时刻的▲K保持一致

3.缓慢加载/卸载过程假设—即载荷在施加与去除过程视为一个很缓慢的过程，

没有冲击作用力，整个过程满足静力平衡方程。

非线性静力学假设：

1.缓慢加载/卸载过程假设—即载荷在施加与去除过程视为一个很缓慢的过程，

没有冲击作用力，整个过程满足静力平衡方程。

区别于线性静力学，非线性静力学不同点在于非线性，而有限元的非线性主要表现为三方面：

a)材料非线性：结构在承载过程中材料的应力应变曲线不是直线，而

是多段线或者密集度比较高的离散点连接而成。多用于工程中的冲

击破坏、蠕变等问题

b)几何非线性：结构的刚度在每个积分步都会进行更新，也就是计算

过程中结构的刚度▲K，会因为载荷的作用而实时更新，一旦超出了

结构的线性范围，▲K就不等于初始刚度K。对于大位移、大应变、

屈曲失稳等问题应用较多。

c)边界条件非线性：在工程实际中主要是接触问题，表现为不同零部

件的相互作用，如齿轮的啮合、零件的装配等等。

本次分析主要是比较小位移分析与大位移分析的结果差异，故在非线性静力学分析中不考虑材料的非线性，线性静力学及非线性静力学中都设有接触关系。

二、比较分析

本次分析采用同一个四面体网格模型，边界条件及材料设定都相同，只是采用的分析类别不同，一个是线性静力学，一个是非线性静力学。

1、模型

1.应力云图：

线性静力学应力结果与非线性静力学应力结果最大应力区域都集中在左边抗弯区域，线性静力学求解的结果稍大。

2、线性静力学应力云图

3、非线性静力学应力云图

2.和位移云图：

线性静力学求解的和位移相对非线性静力学求解的结果大。

4、线性静力学和位移云图

5、非线性静力学和位移云图

3.X向位移云图

线性静力学求解的X向位移相对非线性静力学求解的结果大，线性静力学X(右端面的垂直方向)向位移云图中可以看出上下板在接触过程中，两个端面不会像真实情况那样对齐。

6、线性静力学X向位移云图

7、非线性静力学X向位移云图

三、总结：

由上面结果可以看出，线性静力学求解大位移问题与非线性静力学求解的结果有着很大的差异，尤其是位移结果，相距甚远，这也验证了前面理论中线性静力学提到的小位移假设。故在有限元求解过程中选择一个合适的分析类型是分析人员需要具备的素质，这样才能将仿真结果最大程度的拟合实际工程。

理论力学：虚位移原理及分析力学基础

13．虚位移原理及分析力学基础 自由质点系：运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的起始条件的质点系。 非自由质点系：运动状态受到某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）的质点系。 约束：非自由质点系所受到的预先给定的限制。 约束方程：用解析表达式表示的限制条件。 几何约束：只限制质点或质点系在空间位置的约束。 运动约束：对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制的约束。 定常约束：约束方程中不显含时间的约束。 非定常约束：约束方程中显含时间的约束。 完整约束：约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但是它可以积分，转换为有限形式的约束。 非完整约束：约束方程包含质点速度、且不可积分不能转换为有限形式的约束。 双面约束：不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动的约束。 单面约束：只能限制质点沿某一方向运动的约束。 自由度数：在具有完整约束的质点系中，唯一地确定系统在空间的位形或构形的独立坐标的数目数。 广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数。 虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。 虚功：作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功，用δW 表示。若用F ，δr 分别代表力和虚位移，则虚功的表达式为F W δδ=?F r 。 理想约束：约束力虚功之和等于零的约束。

虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是,所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。 作用于质点系上的主动力对应于广义坐标q h 的广义力： 1 n i Qh i i h r F F q ? ? = =? ∑。 平衡稳定性：在保守系统中，(1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡；(2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种平衡状态称为不稳定平衡；(3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随遇平衡。 动力学普遍方程：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任意虚位移上所作虚功之和等于零。

达朗贝尔原理及虚位移原理知识点总结

达朗贝尔原理 知识总结 1.质点的惯性力。 ?设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为 2.质点的达朗贝尔原理。 ?质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如 果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即 3.质点系的达朗贝尔原理。 ?质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯 性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为 4.刚体惯性力系的简化结果 （1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为 （2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为 其中

如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为 （3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为 式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。 5.消除动约束力的条件。 刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。 常见问题 问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。 问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。惯性力系的主失是与简化中心无关的。 问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。 问题四物体系问题。每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。 虚位移原理 知识点总结 1.虚位移·虚功·理想约束。 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 力在虚位移中所作的功称为虚功。

理论力学(14.7)--虚位移原理-思考题答案

第十四章 虚位移原理 答 案 14-1 (1)若认为B处虚位移正确，则A，C处虚位移有错：A处位移应垂直于 O1A向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。 (2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆 AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。 14-2 （1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。 （2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。

（3）同（2） （4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。 （5）同（4） 14-3 （1）不需要。 （2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。 14-4 弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；摩擦力在此虚位移中作正功。 14-5 在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为（x i， y i），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力 投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。

也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移 ，由虚位移原理也可得平衡方程。

清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解

解：如图（a ），应用虚位移原理： F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图（b ）： 8 廿y ； 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时，求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解：应用解析法，如图(a )，设0D = y A = 2l sin v ； y^ 61 sin v S y A =21 cos ：心； 溉=61 COST 心 应用虚位移原理： F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知：AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ，求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： y A =lcos ) ； x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心；S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理： —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ； F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上，已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可

第十四章-虚位移原理讲义

第十四章虚位移原理 一、回顾： 液压升降台如图所示，求油压举升缸筒的拉力。 本题目是物体系平衡问题 。 图（a） 1.取缸筒为研究对象 ∑M G(F)=0 求出F E 2.取CG、DE+缸筒为研究对象 ∑M (F)=0 求出F Dy C （b）（c）

3.取整体为研究对象 ∑M A(F)=0 求出F B 4.取杆BD为研究对象 ∑M K(F)=0 求出F Dx （d）（e） 5.取杆DE为研究对象 ∑M O(F)=0 求出F JH 由上分析可知： （1）用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次研究对象，列5个方程，求解过程较为复杂。 （2）运算过程中出现了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消除这些约束反力，才能得到要求的量。 问题有无别的方法求解物体系统的平衡问题而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。 二、求解物体系统的平衡问题的两种方法 ⑴用静力平衡方程求解----刚体静力学（几何静力学） ⑵用虚位移原理求解----分析静力学

虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为方便。 三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点： ⑴结构特点-----结构为几何可变体系 ⑵待求量特点-----数目较少 ⑶研究对象的选取-----取整体即可求解 四、基本概念 几何可变体系-----约束允许系统动 几何不变体系-----约束不允许系统动 举例： 图图 如图所示，约束允许结构动，受力后可以不动，该结构为几何可变体系。 如图所示，约束不允许结构动，受力后仍然不动，该结构为几何不变体系。 对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。 约束·虚位移·虚功 一、约束及其分类

清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解

第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3 δl x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+? r F r F 如图（b ）： β θt a n δδt a n δ2 a 1r r r == ；12 δtan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ）

虚位移原理的一般解题步骤与注意问题

浅析《虚位移原理》的一般解题步骤与应注意的问题 姓名：王晟学号：000572 班级：机05 这个学期的《工程力学》的学习中，大家最感到头疼的可能就是虚位移原理的一些题目了。虚虚实实，有速度，还有加速度；分析起来特别麻烦，一不小心就容易弄错几个虚位移或弄丢几个虚位移。考试的时候很容易丢分。根据平时上课以及从教科书参考书上积累的知识，我将虚位移原理的有关知识总结一下，希望能够为大家提供一些不成熟的建议。 解题的一般步骤 （1） 根据题意，分清所分析的问题时属于哪一类的问题： ①求平衡问题； ②求约束反力或内力； ③判断平衡的稳定性。 对于求约束反力或内力的问题，首先应解除约束（求哪个反力或内力，解除与之对应的约束），用对应的反力或内力替代约束对系统的作用，从而将反力或内力“转化”为主动力。 每解除一个约束，系统相应增加一个自由度！ （2） 分析约束性质，画主动力的受力图。在所研究的系统中，如有某些约束不是理想约束，应将这些约束的反力按主动力处理。 只画系统的主动力的受力图，这里的主动力应该包括： ①系统以外的物体对它的作用力； ②非理想约束的约束反力； ③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。 （3） 确定系统的自由度，应包括因杰出约束而增加的自由度。选择合适的坐标（或线坐标、或角坐标）做系统的广义坐标。 对完整系统来说，广义坐标的数目等于自由度的数目！ （4） 给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移的关系： ①几何法：运用运动学中分析速度的方法（对于定常约束来说，虚位移之间的关系就是速度的关系），进行计算。 ②解析法：先选定一个静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后，再对广义坐标取变分，进行计算。 （5） 建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。 （6） 写出系统的势能表达式，确定平衡位置，判断在平衡位置上，系统是处于稳定平衡还是非稳定平衡。（此部分看题目需要） 应注意的问题 （1） 应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离对象，这是不同与其他分析方法的。（采用虚位移原理解绗架问题也未尝不可，但并没有明显的效果。 如《理论力学》教材133页例5－13的第三种方法，就是采用了虚位移原理对分离 对象分析）

理论力学(机械工业出版社)第四章虚位移原理习题解答

习 题 4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。设 AB =BC ，∠ABC =θ2，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压 力。 图4-19 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ )90cos(δ)902cos(δθθ-?=?-C B s s θθsin δ2sin δC B s s = 虚位移原理 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ 0δsin δN =-C B s F s F θ θ θθθtan 2 )2sin(sin sin δδ2N F F s s F F C B === 4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。试求当棱形

框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。 图4-20 ??cos δ)290cos(δC A s s =-? C A s s δsin δ2=? 而 θ?δπ 2c o s δP s A = ?θ?θ?tan δπ sin δcos π22 δP P s C == 虚位移原理 0δδδN =-=∑C F s F M W θ 0tan δπ δN =?-?θθP F M ?cot π N P M F = 4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。 图4-21 虚位移原理 0δδδ=+-=∑A B F s G s F W (a) A B s s δ2δ= 2 G F = (b) A B s s δ8δ= 8 G F = (c) A B s s δ6δ= 6 G F = (d) A B s s δ5δ= 5 G F =

第15章 虚位移原理(古)

第十五章 虚位移原理 15-1图示曲柄连杆机构有多少个自由度。[答：1个] 15-2求图示系统中主动力作用点C 、D 、B 的虚位移大小的比值。[答：=B D C δδδ::2:2:1] 15-3 图示平面机构中，CD 连线铅直，杆BC= BD 。在图示瞬时，角 30=?，杆AB 水平，求该瞬时点A 和点C 的虚位移大小之间的关系。[答：C A r 2 3 r δδ= ] 15-4求图示滑轮系统中，A 、B 两点虚位移之间的关系。[答：A B r 2r δδ=]

15-5重为P 、长为l 的均质杆AB 放置如图。设各处光滑，在A 点处的水平力F 作用下保持平衡， 60=?，今给A 点一向右的虚位移x δ，试由虚位移原理建立的虚功方程。[答：0x F -6 3 P =δδ] 15-6 杆OA 和AB 各长l ，在A 点用铰链连接，在点O 和B 间连接一根刚度系数为 k 的铅直弹簧，弹簧的原长为0l 。当在A 点作用铅垂力A F 时，机构处于图所示的平衡位置，且弹簧被拉伸。如果不计各构件的重量和摩擦，用虚位移原理求机构处于平衡位置时的角度?。[答：4kl 2kl F arcsin A +=?]

15-7 如图所示，两等长杆AB 和BC 在点B 用铰链连接。在杆的点D 和点E 连接水平弹簧，弹簧的刚度系数为k ；从当距离AC a =时，弹簧的拉力等于零。已知 AB=l , BD=b ，今在点C 作用水平力F 1使系统处于 平衡。若不计构件重量和摩擦，试用虚位移原理求距离AC 的值x 。[答：2 1 b l k F a x ?? ? ??+=] 15-8 在图示机构中，已知：力F ，l GC EG DE DC BC AC ======，弹簧的原长为l ，刚度系数为k 。试用虚位移原理求机构平衡时，力F 与角θ的关系。[答：()12sin kl 3 2 F -= θ]

第13章虚位移原理及拉格朗日方程

第13章 虚位移原理及拉格朗日方程 在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。 主要内容 13.1.1 虚位移的基本概念 1、约束和约束方程 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。 2、约束的分类 在虚位移原理中，将约束分为4类：a 、几何约束和运动约束，b. 定常约束和非定常约束，c. 完整约束和非完整约束，d. 双面约束和单面约束。 约束方程的一般形式应为 ()f x y z x y z j i i i 1110,,,,,, = i ＝1,2,…,n ， j ＝1,2,…,s 3、自由度 a 、设某质点系由n 个质点、s 个完整约束组成。则自由度数k 为 k ＝3n –s 若质点系为平面问题，则 k ＝2n –s b 、设某质点系由n 个刚体、s 个完整约束组成。则自由度数k 为 k ＝6n –s 若为平面问题，则为 k ＝3n –s 4、广义坐标 用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。此系统任一质点M i 的坐标可以表示为广义坐标的函数，即 ()r r q q q i i k =12,,, i ＝1,2,…,n

这是用广义坐标q i 表示的质点系各质点位置的表达式。 13.1.2 虚位移 虚功 1、虚位移 在给定的位置上，质点系为所有约束所容许的无限小位移，称为此质点或质点系的虚位移。 虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所容许的位移；第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；虚位移用 r i 表示，以区别于实位移d r i 。这里的“” 是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中它的运算规则与微分算子“d ”的运算规则相同。 2、虚功 作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功，则虚功的表达式为 r F δ?=δF W 3、理想约束 在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表示为 01 =δ?=δ∑=i i N n i F W r F ∑ 例如：①光滑面约束；②光滑铰链约束；③对纯滚动刚体的固定面约束；④无重钢杆(二力杆)约束；⑤不可伸长的绳索约束。都是理想约束。 13.1.3 虚位移原理及应用 1、虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即 0=δ∑F W 虚位移原理的矢量表达式为 01 =δ?∑=i i n i r F 在直角坐标系的投影表达式为 () 01 =δ+δ+δ∑=i i z i i y i i x n i z F y F x F 以上各式也称为虚功方程。 2、虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。

第十五章虚位移原理

第十五<1）章虚位移原理 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。 虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。b5E2RGbCAP §15-1 约束·虚位移·虚功 1．约束及其分类 在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。我们从不同的角度对约束分类如下。p1EanqFDPw <1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图15-1所示单摆，其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆长为l。这时摆杆对质点的限制条件是：质点M必须在以点O为圆心、以l为半径的圆周上运动。若以x，y表示质点的坐标，则其约束方程为。又如，质点M在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M的约束方程，即DXDiTa9E3d

又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB所受约束有：点A只能作以点O为圆心，以r为半径的圆周运动；点B与点A间的距离始终保持为杆长l；点B始终沿滑道作直线运动。这三个条件以约束方程表示为RTCrpUDGiT 上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。

在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有 5PCzVD7HxA 上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。设和分别为点A 的坐标和车轮的转角，有。则上式又可改写为 <2）定常约束和非定常约束 图形15-5为一摆长l随时间变化的单摆，图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。设摆长在开始时为l0，然后以不变的速度v拉动细绳的另一端，此时单摆的约束方程为jLBHrnAILg

第十五章 虚位移原理

第十五章 虚位移原理 一、目的要求 1．对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的认识，并会利用几何法、解析法和虚速度法找系统内各点虚位移之间的关系。 2．能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 3．对自由度和广义坐标有初步的理解。 4．会用解析法和几何法计算广义力。 二、基本内容 1．基本概念 约束、虚位移、虚功、虚位移原理、自由度和广义坐标。 2．主要公式： （1）虚功 z z y y x x r F W δδδδδ++=?=?? （2）虚功方程（虚位移原理） 1）几何法 01 =?∑=i n i i r F ??δ 2）解析法 0)(1=++∑=i i i i i i n i z z y y x x δδδ （3）广义力的计算 1）解析法 ??? ? ????+??+??=∑=k i i k i i k i i n i k q z Z q y Y q x X Q 1 N k ,,2,1Λ= 2）几何法 k k n i k q W Q δδ'=∑=1 （4）广义力表示的平衡条件 Q 1=Q 2=…=Q N =0 N 为系统的自由度数

三、重点和难点 1．重点 （1）虚位移、理想约束的概念 （2）应用虚位移原理求解物体系的平衡问题 （3）质点系自由度数的判断及广义力的计算 2．难点 找虚位移之间的关系 四、教学提示 （1）讲清虚位移原理解决什么问题，以及为什么要学习本章内容。 （2）对约束、约束主程只作简单介绍，熟练找虚位移之间关系的几何法、虚速度法与解析法，区分虚位移与实位移、虚功与实功。 （3）讲清虚功方程的几何与解析表达式，反复举例说明其解题特点，尤其注意方程中各项符号的确定。 （4）强调用虚位移原理解题是以质点系整体为研究对象。 （5）讲清广义坐标、广义力与直角坐标、一般力的关系。