2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学(理)试题(解析版)

2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学（理）

试题

一、单选题

1．已知集合{}

2

|60,A x x x x Z =--<∈，{}1,1,2,3B =-，则下列判断正确的是

（ ） A ．2A -∈

B ．A B ?

C ．{}1,1,2A B =-I

D ．{}1,1,2A B ?=-

【答案】C

【解析】首先求出集合A ，再根据元素与集合的关系以及集合的基本关系与基本运算即可得出选项. 【详解】

由{}{}

{}2

|60,23,1,0,1,2A x x x x Z x x x Z =--<∈=-<<∈=-，

{}1,1,2,3B =-，

对于A ，2A -?，故A 不正确； 对于B ，集合B 中不含0，故B 不正确；

对于C ，{}1,1,2A B =-I ，故C 正确； 对于D ，{}1,0,1,2,3A B ?=-，故D 不正确； 故选：C 【点睛】

本题考查了集合中的基本知识，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

2．设02θπ≤<，

()2

1cos sin 2

i i θθ+=+，则θ的值为（ ）

A ．0

B ．

4

π

C ．

2

π D ．π

【答案】C

【解析】根据复数的乘法以及复数相等即可求解. 【详解】

()

2

1cos sin cos sin 2

i i i i θθθθ+=+?=+，

则cos 0,sin 1θθ==， 所以2

πθ=.

故选：C 【点睛】

本题考查了复数的乘法运算以及复数相等的概念，属于基础题.

3．如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为60?的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（ ）

A ．

83

3

B ．

82

3

C ．3

D ．82【答案】A

【解析】由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出该几何体的体积. 【详解】

由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，

Q 正视图、侧视图均都是边长为2，且有一个内角为60?的菱形，

所以正四棱锥的底边边长为22=

所以组合体的体积为12223V =???=, 故选：A 【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积，考查了棱锥的体积公式以及学生的空间想象能力，属于基础题.

4．已知首项为1，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“33S =”是“2q =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前n 和公式即可得出选项. 【详解】

11a =Q ，当1q =时，则1231a a a ===，所以33S =，

当1q ≠时，()()3131311a q S q q

-=

=≠-，解得2q =-，

所以“33S =”是“2q =-”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】

本题考查了充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前n 和公式，考查了学生对定义的理解和分析能力，属于基础题.

5．已知圆C 被两直线10x y --=，30x y +-=分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为4.则圆C 的方程是（ ） A ．()()22

2125x y -+-= B ．()()22

215x y -+-= C ．()()2

2

2125x y +++= D ．()()2

2

215x y +++=

【答案】B

【解析】由题意可得，圆心(),C m n 一定是两条直线10x y --=，30x y +-=的交

点，联立直线方程求得圆心坐标，再由垂径定理求得半径，则圆C 的方程可求. 【详解】

设圆C 的方程为()()2

2

2x m y n r -+-=，

Q 圆C 被两直线10x y --=，30x y +-=分成面积相等的四部分，

∴圆心(),C m n 一定是两条直线10x y --=，30x y +-=的交点，

联立10

30x y x y --=??

+-=?

，解得2,1x y ==，2,1m n ∴==，

又圆C 截x 轴所得线段的长为4，

2245r n ∴=+=，

则圆C 的方程()()2

2

215x y -+-=. 故选：B 【点睛】

本题考查了圆的标准方程以及两直线的交点，属于基础题. 6．函数cos 1x

y x x

=++

的部分图象大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图像经过特殊点判断函数的图像即可. 【详解】

函数cos 1x

y x x =++

， 设()cos x

g x x x =+，可得()g x 为奇函数，

所以()cos x

g x x x =+的图像关于()0,0对称，

则cos 1x

y x x

=++的图像关于()0,1对称，故排除A 、C

当x →+∞时，()g x →+∞，即y →+∞，故排除B. 故选：D 【点睛】

本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊值进行判断，此题属于基础题.

7．如图所示，已知在ABC ?中，23AE AC =u u u r u u u r ，13

BD BC =u u u

r u u u r ，BE 交AD 于点F ，若

AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r

，则2λμ+=（ ）

A ．67

B ．

87 C ．1621

D ．2621

【答案】B

【解析】设()0AF k AD k =≠u u u r u u u r

，利用向量加法的三角形法则以及减法的几何意义可得

2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，从而可得232k k AF AB AE =+u u u r u u u r u u u r ，再根据,,B F E 三点共线，可

得

2132

k k +=，解得6

7k =，即可求出,λμ 【详解】

设()0AF k AD k =≠u u u r u u u r

，

Q 23AE AC =u u u r u u u r ，13

BD BC =u u u

r u u u r ，

()

11213333

AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，

223332

k k k k AF AB AC AB AE ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

,,B F E Q 三点共线，2132

k k ∴+=，解得6

7k =，

4277AF AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，42,77λμ==，

8

27

λμ∴+=.

故选：B 【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及向量共线定理的推论，考查了学生基本知识的应用能力，属于基础题.

8．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当

()()1212f x f x =-时，12min 2

x x π

-=

，则下列判断正确的是（ ）

A ．16f π??

=

??? B ．函数()f x 在,62ππ??

???

上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76

x π

= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π??

???

【答案】D

【解析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】

Q ()3cos 3f x x x x πωωω?

?=+=+ ??

?，

又sin 13x πω??-≤+≤ ???Q ，即3x πω?

?-≤+≤ ??

?，

∴有且仅有12-=-满足条件；

又12

min

2

x x π

-=

，则

22

T T π

π=?=，

2

2T πω∴=

=，∴函数()23f x x π?

?=+ ??

?，

对于A ，2363f ππ??

== ???

，故A 错误； 对于B ，由()2222

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-+≤+

≤

+∈，

解得()51212

k x k k Z ππ

ππ-

+≤≤+∈，故B 错误；

对于C ，当76x π=

时，7726333f ππππ????

=+= ? ?????

，故C 错误；

对于D ，由20333f πππ????

=+= ? ?????

，故D 正确. 故选：D 【点睛】

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.

9．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励80慧币；第二种，闯过第一关奖励8慧币，以后每一关比前一关多奖励8慧币；第三种，闯过第一关奖励1慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过3关但不会超过9关，为了得到更多的慧币，他应如何选择奖励方案？

A ．选择第一种奖励方案

B ．选择第二种奖励方案

C ．选择第三种奖励方案

D ．选择的奖励方案与其冲关数有关

【答案】A

【解析】设冲关数为n ，则39n ≤≤，根据题意分别计算出三种方案获得的慧币，比较即可求解. 【详解】

设冲关数为n ，三种方案获得的慧币为,,n n n A B C ， 由题意可知：80n A n =；()218

8442

n n n B n n n -?=+

=+，

()1122112

n n n C ?-=

=--；

当9n =时，9809720A =?=，9360B =，9511C =， 故选择第一种奖励方案. 故选：A 【点睛】

本题考查了常见函数的模型，同时考查了等差数列、等比数列的前n 项和公式，属于基础题.

10．已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则

4AF BF +的最小值为（ ）

A ．4

B ．8

C ．9

D ．12

【答案】C

【解析】当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，从而可得121x x ==，利用焦点弦公式求出4AF BF +；当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 方程：()1y k x =-，将直线方程与抛物线方程联立，可得121=x x ，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 【详解】

由题意可知1212444522p p AF BF x x x x ?

?+=+

++=++ ??

?， 当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，所以121x x ==，即410AF BF +=； 当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 方程：()1y k x =-，

则()

2

14y k x y x

?=-?

=?，整理可得()

222

240k x k x k -++=，所以121=x x ，

所以1222

1

4454559AF BF x x x x +=++=++≥=， 当且仅当211

,22

x x =

=时，取等号， 故4AF BF +的最小值为9. 故选：C 【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题. 11．已知函数()(

)2

2

24x x f x x x a e

e --+=--+有唯一零点，则a =（ ）

A ．1

2

-

B ．-2

C ．

12

D ．2

【答案】B

【解析】通过转化可知问题等价于函数函数2

4y x x =-的图像与(

)

2

2x x y a e

e --+=+的图像只有一个交点求a 的值，分0,0,0a a a =><三种情况，结合函数的单调性分析可得结论. 【详解】

因为函数()(

)2

2

24x x f x x x a e

e --+=--+有唯一零点，

等价于方程(

)2

2

24x x x x a e

e --+-=+有唯一解，

等价于函数2

4y x x =-的图像与(

)2

2x x y a e

e --+=+的图像只有一个交点.

当0a =时，()2

24244y x x x =-=--≥-，此时有两个零点，矛盾；

当0a >时，由于()2

2424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增，

且(

)2

2x x y a e

e --+=+在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增，

所以函数2

4y x x =-的图像最低点为()2,4-，

()22x x y a e e --+=+的图像的最低点为()2,2a ，由于204a >>-，

故两函数图像有两个交点，矛盾，

当0a <时，由于()2

2424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增，

且(

)2

2x x y a e

e --+=+在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减，

所以函数2

4y x x =-的图像最低点为()2,4-，

()22x x y a e e --+=+的图像的最高点为()2,2a ，

若两函数只有一个交点，则24a =-，即2a =-. 故选：B 【点睛】

本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题.

12．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ?u u u r u u u r

的最

大值为（ ） A ．2 B ．

23

C ．4

D ．43

【答案】C

【解析】

建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ?u u u r u u u r

关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案. 【详解】

设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，

则(

)

326,0,,3,0,033A D

??

? ???

，

设(),,P x y z ，则326,,33AP x y z ??=-- ? ???u u u r ，2326,0,33AD ??

=- ? ???u u u r ， 2326

233

AP AD x z ∴?=-+u u u r u u u r ，

P Q 在以M 为球心，以1为半径的球面上， 2221x y z ∴++=，

01y ≤≤Q ，2201x z ≤+≤，

23262x z m -+=，

则直线

2033

x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值，

1

=，解得0m =或4m =

∴AP AD ?u u u r u u u r

的最大值为4.

故选：C 【点睛】

本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.

二、填空题

13．设x ∈R ，向量()2,2a =-r ，()1,b x =r ，且a b ⊥r r

，则a b -=r r ______.

【解析】利用向量垂直数量积为0，求出x ，然后将a b -r r

平方即可求解.

【详解】

由向量()2,2a =-r ，()1,b x =r ，且a b ⊥r r

， 所以220a b x ?=-=r r

，解得1x =，

则()1,3a b -=-r r

所以

a b -==r r

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量的坐标求向量的模，属于基础题.

14．已知实数x ，y 满足约束条件204430x y y x x y -≥??

≥??+-≥?

，则2z x y =+的最小值为______.

【答案】1

【解析】作出约束条件的可行域，将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，利用线性规划求2y x z =-+截距的最小值即可求解.

作出实数x ，y 满足约束条件204430x y y x x y -≥??

≥??+-≥?

的可行域，如图所示，

由204430x y x y -=??+-=?解得14

1

2x y ?=???

?=??

，11,42B ??∴ ???， 作出直线l o ：2y x =-，

将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，

∴目标函数过点11,42B ??

???

时，min 112142z =?+=，

综上所述，2z x y =+的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于基础题.

15．已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线

相交于A 、B 两点.若10AB =2AF =，25

cos ABF ∠=

，则双曲线C 的实轴长2a =______. 2

【解析】在AFB ?中，由余弦定理可得2

2

2

2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，

BF ，设F '为双曲线的右焦点，连接,BF AF ''，根据对称性可得四边形AFBF '是矩

形，再利用双曲线的定义即可求解. 【详解】

在AFB ?中，10AB =

，

2AF =，25

cos 5

ABF ∠=

， 由余弦定理可得2

2

2

2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，

从而可得(2

22

0BF -=，解得22BF =

所以AFB ?为直角三角形，

设F '为双曲线的右焦点，连接,BF AF ''，根据对称性可得四边形AFBF '是矩形， 所以2BF AF '=22a BF BF '=-=. 2【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形、双曲线的定义以及焦点四边形，属于基础题. 16．已知数列{}n a 的通项公式为cos 2

n n n

a =，其前n 项和记为n S ，则下列命题正确的是______.

①数列{}n a 为递减数列；

②对任意正整数n ，1n S <都成立； ③对任意正整数(),m n m n >，1

2m n n

S S ->

都成立；

④对任意正整数(),m n m n >，1

2m n n

S S -<都成立. 【答案】②④

【解析】根据三角函数的性质可判断①，利用三角函数的有界性以及等比数列的前n 和公式可判断②，利用绝对值的几何意义以及等比数列的前n 和公式可判断③④. 【详解】

可知①是明显错误的.

对于②，由12n n a <得11122

1111

212

n

n n S ????- ? ? ???

????<=-< ???

-，所以②正确，

对于③④，1212m n n n m n n m S S a a a a a a ++++-=++???+<++???+

1212111111222222n n m n n m

++++<

+++=+++L L 11111111122112222212

n m n n m n n m n +--??

- ??

???==-=-< ???-，所以④正确，③是错误的.

故答案为：②④ 【点睛】

本题考查了等比数列的前n 和公式、三角函数的最值、绝对值的几何意义，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数(

)()2

22cos 1f x x x m x R =-++∈的最小值为-2.

（1）求实数m 的值；

（2）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，5c =，

1

cos 7

B =

，求AC 的长. 【答案】（1）0m =（2）8AC =

【解析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式函数化简为

()2sin 26f x x m π?

?=-+ ??

?，利用三角函数的最值即可求解.

（2）由()2f A =得sin 216A π?

?

-

= ??

?，求出角3

A π=，再根据1

cos 7B =，从而可得

43sin 7B =

，解得()53

sin sin 14

C A B =+=，利用正弦定理即可求解. 【详解】

解：（1）()2

3sin 22cos 1f x x x m =-++cos 23sin 2x x m =-++

2sin 26x m π?

?=-+ ??

?.

∵()f x 的最小值为-2，∴22m -+=-，解得0m =. （2）由()2f A =得sin 216A π?

?

-= ??

?，∵0A π<<，∴112666

A πππ

-<-<， ∴26

2

A π

π

-

=

，解得3

A π

=

，

∵1cos 7B =

，0B π<<，∴43

sin 7

B =

. ∴()53

sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=

. 由正弦定理sin sin b c

B C

=，得4353=，得8b =，即8AC =. 【点睛】

本题考查了简单的三角恒等变换、三角函数的最值以及正弦定理解三角形，考查了三角函数的基本知识以及应用能力，属于基础题.

18．如图，正方体1111ABCD A B C D -，点E ，M ，N 分别是棱1CC ，11B C ，1BB 的中点，动点F 在线段MN 上运动.

（1）证明：1//A F 平面1D AE ；

（2）求直线EF 与平面1D AE 所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）见解析（2）22 3

【解析】（1）连接1

BC，

1

A N，NE，

1

A M，利用线面平行的判定定理证出//

MN平

面

1

AD E，

1

//

A N平面

1

AD E，利用面面平行的判定定理证出平面

1

//

A MN平面

1

AD E，再利用面面平行的性质定理即可证出.

（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，1

DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，令()

01

NF NM

λλ

=≤≤

u u u r u u u u r

，求出平面

1

D AE的一个法向量，由sin cos,

n EF

n EF

n EF

θ

?

==

r u u u r

r u u u r

r u u u r即可求解.

【详解】

证明：（1）如图：连接1

BC，

1

A N，NE，

1

A M，

∵M，N分别是11

B C，

1

BB的中点，∴

1

//

MN BC.

又11

//

BC AD，∴

1

//

MN AD，∵MN?平面

1

AD E，

1

AD?平面

1

AD E，

∴//

MN平面

1

AD E，

∵N，E分别是1

BB，

1

CC的中点，∴

11

//

NE B C，

∴四边形

11

NEC B为平行四边形，∴

11

NE B C

=，

又1111

//

B C A D，

1111

B C A D

=，∴

11

//

NE A D，

11

NE A D

=，

∴四边形

11

A NED是平行四边形，∴

11

//

A N D E，

∵

1

A N?平面

1

AD E，

1

D E?平面

1

AD E，

∴

1

//

A N平面

1

AD E，

∵

1

A N MN N

=

I，∴平面

1

//

A MN平面

1

AD E，

又∵1A F ?平面1A MN ，∴1//A F 平面1D AE .

（2）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则()2,0,0A ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，()1,2,2M ，()2,2,1N ，

()10,2,1D E =-u u u u r ，()12,0,2AD =-u u u u r ，()1,0,1NM =-u u u u r

， ∵F 在线段MN 上，令()01NF NM λλ=≤≤u u u r u u u u r

，

则()2,2,1F λλ-+，

()2,0,EF λλ=-u u u r

，

设(),,n x y z =r

是平面1D AE 的法向量，则

1100n D E n AD ??=???=??

u u u u v v u u u u

v v ，即20220y z x z -=??-+=?，取2x =，得1y =，2z =， ∴()2,1,2n =r

.

设直线EF 与平面1D AE 所成角为θ，则

sin cos ,n EF n EF n EF

θ?==r u u u r r u u u r r u u u r ()

2

2

22

3244311

λλλ==-+-+，

∵[]

0,1λ∈，∴1λ=时，()

22

sin θ=

最大

. ∴直线EF 与平面1D AE 所成角的正弦值的最大值

22

3

.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面平行的性质定理，考查了空间向量求线面角，考查了学生的推理能力，属于中档题.

19．党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一

道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出4x 户（x ∈Z ，112x ≤≤）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高20

x

，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为135x ??

-

???

万元.（参考数据：31.12 1.404=，31.15 1.520=，31.18 1.643=，31.2 1.728=）.

（1）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；

（2）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？

【答案】（1）从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.（2）16户

【解析】（1）假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得每户的平

均收入为：()()14310041520100

x x x x f x ???

?-+-+ ? ?

????=

，令()0f x ≥，解一元二次不等式即可求解.

（2）由已知可得至2020年底，种植户每户平均收入为31120x ???+ ???，3

1 1.620x ??+≥ ???

，解不等式即可. 【详解】

解：（1）假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：

每户的平均收入为：()()14310041520100x x x x f x ???

?-+-+ ? ?

????=

， 令()()14310041520 1.32100

x x x x f x ???

?-+-+ ? ?

?

???=≥，

化简，得213320x x -+≤，解得：131322

x -+≤≤

，

因为x ∈Z ，112x ≤≤， 且67<

<，可得：{}4,5,6,7,8,9x ∈，

所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.

（2）由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为3

1120x ???+ ???，

令3

1 1.620x ??+≥ ???

，得：)

201x ≥，

由题所给数据，知：1.15 1.18<<，所以，)

3201 3.6<<，

所以，x 的最小值为4，416x ≥， 即至少抽出16户从事包装、销售工作. 【点睛】

本题考查了二次函数模型、一元二次不等式的解法，将实际问题转化为数学模型是关键，属于基础题.

20．已知圆C ：()2

2116x y ++=，过()1,0D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .

（1）求点P 的轨迹E 的方程；

（2）已知过点C 的两直线1l 和2l 互相垂直，且直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，直线2l 交曲线E 于R ，T 两点（Q ，R ，S ，T 为不同的四个点），求四边形QRST 的面积的最小值.

【答案】（1）22

143

x y +=（2）28849 【解析】（1）设动圆半径为r ，判断圆P 与圆C 内切，从而可得4=-PC r ，PD r =，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是以C 、D 为焦点，实轴长为4的椭圆，根据椭圆的标准方程即可求解.

（2）分类讨论若1l 或2l 的斜率不存在，求出四边形QRST 的面积；若两条直线的斜率都存在，设1l 的斜率为1k k =，则2l 的斜率为21

k k

=-

，根据点斜式求出1l 、2l 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出,QS RT ，由

1

2QSRT S QS RT =

?()

()()

2

2221723443k k k +=?++，利用基本不等式即可求解.

【详解】

解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，故圆P 与圆C 内切， 则4=-PC r ，PD r =，∴42PC PD CD +=>=，

由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是以C 、D 为焦点，实轴长为4的椭圆，

2a =，1c =

，b ==

∴轨迹E 的方程为22

143

x y +=.

（2）若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积()2

2122262b S a b a

=??==，

若两条直线的斜率都存在，设1l 的斜率为1k k =，则2l 的斜率为21

k k

=-， 则1l 的方程为()1y k x =+，2l 的方程为()2+1y k x =，

联立方程组()22114

3y k x x y ?=+??+=??，得()()2222

438430k x k x k +++-=，

由韦达定理得2

1228+=43k x x k -+，()

212243=43

k x x k -?+，

()()()2

2222844343144144k k k k ?=-+?-=+，

设()11,Q x y ，()22,S x y

，则12QS x =-=()

22

12143

k k +=+， 同理可得()()222

2222211211211214343143k k T k k k k R ??

-??+?? ?++??????===++-??

+ ???

， ∴1

2

QSRT S QS RT =?

()

()()

()

2

2

2

2

2

2

22211288

727249344334432k

k

k

k k k ++=?

≥?

=

++??+++ ?

??

，

当且仅当223443k k +=+，即1k =±时等号成立. ∵

288649>，因此当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为288

49

.