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函数的周期性(基础+复习+习题+练习)

函数的周期性

基本知识方法

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为

.A 1- .B 0 .C 1 .D 2

2．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，

它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,

()f x =

()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，

当1921x << 时，()f x 的解析式是

()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，

已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。

3．()1定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，

()42--=x x f ，则 .A sin cos 66f f ππ???

?< ? ????

?； .B ()()sin1cos1f f >；

.C 22cos sin 33f f ππ???

?< ? ????

? .D ()()cos2sin 2f f >

()2 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，

且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f << 4. 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x ∈[0,2)时,,则f(-2013)+f(2014)的值

为 5. 已知是

上最小正周期为2的周期函数，且当

时, ,则函

数

的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为

6. 已知f(x)为偶函数，且f(2+x)=f(2-x)，当-2≤x≤0时，

；若

，

则=

7. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则（）。

8. 已知函数定义在R上,对任意实数x有,若函数

的图象关于直线对称,,则( )

D. 2

9．定义在R上的函数()x f

，对任意R

x∈，有()()()()y f x f

，且

()0 0≠

，()1

求证：

()1

；

()2

判断

()x f

的奇偶性；

()3

若存在非零常数c,使

，①证明对任意R

x∈都有()()x f

成立；

②函数()x f

是不是周期函数，为什么？

课后作业：

1.（2013榆林质检）若已知()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当()0,2x ∈时，2

()2f x x =，则(7)f 等于 .A 2- .B 2 .C 98- .D 98

2.设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则

.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-

3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上

是减函数，那么()f x 在[]2,3上是

.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数 4.设1

()1x f x x -=

+，记(){[()]}n n f

f x f f f f x =???14243个，则2007()f x =

5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ?

?=-+ ??

?，且()23f -=，

则(2014)f =

6.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1

(3)()

f x f x +=-

，且当[]3,2x ∈--时， ()2f x x =，则(113.5)f =

.A 27- .B 27 .C 15- .D 15

7.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()

(1)1()f x f x f x -+=

+，

当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = .A 1- .B 1 .C 12 .D 1

8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，

2()2f x x x =-.()1求证：()f x 是周期函数；()2当[2,4]x ∈时，求()f x 的表达式；

()3计算f （1）+f （2）+f （3）+……+f (2013)

9.（05朝阳模拟）

已知函数()f x 的图象关于点3,04??

- ???

对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值

高考真题：

1.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间()0,6内解

的个数的最小值是 .A 2 .B 3 .C 4 .D 5

2.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当3-≤1x <-时，

()2

()2f x x =-+，当1-≤3x <时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++=g

g g .A 335 .B 338 .C 1678 .D 2012

3.已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当0≤1x <时，()f x x =，则(7.5)f 等于

.A 0.5 .B 0.5- .C 1.5 .D 1.5-

4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

2f x f x +=

，若()15f =-，则()()5f

f =

5.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =

设63(),(),52a f b f ==5

(),2

c f =则

.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b << 6.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期

是π，且当]2,

0[π

∈x 时，x x f sin )(=，则53

f π

???

的值为

.A 21-

.B 2

.C 2

3 7.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=

8.设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，

且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论.

高一数学指数函数知识点及练习题

2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质指数函数练习

1．下列各式中成立的一项（） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果（） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-）（ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（） A ．)1,1(- B ． ),1(+∞- C ．}20|{-<>x x x 或 D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]2 1,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,2 1 [ 10．已知2 )(x x e e x f --=，则下列正确的是（） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数

指数函数练习题

指数与指数函数练习题姓名学号（一）指数 1、化简［ 3 2 ) 5(-］ 4 3的结果为（） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将 3 2 2-化为分数指数幂的形式为（） A ．2 12- B ．3 12- C ．2 1 2-- D ． 6 52- 3. 3 334)2 1 ()21()2()2(---+-+----的值（） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 4(a, b 为正数)的结果是_________． 5、 3 2 1 41()6437 ---+-=__________．

6、 ) 3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。（二）指数函数一．选择题： 1. 函数x y 24-=的定义域为（） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 2. 下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是（） A ||x y = B 2 y x = C 3x y = D x y 5.0= 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（） 511 .A 个 512 .B 个 1023 .C 个 1024 .D 个 ax x f =)(x a x g =)(的图

增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（） n a A +1(.％13 ) n a B +1(.％12 ) n a C +1(.％11 ) n D -1(9 10 . ％12 ) 二．填空题： 1、已知)(x f 是指数函数，且25 5 )23(=-f ，则=)3(f 2、已知指数函数图像经过点P(1,3)-，则(2)f = 3、比较大小12 2- 1 3 2- ， 0.32()3 0.22 ()3 ， 0.31.8 1 4、 3 1 1 2 13,32,2-?? ? ??的大小顺序有小到大依次为 _________ 。 5、设10<x x x x a a 成立的x 的集合是 6、函数 y = 7、函数 y = 8、若函数1 41 )(++=x a x f 是奇函数，则a =_________ 三、解答题：